Statika statikanın Ysas anlayış vY aksiomları

STATİKA

1. 
   Statikanın Ysas anlayış vY aksiomları
   

GtYrdiyimiz kimi statika cismY tYsir edYn qvvYlYrin mumi xassYlYrini vY bYrk cismin tarazlıq şYrtlYrini rYnir. Tarazlıq dedikdY cismin elY halı başa düşlr ki, bu zaman cismY tYsir edYn qvvYlYr onun hYrYkYtini dYyişmir. Tarazlıqda olan cisim ya skunYtdY olur vY ya bYrabYrsrYtli hYrYkYt edir.

CismY tYsir edYn qvvYlYr xarici vY daxili qvvYlYr kimi iki yerY bnr.

Xarici qvvY dedikdY bir cismin digYrinY mexaniki tYsiri başa düşlr. Mexaniki tYsir zamanı ya cismin srYti dYyişir vY ya o deformasiya olunur.

Daxili qvvY dedikdY cismin hissYciklYrinin mexaniki tYsiri başa düşlr.

Xarici qvvY tYtbiq xarakterinY gY toplanmış vY sYpYlYnmiş olur.

Toplanmış qvvYnin bir ntYdY tYtbiq olunduğu, sYpYlYnmiş qvvYnin isY xYtt, sYth vY ya hYcm zrY tYsir etdiyi qYbul edilir.

Toplanmış qvvYnin xarakteristikası onun modulu olub ilY işarY olunur.

SYpYlYnmiş qvvYnin xarakteristikası onun intensivliyi olub ilY işarY olunur vY ilY 錮lr.

QvvYnin yYldiyi dz xYttY onun tYsir xYtti deyilir.

QvvY vektorial kYmiyyYtdir. QvvYnin mtlYq qiymYtinY onun modulu deyilir.

CismY tYsir edYn qvvYlYr toplusuna qvvYlYr sistemi deyilir.

gYr cismY tYsir edYn qvvYlYr sistemi cismin hYrYkYtini vY ya skunYtini dYyişmirsY, belY qvvYlYr sisteminY tarazlıqda olan qvvYlYr sistemi deyilir.

QvvYlYr sisteminY YlavY olunduqdan sonra bu sistemdY tarazlıq yaradan qvvYyY tarazlayıcı qvvY deyilir.

TYsirinY gY qvvYlYr sisteminY ekvivalent olan bir qvvYyY YvYzlYyici qvvY deyilir.

Statikanın Ysasında tYcrbYlYrlY tYsdiq olunmuş aksiomlar adlanan mlahizYlYr durur. Bunlar aşağıdakılardır:

Birinci aksiom

MtlYq bYrk cisim iki qvvYnin tYsiri altında ancaq o zaman mvazinYtdY ola bilYr ki, bu qvvYlYrin modulları bYrabYr olub bir dz xYtt zrY Yks istiqamYtlYrdY tYsir etsinlYr.

İkinci aksiom

CismY tYsir edYn qvvYlYr sisteminY tarazlıqda olan qvvYlYr sistemi YlavY etsYk vY ya çıxsaq, alınmış yeni qvvYlYr sisteminin tYsiri dYyişmYz qalar.

Bu aksiomlardan iki nYticY çıxır:

Birinci nYticY

CismY tYsir edYn qvvYni tYsir xYtti boyunca istYnilYn ntYyY krmYk olar.

Tutaq ki, cismY ntYsindY qvvYsi tYtbiq olunmuşdur. Bu qvvYnin tYsir xYtti zYrindY bir ntYsi grb tarazlıqda olan ,

qvvYlYr sistemi YlavY etsYk, II aksioma gY yeni sistemin cismY tYsiri dYyişmYz. Lakin olduğu çn bu qvvYlYr sistemini alınmış qvvYlYr sistemindYn çıxsaq, yenY dY cismin halı dYyişmYz. Bu zaman cismY ntYsindY tYtbiq edilmiş qvvYsi qalır. DemYli qvvYsi ntYsindYn ntYsinY ke輅rilmiş oldu vY

cismin halı dYyişmYz qaldı. BelYliklY I nYticY isbat olundu. CismY tYsir edYn qvvY srüşgYn vektor olur.

II nYticY.

vYzlYyici vY tarazlayıcı qvvYlYr modulca bir-birinY bYrabYr olub bir dz xYtt zrY Yks istiqamYtlYrdY tYsir edirlYr. Indi bunu isbat edYk.

Tutaq ki, qvvYsi cismY tYsir edYn qvvYlYr sisteminin YvYzlYyicisidir. Onda I aksioma gY qvvYsini tarazlayan, başqa slY sistemini tarazlayan qvvYsi modulca qvvYsinY bYrabYr olub onunla bir dz xYtt zYrindY yerlYşYrYk onun YksinY yYlmYlidir.

ﾜ錮ncaksiom.

Bir ntYdY tYtbiq olunmuş iki qvvYnin YvYzlYyicisi hYmin ntYdY tYtbiq olunub bu qvvYlYr zYrindY qurulmuş paralelloqramın diaqonalına bYrabYrdir:

yYni .

Vektorların paralelloqram qaydası ilY toplanmasına hYndYsi vY ya vektorial toplama deyilir.

vYzlYyicinin modulu:
.

Ddncaksiom.

Iki cismin qarşılıqlı tYsir qvvYlYri modulca bYrabYr olub bir dz xYtt zrY Yks istiqamYtlYrdY yYlirlYr. (Nyutonun II qanunu).

Beşinci aksiom.

Qeyri-bYrk cisim tarazlıqdadırsa, o bYrkidikdY onun tarazlığı dYyişmYz.

1. 
   RabitYlYr vY rabitY reaksiyaları.
   

Baxılan cismin hYrYkYtini mYhdudlaşdıran digYr cisimlYrY ona qoyulmuş rabitYlYr deyilir.

RabitYlYr tYrYfindYn cismY tYsir edYn vY onun hYrYkYtinY imkan vermYyYn qvvYlYrY rabitY reaksiyaları deyilir.

Ddncaksioma gY rabitY reaksiya qvvYsi cismin rabitYyY tYsir qvvYsinY modulca bYrabYr olub istiqamYtcY YksinY yYlir.

RabitY reaksiya qvvYsinin modulu hYmişY namYlum olur. Onun istiqamYti isY yalnız o hallarda mYlum olur ki, rabitY cismin hYrYkYtini bir istiqamYtdY mYhdudlaşdırsın.

ﾜmumiyyYtlY, cismin hYrYkYti neçY istiqamYtdY mYhdudlaşdırılırsa, rabitY reaksiya qvvYsinin hYmin sayda toplananı olur.

gYr cismin rabitYsi varsa, o qeyri-sYrbYst cisim hesab olunur. BelY cismi xYyali olaraq rabitYlYrdYn azad edib rabitYlYri rabitY reaksiya qvvYlYri ilY YvYz etsYk, onda hYmin cismY sYrbYst cisim kimi baxmaq olar. Buna rabitYlYrdYn azad etmY prinsipi deyilir.

RabitYlYrin vY rabitY reaksiyalarının Ysas nlYri aşağıdakılardır:

1. RabitY ideal (srtnmYsiz) Yyri sYthdir. Bu halda reaksiya qvvYsi rabitY ilY cismin toxunma ntYsindY rabitYnin normalı zrY yYlir.

2. RabitY cismin mstYvi sYthinin toxunduğu hamar tildir. Bu zaman rabitY reaksiya qvvYsi tildYn keçYrYk cismin sYthinY perpendikulyar istiqamYtdY yYlir.

3. RabitY hamar mstYvi sYthdir. Cisim isY bu sYthY tili ilY toxunur. Bu zaman rabitY qvvYsi rabitYnin sYthinY perpendikulyar istiqamYtdY yYlir.

4. RabitY tYrpYnmYz silindrik oynaqdır. Cisim rabitYyY silindrik sYthlY toxunur. Bu zaman rabitY reaksiya qvvYsi toxunma ntYsindY sYthlYrin mumi normalı zrY yYlir.

5. RabitY elastik çYkisiz saplardır. Cisim isY saplardan asılmışdır. Bu zaman rabitY reaksiya qvvYlYri saplar boyu yYlirlYr.

6. RabitY çYkisiz sYrt lingdir. Ling cisimlY vY dayaqla ideal oynaqla birlYşib. Bu halda rabitY reaksiya qvvYsi rabitYnin oynaqlarını birlYşdirYn dz xYtt zrY yYlir.

1. 
   Bir ntYdY güşYn qvvYlYr sisteminin
   

hYndYsi toplanma sulu
TYsir xYtlYri bir ntYdY kYsişYn qvvYlYr sisteminY bir ntYdY güşYn qvvYlYr sistemi deyilir.

Statikanın ikinci aksiomuna Ysaslanaraq bu qvvYlYri  tYsir xYtlYri zYrindY istYnilYn bir ntYyY krY bilYrik. Odur ki, bir ntYdY güşYn qvvYlYr sisteminY bir ntYdY tYtbiq edilmiş qvvYlYr sistemi kimi baxmaq olar.

ŞYk.1.1

Statikanın çncaksiomuna gY bir ntYdY tYtbiq olunmuş iki qvvYnin YvYzlYyicisi bu qvvYlYr zYrindY qurulmuş paralelloqramın diaqonalına vY ya tYrYflYri verilmiş qvvYlYr olan çbucağın qapayıcı tYrYfinY bYrabYrdir (şYk.1.2).

a)

b)

ŞYk.1.2
olduğunu nYzYrY aldıqda konuslar teoreminY gY YvYzlYyicinin qiymYti

sinuslar teoreminY gY:

olur.

Iki qvvYnin çbucaq sulu ilY toplanma qaydasından (şYk.1.2.a) istifadY edYrYk istYnilYn sayda qvvYlYri toplamaq olar.

CismY tYsir edYn qvvYlYrini toplamaq çn (şYk.1.3) ixtiyari bir ntYsindYn qYbul edilmiş miqyasda vektorunu xarakterizY edYn vektorunu (şYk.1.3.b) çYkirik.

–nın ucundan vektorunu, ntYsindYn vektorunu, ntYsindYn isY vektorunu çYkirik. vY ntYlYrini birlYşdirYn

a)

b)

ŞYk.1.3
vektoru– 輟xbucaqlısının qapayıcısı qvvYlYr sisteminin YvYzlYyicisi vektoru olur. ﾇnki

olur.

BelYliklY, deyY bilYrik ki, bir ntYdY güşYn qvvYlYr sisteminin YvYzlYyicisi tYrYflYri verilmiş qvvYlYrin vektorları olan 輟xbucaqlının qapayıcısı ilY ifadY olunur.

QvvYlYrin 輟xbucaqlı sulu ilY toplanmasına hYndYsi toplanma deyilir, YvYzlYyiciyY isY hYndYsi cYm deyilir.

Bu hYndYsi cYmY qvvYlYr sisteminin baş vektoru da deyilir.

Xsusi halda bir ntYdY güşYn ç qvvYlYrinin YvYzlYyicisi bu qvvYlYr zYrindY qurulmuş paralellepipedin diaqonalına bYrabYrdir (şYk. 1.4).

SistemY daxil olan vektorların toplanma ardıcıllığı dYyişdikdY baş vektorun qiymYt vY istiqamYti dYyişmir.

QvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn baş vektor olmalıdır.

1. 
   QvvYnin toplananlarına ayrılması
   

QvvYnin toplananlarına ayrılması o demYkdir ki, elY qvvYlYr sistemi tapmaq lazımdır ki, verilYn qvvY hYmin qvvYlYr sisteminin YvYzlYyicisi olsun. Bu mYqsYdlY iki Yn 輟x rast gYlinYn hala baxaq:

1. VerilYn qvvYsini bir ntYdY güşYn vY istiqamYtindY iki toplananına ayırmaq lazımdır.

Bu mYsYlYnin hYlli çn vektorunun sonu ntYsindYn vY xYtlYrinY paralel olan vY xYtlYri çYkirik (şYk.1.5).

ŞYk.1.5
Bu xYtlYrin kYsişmYsindYn alınan vY vektorları vektorunun toplananları olur.

1. 
   VerilYn qvvYsini tYsir xYtlYri , vY olan bir ntYdY kYsişYn vY bir mstYvidY yerlYşmYyYn ç toplananına ayırmaq lazımdır.
   

Bu mYsYlYni hYll etmYk çn tillYri verilmiş istiqamYtlYr zYrindY yerlYşYn, diaqonalı isY verilmiş qvvY olan paralellepiped qurmaq lazımdır (şYk. 1.6). Paralellepipedin ntYsindYn çıxan tillYri zYrindY yerlYşYn qvvYlYri qvvYsinin toplananları olur.

Gndykimi, qvvYnin toplananlarına ayrılma mYsYlYsi qvvYlYrin hYndYsi toplanma mYsYlYsinin Yksi olur.

1.5. Bir mstYvi zYrindY yerlYşYn ç qeyri paralel qvvYlYr sisteminin

tarazlıq teoremi
Teorem. gYr sYrbYst bYrk cisim ona tYtbiq edilmiş ç qeyri paralel qvvYnin tYsiri altında tarazlıqdadırsa, bu qvvYlYrin tYsir xYtlYri bir ntYdY kYsişmYlidir.

Teoremin isbatı. Tutaq ki, cisim ona tYtbiq edilmiş bir mstYvi zYrindY yerlYşYn ç qeyri paralel qvvYlYrinin tYsiri altında tarazlıqdadır.

Bu qvvYlYr bir mstYvi zYrindY yerlYşdiyi çn onlardan ikisi, mYsYlYn, vY qvvYlYri bir ntYsindY kYsişmYlidir (şYk. 1.7).


vY qvvYlYrini tYsir xYtlYri boyunca onların kYsişmY ntYsi olan ntYsinY krYk vY onları paraleloqram sulu ilY toplayaq. Toplama nYticYsindY bu iki qvvYnin YvYzlYyicisi qvvYsini alırıq. Indi belY hesab etmYk olar ki, cisim ona tYtbiq edilmiş iki qvvYnin­– vY qvvYlYrinin tYsiri altında tarazlıqdadır. Onda statikanın birinci aksiomuna gY bu qvvYlYr modulca bir-birinY bYrabYr olub bir dz xYtt zrY Yks istiqamYtlYrdY yYlmYlidirlYr. Bu halda

aydındır ki, qvvYsinin dY tYsir xYtti ntYsindYn keçYcYkdir. BelYliklY, tarazlıqda olan , vY qvvYlYrinin tYsir xYtlYri bir ntYdY kYsişirlYr.

Yaddan çıxarmaq lazım deyil ki, ixtiyari ç qvvYnin tYsir xYtlYrinin bir ntYdY kYsişmYsi onların tarazlıqda olması demYk deyil. ﾜqvvYnin tarazlıqda olması çn bu şYrt labd olaraq kafi deyil.
1.6. QvvY vektorunun ox vY mstYvi zYrindY proyeksiyaları
Vektorun ox zYrinY proyeksiyası vektorun başlanğıcı vY sonunun ox zYrinY proyeksiyaları arasında qalan,  işarYsi ilY grlmüş par軋ya deyilir. gYr vektorun başlanğıcının proyeksiyasından sonunun proyeksiyasına ke輅d oxun msbYt istiqamYtindYdirsY, proyeksiya msbYt (şYk. 1.8.a), YksinYdirsY mYnfi (şYk.1.8.b) hesab olunur.

ŞYk. 1.8
,

ﾜmumi halda

Burada – oxunun msbYt istiqamYti ilY qvvY vektoru arasında qalan bucaq.

BelYliklY, qvvY vektorunun ox zYrinY proyeksiyası skalyar kYmiyyYtdir.

Vektorun koordinat oxları zYrinY proyeksiyaları mYlumdursa, hYmin vektorun modulunu vY istiqamYtini tYyin etmYk olar. Vektorun modulu paralellepipedin diaqonalına (şYk. 1.9) bYrabYr olub aşağıdakı dsturla tYyin olunur:

ŞYk. 1.9
Vektorun istiqamYti onunla koordinat oxlarının msbYt istiqamYtlYri arasındakı bucaqların kosinusları ilY– yYldici kosinuslarla müYyyYn olunur. Bu kosinuslar belY tYyin olunur:

;

;

Vektorun mYlum proyeksiyalarına vY koordinat oxlarının ortlarına gY vektorun koordinat oxları boyunca toplananlarını tYyin etmYk olar

; ;

Vektoru, onun koordinat oxları boyunca mYlum toplananlarına YsasYn belY tYyin etmYk olar:

ŞYk. 1.20

vektorunun mstYvi zYrinY proyeksiyası onun başlanğıc vY sonunun mstYvi zYrinY proyeksiyaları arasında yerlYşYn vektoruna deyilir (şYk. 1.20).

Bu proyeksiyanın modulu

Burada vektoru ilY mstYvisi arasındakı bucaqdır.

1.7. Baş vektorun analitik sulla tYyini
QvvYlYr sisteminin baş vektorunun hYr hansı ox zYrinY proyeksiyası sistemin qvvYlYrinin hYmin ox zYrinY proyeksiyalarının cYbri cYminY bYrabYrdir.

Baş vektor , onun vY oxları zYrinY proyeksiyaları , vY olarsa, onda

; ;

olar.

Baş vektorun modulu

Baş vektorun yYldici kosinusları:

; ;

olar.
1.8. Bir ntYdY güşYn qvvYlYr sisteminin tarazlıq şYrti

Bir ntYdY kYsişYn fYza qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn onun baş vektoru sıfra bYrabYr olmalıdır.

Baş vektoru iki sulla– hYndYsi vY analitik sullarla tYyin etmYk mmkn olduğu çn tarazlıq şYrtini iki formada ifadY etmYk olar.

1. Tarazlıq şYrtinin hYndYsi forması.

HYndYsi olaraq baş vektor sistemin qvvYlYrinin tYşkil etdiyi qvvYlYr 輟xbucaqlısının qapayıcısıdır. Odur ki, qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn qurulmuş qvvYlYr 輟xbucaqlısı qapanmalıdır, başqa slY, qvvYlYr sisteminin hYndYsi cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır.

2. Tarazlıq şYrtinin analitik forması

Bildiyimiz kimi baş vektor analitik formada aşağıdakı formada tYyin edilir:

Baş vektorun sıfra bYrabYr olması çn k altındakı ifadY sıfra bYrabYr olmalıdır. Bu o zaman mmkndr ki,

; ;

olsun. DemYli, bir ntYdY kYsişYn (güşYn) fYza qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn qvvYlYr sistemini tYşkil edYn qvvYlYrin ç ixtiyari, qarşılıqlı perpendikulyar olan koordinat oxları zYrinY proyeksiyalarının cYbri cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır.

gYr qvvYlYr sistemi yastı– mstYvi qvvYlYr sistemi olarsa, onda tarazlıq şYrti belY yazıla bilYr

;

YYni, yastı qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn qvvYlYr sisteminin qvvYlYrinin iki ixtiyari qarşılıqlı perpendikulyar ox zYrinY proyeksiyalarının cYbri cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır.

1.9. Bir istiqamYtdY yYlmiş iki paralel qvvYnin toplanması
Tutaq ki, vY ntYlYrindY tYtbiq olunmuş iki paralel vY qvvYlYrini toplamaq lazımdır. Bu sistemY vY ntYlYrindY xYtti zrY Yks istiqamYtlYrdY yYlmiş modulca bYrabYr iki vY qvvYlYrini tYtbiq edYk.

vY , vY qvvYlYrini paraleloqram sulu ilY toplasaq, iki YdYd bir ntYsindY güşYn vY qvvYlYrini alarıq (şYk. 1.21). Bu qvvYlYri tYsir xYtlYri boyunca ntYsinY krYk vY onları uyğun olaraq vY ilY işarY edYk.

ŞYk.1.21

Krlmüş qvvYlYri , vY , qvvYlYri istiqamYtlYrindY iki toplananına ayıraq. Bu toplananları uyğun olaraq , vY , ilY işarY edYk. Aydındır ki, , , , qvvYlYrinin modulları uyğun olaraq , , , qvvYlYrinin modullarına bYrabYrdir.

olduğu çn onlar atılır vY ntYsindY yalnız vY qvvYlYri qalır ki, bu qvvYlYrin dY YvYzlYyicisi

(1.1)

olur. Bu YvYzlYyici vY qvvYlYrinY paralel yYlir. Indi bu qvvYnin xYtti ilY kYsişmY ntYsi -nin vYziyyYtini tapaq.

ŞYkildYn gnr ki, vY . Bu oxşarlıqları yazmaq olar

vY ya (1.2)

vY ya (1.3)

(2)-ni (3)-Y bdkdY alırıq

(1.4)

DemYli, ntYsi vY qvvYlYrinin tYtbiq ntYlYri arasındakı mYsafYni bu qvvYlYrin modulları ilY tYrs mtYnasib olan iki par軋ya br.

BelYliklY, iki paralel qvvYnin YvYzlYyicisi bu qvvYlYrY paralel olub eyni istiqamYtY yYlir, onun modulu toplanan qvvYlYrin modulları cYminY bYrabYrdir. vYzlYyicinin tYsir xYtti qvvYlYr arasındakı mYsafYni onların modulları ilY tYrs mtYnasib olan iki hissYyY br.
1.10. Modulca qeyri-bYrabYr olub Yks istiqamYtlYrdY yYlYn iki

paralel qvvYnin toplanması
Tutaq ki, iki paralel vY Yks tYrYflYrY yYlmiş vY qvvYlYrini toplamaq lazımdır (şYk. 1.22). MYlumdur ki, .

Paralel qvvYlYrin toplanması qaydasından istifadY edYrYk modulca bk olan qvvYsini vY ntYlYrindY tYtbiq olunmuş vY qvvYlYri ilY YvYz edYk. Bu zaman qYbul edYk ki, olsun (şYk.1.23).

ŞYk.1.22

ŞYkildYn gndykimi ntYsindY modulca bYrabYr, istiqamYtcY Yks olan iki vY qvvYlYri tYtbiq edilmişdir.

Bu qvvYlYr tarazlıqda olduğu çn atıla bilYr. Bu zaman yerdY qalan qvvYsi vY qvvYlYrinin cYmi– YvYzlYyicisi olur. Bu qvvYnin modulu

ŞYk.1.23
(1.5)

olur. vYzlYyicinin tYtbiq ntYsi -nin vYziyyYtini tYyin edYk.

(1.4)-Y YsasYn yaza bilYrik

(1.6)

Buradan

(1.7)

DemYli, modulca qeyri-bYrabYr, istiqamYtcY Yks olan iki paralel qvvYnin YvYzlYyicisi hYmin qvvYlYrY paralel olub modulca bk qvvY tYrYfY yYlir, modul onun qvvYlYrin modulları fYrqinY bYrabYr olur. vYzlYyicinin tYsir xYtti qvvYlYr arasındakı mYsafYnin xaricindY, bk qvvY tYrYfindY, qvvYlYrlY tYrs mtYnasib olan bir mYsafYdY yerlYşir.

1.11. QvvYlYr ctü
Yuxarıda çıxarılmış (1.6) vY (1.7) dsturlarından gnr ki, Yks istiqamYtlYrdY yYlmiş paralel qvvYlYrin modulları bYrabYr olduqda onların YvYzlYyicisi sıfra yaxınlaşır vY onun tYtbiq ntYsinY qYdYr olan mYsafY sonsuzluğa yaxınlaşır. Buradan belY çıxır ki, iki modulca bYrabYr, Yks istiqamYtlYrdY yYlmiş paralel qvvYlYri bir YvYzlYyici qvvYyY gYtirmYk olmaz. BelY qvvYlYr sisteminY qvvYlYr ctdeyilir.

ŞYk.1.24

QvvYlYr cttYtbiq olunduğu sYrbYst cismY fırlanma hYrYkYti verir. Fırlanma effekti nYinki qvvYlYrin modulundan vY hYm dY onlar arasındakı mYsafYdYn asılı olur.

Bu asılılıq qvvYlYr ctnn momenti adlanan kYmiyyYtlY xarakterizY olunur.

QvvYlYr ctnn momenti qiymYtcY qvvYnin modulun vY qvvYlYri arasındakı Yn qısa mYsafY -in hasilinY bYrabYrdir.

QvvYlYrin tYsir xYtlYri arasındakı Yn qısa mYsafYsinY qvvYnin qolu deyilir.

QvvYlYrin yerlYşdiyi mstYviyY qvvYlYr ctnn tYsir mstYvisi deyilir.

QvvYlYr ctnn cismY tYsiri aşağıdakılardan asılıdır:

1. QvvYlYr ctnn tYsir mstYvisinin vYziyyYtindYn;

2.QvvYlYr ctnn verdiyi fırlanma istiqamYtindYn;

3. QvvYlYr ctnn momentinin modulundan.
1.12. QvvYlYr ctnn ekvivalentliyi teoremlYri
Teorem. Eyni bir mstYvi zYrindY yerlYşYn momentlYri qiymYtcY bYrabYr fırlanma istiqamYtlYri eyni olan qvvYlYr ctlYri ekvivalentdirlYr.

Teoremin isbatı. FYrz edYk ki, mstYvisi zYrindY yerlYşYn qvvYlYr ctverilmişdir. QvvYlYr ctnn qolu , modulu isY -dir (şYk.1.25).

ŞYk.1.25
vY ntYlYrindY xYtti boyunca yYlmiş modulca bYrabYr istiqamYtcY Yks olan vY qvvYlYrini tYtbiq edYk. Bu qvvYlYr tarazlıqda olduğu çn , qvvYlYr sisteminin tYsiri dYyişmYz qalır. vY , vY qvvYlYrini hYndYsi topladıqda yeni qvvYlYr ctalırıq. Bu ctn qolu olur. ŞYkildYn gnr ki,

;

ctnn momenti

Bu moment gndykimi ctnn momentinY bYrabYrdir.

BelYliklY, ctilY ctnn momentlYrinin qiymYti, tYsir mstYvilYri vY fırlanma istiqamYtlYri eynidir. Bu sYbYbdYn dY onlar ekvivalentdirlYr.

Qeyd etmYk lazımdır ki, qvvYlYr ctnn tYsir mstYvisi zYrindY yerdYyişmYsi, qvvYnin tYsir xYtti boyunca yerdYyişmYsi kimi yalnız mtlYq sYrt cisim çn doğrudur. Deformasiya olunan cisim çn isY belY yerdYyişmY buraxıla bilYn deyil.

1.13. QvvYlYr ctnn paralel mstYviyY krlmYsi teoremi
Teorem. QvvYlYr ctnonun tYsir mstYvisinY paralel olan digYr mstYviyY ke輅rdikdY ctn cismY olan tYsiri dYyişmYz qalır.

Isbatı. FYrz edYk ki, cismY mstYvisindY yerlYşYn qolu olan qvvYlYr cttYsir edir (şYk.1.26). mstYvisinY paralel bir mstYvisi zYrindY par軋sına bYrabYr vY ona paralel olan par軋sı grYk. vY ntYlYrindY modulları vY qvvYlYrinin modullarına bYrabYr vY onlara paralel olan bir-birini tarazlayan vY , vY qvvYlYrini tYtbiq edYk.

ŞYk.1.26

lavY olunan qvvYlYr sistemi tarazlıqda olduğu çn alınmış yeni sistem verilmiş qvvYlYr ctnY ekvivalent olur.

vY qvvYlYrinin YvYzlYyicinin , vY qvvYlYrinin YvYzlYyicisini isY işarY edYk. Bu paralel qvvYlYrin modulları eyni olduğu çn onların YvYzlYyicilYrinin modulları da bir-birinY bYrabYr olur . Bu YvYzlYyicilYr , diaqonallarının kYsişmY ntYsi -da tYtbiq olunur. DemYli, , qvvYlYri YvYzlYyicilYri bir-birini tarazlayır vY onlar qvvYlYr sistemindYn çıxarıla bilYr. Onda 6 YdYd qvvYdYn yalnız qvvYlYr ctqalır ki, bu ct dY mstYvisinY paralel olan mstYvisindY yerlYşir, momenti vY verdiyi fırlanma istiqamYti ctnY bYrabYrdir. BelYliklY, qvvYlYr cttYsir mstYvisinY paralel olan digYr mstYviyY krld

1.14. QvvYlYr ctnn momentinin vektoru
QvvYlYr ctnn momentinin vektoru ctn tYsir mstYvisinY perpendikulyar olub elY yYlir ki, onun sonundan mstYviyY baxdıqda ctn verdiyi fırlanma istiqamYti saat YqrYbinin YksinY olsun (şYk.1.27).

ŞYk. 1.27

Bildiyimiz kimi, qvvYlYr ctntYsir mstYvisi zYrindY istYnilYn kimi yerlYşdirmYk olar. Odur ki, qvvYlYr ctnn momentinin vektorunun müYyyYn bir tYsir xYtti yoxdur, onu nY paralel olaraq istYnilYn yerY ke輅rmYk olar.

Vektorlar cYbrindYn mYlumdur ki, qvvYlYr ctnn momenti bu qvvYlYrdYn birinin vektoru ilY digYr qvvYnin tYtbiq ntYsi ilY onun tYtbiq ntYsi arasında qalan vektorun vektorial hasilinY bYrabYrdir (şYk.1.28).

Bu vektor qvvYlYr ctnn yerlYşdiyi mstYviyY perpendikulyar olub elY yYlir ki, onun sonundan mstYviyY baxdıqda vektorlardan birinin digYri zYrinY düşmYsi çn Yn ki輅k dmY bucağı saat YqrYbi istiqamYtinin YksinY olsun.

ŞYk. 1.28

BelYliklY, vY ya vektorları qvvYlYr ct -in momentinin vektoru ilY qiymYt vY istiqamYtcY eyni olur.

1.15. QvvYlYr ctnn toplanması.

QvvYlYr ctsisteminin tarazlıq şYrti
QvvYlYr ctsisteminin bir ct qvvY ilY YvYz edilmYsinY qvvYlYr ctlYrinin toplanması deyilir. Bu qvvYlYr ctnY YvYzlYyicisi ct dY deyilir.

Teorem. vYzlYyici qvvYlYr ctnn momentinin vektoru toplanan qvvYlYr ctlYrinin momentlYrinin vektorlarının hYndYsi cYminY bYrabYrdir.

Isbatı. KYsişYn vY mstYvilYrindY yerlYşYn iki vY qvvYlYr ctnn toplanmasına baxaq (şYk.1.29). QvvY ctlYrinin momentlYrinin vektorlarını uyğun olaraq vY işarY edYk. Bu qvvYlYr ctlYrinin  tYsir mstYvilYri zYrindY yerlYrini elY dYyişirik ki, onların hYr ikisinin qolu olsun. Bu YmYliyyat nYticYsindY iki yeni vY qvvYlYr ctalmış oluruq. Aydındır ki, yeni qvvYlYr ctlYrinin momentlYrinin vektorları uyğun knY qvvYlYr ctlYrinin momentlYrinin vektorlarına bYrabYr olmalıdır. YYni ; . Bu momentlYrin modulları isY ; . Buradan

;

ntYsindY tYtbiq olunmuş vY qvvYlYrini toplayaraq onların YvYzlYyicisi qvvYsini alırıq. ntYsindY vY qvvYlYrini toplayaraq onların YvYzlYyicisi qvvYsini alırıq. vY paralel, vY paralel olduqları çn vY paralel olacaqdır. Bu qvvYlYr hYr hansı mstYvisi zYrindY yerlYşYn, qolu olan qvvYlYr ctYmYlY gYtirirlYr. Bu qvvYlYr ctnn momenti

olur.

BelYliklY, grk ki, YvYzlYyici qvvYlYr ctnn momenti toplanan qvvYlYr ctlYrinin momentlYrinin hYndYsi cYminY (şYk.1.29, b) bYrabYrdir.

b)

ŞYk. 1.29.
Bu qaydadan istifadY edYrYk istYnilYn sayda qvvYlYr ctlYrini toplamaq olar. Bu mYqsYdlY, bir ntYdY güşYn qvvYlYr sisteminin hYndYsi toplanmasında olduğu kimi, toplanan qvvYlYr ctnn momentlYrinin vektorlarından ibarYt qvvYlYr 輟xbucaqlısı qurub onun qapayıcısını tapmaq lazımdır. YYni YvYzlYyici qvvYlYr ctnn momenti

olur.

FYzada ixtiyari qvvYlYr ctlYri sisteminin tarazlıqda olması çn bu ctlYrin momentlYrinin vektorlarının hYndYsi cYmi sıfıra bYrabYr olmalıdır, başqa slY, onlar çn qurulmuş qvvYlYr 輟xbucaqlısı qapanmalıdır.
1.16. QvvYnin ntYyY nYzYrYn momenti
QvvYnin modulunun onun qoluna, baxılan ntYdYn qvvYnin tYsir xYttinY qYdYr olan Yn qısa mYsafYyY, hasilinY qvvYnin ntYyY nYzYrYn– moment mYrkYzinY nYzYrYn momentinin modulu deyilir. ntYsinY nYzYrYn momentin modulu belY işarY olunur (şYk.1.30).

ŞYk. 1.30

Momentin modulu, hYm輅nin, Ysası qvvYnin modulu , tYpYsi moment mYrkYzi ntYsindY olan çbucağın sahYsinin iki mislinY bYrabYr olur.

Momentin tYtbiq olunduğu cisim moment mYrkYzi Ytrafında fırlanmağa 軋lışır. Fırlanma haqqında tam tYsYvvr yaratmaq çn nYinki momentin modulu, hYm dY fırlanma mstYvisi dY mYlum olmalıdır.

MstYvinin fYzada vYziyyYti ona perpendikulyar çYkilmiş xYttin vYziyyYti ilY müYyyYn olunur. Buradan da ntYyY nYzYrYn momentin vektor anlayışı meydana çıxır.

QvvYnin hYr hansı ntYyY nYzYrYn momentinin vektoru bu ntYdY tYtbiq olunmuş, hYmin ntY vY qvvY vektorunun yerlYşdiyi mstYviyY perpendikulyar olan vektora deyilir. QvvY momentinin vektoru elY yYlir ki, onun sonundan mstYviyY baxdıqda qvvY momentinin verdiyi fırlanma saat YqrYbinin Yksi istiqamYtindY gnsn. QvvY momentinin vektoru hYmin qvvYnin tYtbiq ntYsinin, baxılan moment mYrkYzinY nYzYrYn radius vektoru ilY qvvYnin vektorunun vektorial hasilinY bYrabYrdir. ntYsinY nYzYrYn qvvYsinin momentinin vektoru çn yazmaq olar (şYk.1.31).

ŞYk. 1.31

Bu momentin modulu

olur.

1.17. QvvYnin oxa nYzYrYn momenti
QvvYnin oxa nYzYrYn momenti bu qvvYnin ox zYrindY grlmüş ixtiyari ntYyY nYzYrYn momentinin vektorunun ox zYrinY proyeksiyasına bYrabYrdir.

qvvYsinin oxuna nYzYrYn momenti (şYk. 1.32) çn yazmaq olar:

ŞYk. 1.32

Burada – qvvYsinin ntYsinY nYzYrYn momentinin vektorudur; vektoru ilY oxunun msbYt istiqamYti arasındakı bucaqdır.

QvvYnin oxa nYzYrYn momentini başqa cr dY ifadY etmYk olar.

QvvYnin oxa nYzYrYn momenti bu qvvYnin oxa perpendikulyar mstYvi zYrinY proyeksiyası ilY bu proyeksiyanın oxdan olan Yn qısa mYsafYsinin hasilinin cYbri qiymYtinY bYrabYrdir. Bunu isbat edYk.

qvvYsinin oxa perpendikulyar mstYvi zYrinY proyeksiyasını , bu qvvYsinin oxundan olan Yn qısa mYsafYsini ilY, proyeksiyasının isY oxdan olan Yn qısa mYsafYsini ilY işarY etsYk (şYk.1.33) qvvYnin oxa nYzYrYn momenti çn yazmaq olar:

oxunun msbYt istiqamYtindYn mstYviyY baxdıqda qvvYnin verdiyi fırlanma saat YqrYbi istiqamYtinin YksinY olduqda bu momentin işarYsi msbYt, saat YqrYbi istiqamYtindY olduqda isY mYnfi olur.

Bildiyimiz kimi, ntYyY nYzYrYn momentin modulu qvvYnin modulu ilY ntYnin YmYlY gYtirdiyi çbucağın sahYsinin iki mislinY bYrabYrdir. Onda qvvYsinin momentinin modulu

olar.

Bu sahY , gndykimi, çbucağının sahYsi -nun proyeksiyasıdır. ﾜ軛ucaqların mstYvilYri arasındakı bucaq olduğu çn yazmaq olar:

ŞYk. 1.33

Onda qvvYsinin oxa nYzYrYn momenti çn yazmaq olar:

DemYli, qvvYnin oxa nYzYrYn momenti bu qvvYnin oxa perpendikulyar mstYvi zYrinY proyeksiasının bu mstYvi ilY oxun kYsişmY ntYsinY nYzYrYn momentinY bYrabYrdir.

1.18. QvvYnin koordinat oxlarına nYzYrYn

momentlYrinin tapılması
Bildiyimiz kimi qvvYsinin ntYsinY nYzYrYn momentinin vektoru aşağıdakı dsturla tYyin olunur:

Burada – qvvYsinin tYtbiq ntYsinin radius-vektorudur.

QvvYnin ntYsinY nYzYrYn momentinin vektorunu koordinat oxları zYrindY toplananları ilY belY yazmaq olar:

NYzYrY alsaq ki, qvvYnin ntYyY nYzYrYn momentinin vektorunun ntYdYn keçYn ox zYrinY proyeksiyası hYmin oxa nYzYrYn momentinY bYrabYrdir, onda yuxarıdakı ifadYni belY yazmaq olar:

(1.8)

Burada – koordinat oxlarının ortalarıdır.

DigYr tYrYfdYn vektorlar cYbrindYn mYlumdur ki, vY vektorunun vektorial hasili çn yazmaq olar:

Bu ifadYdY – qvvYsinin tYtbiq ntYsinin koordinatlarıdır; – qvvYsinin koordinat oxları zYrindY proyeksiyalarıdır.

Bu determinantı birinci sıranın elementlYri zrY yazsaq, alarıq

Ikinci hYddin qarşısındakı işarYni YksinY dYyişYk.

(1.9)

(1.8) vY (1.9) ifadYlYrini mqayisY etdikdY grk ki, qvvYsinin koordinat oxlarına nYzYrYn momentlYrinin modulları aşağıdakı dsturlarla tYyin olunur:

(1.10)

Yadda saxlamaq lazımdır ki, (1.9)-da koordinatlar vY qvvYnin proyeksiyaları  işarYlYri ilY yazılmalıdır.

1.19. QvvYnin nY paralel krlmYsi teoremi
Teorem. QvvYni, cismY tYsirini dYyişmYdYn, nY paralel olaraq ixtiyari ntYyY krmYk olar o şYrtlY ki, hYmin cismY, momenti krlYn qvvYnin krmY ntYsinY nYzYrYn momentinY bYrabYr olan, qvvYlYr ctYlavY edilsin. Bu teorem Puanso teoremi adlanır.

Isbatı. FYrz edYk ki, cismY ntYsindY tYtbiq olunmuş qvvYsini nY paralel olaraq ntYsinY (şYk. 1.34) krmYk tYlYb olunur. ntYsindY modulca qvvYsinY bYrabYr, ona paralel olan vY bir-birinin YksinY yYlmiş iki vY

qvvYlYrini tYtbiq edYk. lavY edilmiş qvvYlYr sistemi tarazlıqda olduğu çn, aydındır ki, cismin halı dYyişmYz qalır.

vY qvvYlYri momenti olan qvvYlYr ctYmYlY gYtirir, yerdY isY qvvYsi qalır. BelYliklY, qvvYsi nY paralel olaraq ntYsinY ke輅rilmiş olur. Bu suldan istifadY edYrYk ixtiyari qvvYlYr sistemini bir ntYdY tYtbiq edilmiş qvvYlYr sisteminY gYtirmYk olar.

1.20. İxtiyari qvvYlYr sisteminin baş vektoru vY baş momenti
Tutaq ki, cismY fYzada ixtiyari yerlYşmiş qvvYlYr sistemi tYsir edir (şYk.1.35). Puanso teoremindYn istifadY edYrYk bu qvvYlYri ntYsinY krYk. NYticYdY ntYsindY tYtbiq edilmiş fYza qvvYlYr sistemini vY momentlYrinin vektorları , , olan ; ; fYza qvvYlYr ctsistemini almış oluruq.

ŞYk. 1.35

ntYsindY tYtbiq olunmuş qvvYlYrini vektor 輟xbucaqlısı sulu ilY toplayıb onların hYndYsi cYmini– baş vektorunu almaq olar. YYni qvvYlYr sisteminin baş vektoru

olur.

Baş vektoru koordinat oxları zrY toplananlarına ayırsaq, yazmaq olar

Aydındır ki, toplananların modulları qvvYlYr sisteminin qvvYlYrinin uyğun oxlar zYrinY proyeksiyalarının cYbri cYminY bYrabYr olmalıdır. YYni

; ;

Baş vektorun modulu:

Baş vektorun yYldici kosinusları:

; ; ;

olur.

QvvYlYr ctlYrinin momentlYrinin vektorları da gndykimi bir ntYdY tYtbiq olunmuşlar. Bunları da vektor 輟xbucaqlısı sulu ilY toplayıb hYndYsi cYmi– qvvYlYr sisteminin baş momentini tYyin etmYk olar. Baş moment:

olur.

Baş momenti koordinat oxları zrY toplananlarına ayırsaq, yazmaq olar

Bu toplananların modulları qvvYlYr sisteminin qvvYlYrinin koordinat oxlarına nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYminY bYrabYr olmalıdır. YYni

; ;

Baş momentin modulu

olur.

Baş momentin vektorunun yYldici kosinusları

; ;

olur.

BelYliklY, bu nYticYyY gYlirik ki, ixtiyari fYza qvvYlYr sistemi gYtirmY mYrkYzi adlanan ntYdY tYtbiq edilmiş bir baş vektorla vY hYmin ntYdY tYtbiq olunmuş qvvYlYr sisteminin baş momenti ilY YvYz oluna bilYr.

Baş vektorun modulu vY istiqamYti gYtirmY ntYsinin vYziyyYtindYn asılı deyil.

Baş momentin modulu vY istiqamYti isY gYtirmY ntYsinin vYziyyYtindYn asılıdır.
1.21. Yastı qvvYlYr sisteminin qvvYlYr ctvY qvvYlYrinin

momenti cYbri kYmiyyYtlYr kimi
Yastı qvvYlYr sistemi çn qvvYlYr ctnn vY qvvYnin momentinin vektor anlayışı mYnasını itirmiş olur, 錮nki bu vektorlar hYmişY qvvYlYrin vY ctlYrin tYsir mstYvisinY perpendikulyar olacaqdır. Bu halda ct qvvYlYrin vY qvvYnin momentinY cYbri kYmiyyYt kimi baxılır vY onlar modul vY işarYlYri ilY müYyyYn olunurlar.

QvvYlYr ctnn momenti qvvYnin modulunun ctn qoluna hasilinin cYbri qiymYtinY deyilir

Bu moment cismY mstYvi zYrindY verdiyi fırlanma istiqamYti saat YqrYbi YksinY olduqda msbYt, saat YqrYbi istiqamYtindY olduqda isY mYnfi hesab olunur.

gYr cismY bir neçY qvvYlYr cttYsir edirsY, onları bir YvYzlYyici ctY gYtirmYk olar. vYzlYyici ctn momenti verilYn ctlYrin momentlYrinin cYbri cYminY bYrabYr olur

QvvYnin ntYyY nYzYrYn momenti qvvYnin modulunun onun qoluna hasilinin cYbri qiymYtinY deyilir

Momentin işarYsi yuxarıdakı kimi tYyin olunur.

1.22. Yastı qvvYlYr sisteminin baş vektor vY baş momentinin tYyini

İxtiyari qvvYlYr sistemindY olduğu kimi yastı qvvYlYr sistemindY dY baş vektor qvvYlYrin hYndYsi cYminY bYrabYr olur. Onun modulu

olur. Burada vY – baş vektorun vY oxları zYrinY proyeksiyalarıdır. Baş vektorun yYldici kosinusları

;

olur.

QvvYlYr sisteminin hYr hansı bir ntYsinY nYzYrYn baş momenti hYmin ntYyY nYzYrYn btn verilmiş qvvYlYrin momentlYrinin cYbri cYminY bYrabYr olar

Indi yastı qvvYlYr sisteminin xsusi hallarına baxaq.

1. Yastı qvvYlYr sistemi bir qvvYlYr ctnY gYtirilir.

gYr sistemin baş vektoru , baş momenti isY demYli sistem bir qvvYlYr ctnY gYtirilir.

Bu halda baş momentin qiymYti gYtirmY ntYsinin vYziyyYtindYn asılı olmamalıdır, Yks halda belY çıxardı ki, eyni bir sistem momentinin modulu mxtYlif olan qvvYlYr ctilY YvYz olunur.

MYsYlYn. Tutaq ki, qvvYlYr sistemi verilmişdir (şYk. 1.36). QvvYlYr sisteminin baş vektoru

DemYli . QvvYlYr sisteminin ntYsinY nYzYrYn baş momenti

QvvYlYr sisteminin ntYsinY nYzYrYn baş momenti

ŞYk.1.36
olduğu çn olur. Onda

olur. DemYli, olduqda baş moment gYtirmY ntYsinin vYziyyYtindYn asılı olmur.

2. Yastı qvvYlYr sistemi bir YvYzlYyici qvvYyY gYtirilir. vYzlYyici qvvYnin momenti haqqında Varinyon teoremi.

Tutaq ki, hYr hansı yastı qvvYlYr sistemi ntYsindY tYtbiq olunmuş baş vektora vY baş momentY gYtirilmYsidir (şYk.1.37).

Bu baş momenti elY qvvYlYr ct ilY YvYz edYk ki, onun momenti olsun vY qvvYlYrinin modulu isY baş vektora bYrabYr olsun. YYni, olsun (şYk. 1.38). Bu ctn momentinin modulu

Buradan qvvYlYr ctnn qolu

olur.

ŞYk.1.38

Bu qvvYlYr ctnmstYvi zYrindY elY srüşdrrk ki, qvvYsi ntYsindY tYtbiq olunaraq qvvYsinin YksinY yYlsin. Alınmış sistem qvvYsi vY momentli qvvYlYr ctnY ekvivalent olur (şYk. 1.38).

olduğu çn onlar tarazlıqda olur vY sistemdYn atıla bilYr. Bu zaman ntYsindY tYtbiq olunmuş bir qvvYsi qalır. BelYliklY, sistem bir YvYzlYyici qvvYyY gYtirilmiş olur.

Yuxarıdakı mlahizYlYrdYn gnr ki, YvYzlYyici qvvYsini ntYsinY nYzYrYn momentinin modulu sistemin ntYsinY nYzYrYn baş momentinin moduluna bYrabYrdir .

DigYr tYrYfdYn, yuxarıda gtYrdiyimiz kimi, qvvYlYr sisteminin hYr hansı ntYyY nYzYrYn baş momenti sistemin qvvYlYrinin hYmin ntYyY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYminY bYrabYrdir. YYni

Buradan alırıq ki,

DemYli, yastı qvvYlYr sisteminin YvYzlYyicisinin onların tYsir mstYvisi zYrindY grlmüş ixtiyari ntYyY nYzYrYn momenti sistemin qvvYlYrinin hYmin ntYyY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYminY bYrabYrdir. Bu Varinyon teoremi adlanır.

1.23. Yastı qvvYlYr sisteminin tarazlıq şYrti
Yastı qvvYlYr sisteminin tarazlıq şYrtinin ç forması mcuddur.

1. İxtiyari mstYvi qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn sistemin qvvYlYrinin onların mstYvisindY yerlYşYn hYr hansı iki koordinat oxları zYrinY proyeksiyalarının cYbri cYmi vY hYmin qvvYlYrin ixtiyari ntYyY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYmi sıfra bYrabYr olsun. YYni

; ; (1.11)

2. İxtiyari mstYvi qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn sistemin qvvYlYrinin bir dz xYtt zYrindY yerlYşmYyYn hYr hansı ç ntYyY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYmlYri sıfra bYrabYr olmalıdır

; ; (1.12)

Bu şYrtlYrin vacibliyi ondan irYli gYlir ki, qvvYlYr sisteminin baş momenti olmalıdır.

Bu şYrtlYrin kafiliyi ondan irYli gYlir ki, YgYr olsa idi, onda qvvYlYr sistemi bir YvYzlYyici qvvYyY gYtirilYrdi. Bu zaman Varinyon teoreminY YsasYn bu YvYzlYyici qvvYnin ixtiyari ntYyY nYzYrYn momenti sistemin qvvYlYrinin hYmin ntYyY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYminY bYrabYr olaraq sıfırdan fYrqlYnmYli idi. BelY olduqda (1.12) şYrti YnmYzdi.

DigYr tYrYfdYn qvvYlYr sistemi bir ct qvvYyY gYtirilY bilmYz. ﾇnki bu halda qvvYlYr sisteminin ixtiyari ntYyY nYzYrYn baş momenti sıfırdan fYrqlYnmYlidir.

3. İxtiyari mstYvi qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn sistemin qvvYlYrinin hYr hansı ox zYrinY proyeksiyalarının cYbri cYmi vY qvvYlYrin bu oxa perpendikulyar olmayan xYtt zYrindY yerlYşYn ixtiyari iki ntYyY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYmlYri sıfra bYrabYr olmalıdır. Bu halda tarazlıq tYnliklYri belY yazılır:

; ; (1.13)

Bu şYrtlYrin kafiliyi ondan irYli gYlir ki, YgYr sistemin baş momenti sıfra bYrabYr olsa idi, (1.13)-n ikinci vY çnctYnliyi YnilsY idi, sistemin baş vektoru isY sıfırdan fYrqlYnsY idi, onda bu vektor vY ntYlYrinin birlYşdirYn xYtt zYrindY yerlYşmYli idi. Bu halda sistemin birinci tYnliyi YnilmYzdi.

Xsusi halda, sistem paralel qvvYlYrdYn tYşkil olunsa idi, onda proyeksiya oxunu sistemin qvvYlYrinin tYsir xYtlYrinY perpendikulyar grmYklY (1.11) tarazlıq şYrtlYrinin birinci tYnliyini eyniliyY 軻vrilYrdi. Bu halda paralel qvvYlYrin tarazlıq tYnliklYri belY olardı

; (1.14)

Paralel qvvYlYr çn (1.13) tarazlıq şYrtindY dY birinci tYnlik eyniliyY 軻vrilYrdi vY tarazlıq tYnliklYri belY yazılardı:

; (1.15)
1.24. İxtiyari fYza qvvYlYr sisteminin tarazlıq şYrtlYri
İxtiyari fYza qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn bu qvvYlYr sisteminin baş vektoru vY ixtiyari ntYsinY nYzYrYn baş momenti sıfra bYrabYr olmalıdır.

Bildiyimiz kimi, bu baş vektor vY baş momentin modulları aşağıdakı dsturlarla tYyin olunurlar

Dsturlardan gnr ki, vY sıfra bYrabYr olması çn

(1.16)

olmalıdır.

DemYli, ixtiyari fYza qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn onu tYşkil edYn qvvYlYrin ç koordinat oxları zYrinY proyeksiyalarının cYbri cYmi vY hYmin koordinat oxlarına nYzYrYn qvvYlYrin momentlYrinin cYbri cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır.

Indi fYza qvvYlYr sisteminin tarazlığının xsusi hallarına baxaq

1. fYza qvvYlYr sisteminin qvvYlYri bir-birinY paraleldir.

Koordinat oxlarının se輅mi ixtiyari olduğu çn oxunu qvvYlYrY paralel qYbul edYk (şYk.1.40).

ŞYk.1.40
ŞYkildYn gndykimi bu halda qvvYlYrin vY oxları zYrinY proyeksiyaları hYmişY sıfra bYrabYr olacaqdır. Onda tarazlıq tYnliklYrindYn ikisi ; eyniliyY 軻vrilir vY onlara ehtiyac qalmır.

Btn qvvYlYr oxuna paralel olduğu çn qvvYlYrin bu ox zYrinY proyeksiyaları onların modullarına bYrabYr olur vY (1.16) sisteminin çnctYnliyi artıq belY yazıla bilYr: .

QvvYlYrin ntYsinY nYzYrYn momentlYrinin vektorları hYmişY oxuna perpendikulyar yYlYcYkdir. Odur ki, bu vektorların oxu zYrinY proyeksiyaları sıfra bYrabYr olacaqdır. Bu sYbYbdYn (1.16) tYnlik sisteminin çnc eyniliyY 軻vrilir.

BelYliklY, paralel olan fYza qvvYlYr sisteminin ç tarazlıq şYrti qalır:

; ; (1.17)

DemYli, fYzada yerlYşYn paralel qvvYlYrin tarazlıqda olması çn onların cYbri cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır vY qvvYlYrin vY oxlarına nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYmi dY sıfra bYrabYr olmalıdır.

1.25. Bir neçY hissYfYn ibarYt cisim sisteminin tarazlığı

BYzYn bir neçY hissYdYn ibarYt cisim sisteminin tarazlıq mYsYlYsinY baxmaq lazım gYlir. Bu hissYlYr bir-biri ilY oynaqlar, elastik saplarla YlaqYlYnYn vY ya bir-birinY skYnirlYr.

MYlumdur ki, cisimlYr sistemi tarazlıqdadırsa, onda sistemi tYşkil edYn hYr bir cisim dY tarazlıqda olmalıdır. BelY sistemin tarazlıq mYsYlYsi hYll edilYndY hYr bir cismin tarazlığına ayrıca baxılır. HYr bir cisim çn tarazlıq tYnliklYri yazıldıqda digYr cisimlYrin baxılan cismY tYsiri rabitY reaksiyaları ilY YvYz olunur.

BelY sistemlYrdY rabitY reaksiyalarının sayı buraxıla bilYndYn (yastı-mstYvi sistemlYr çn–3, fYza sistemlYri çn–6) artıq olur. Odur ki, bu sistemlYr statik hYll olmayan sistemlYr adlanırlar.

BelY sistemlYrin hYllinY aşağıda (şYk.1.41) verilmiş tirin misalında baxaq: tiri oynaqla birlYşdirilmiş iki vY qollarından ibarYtdir. TirY vY qvvYlYri tYsir edir. dayaqlarında meydana çıxan vY dayaq reaksiya qvvYlYrini tapmaq tYlYb olunur.

Gndykimi tirY tYsir edYn qvvYlYr sistemi paralel qvvYlYr sistemidir. BelY qvvYlYr sisteminin tarazlıqda olması çn bilirik ki, onların tirin oxuna – oxuna, perpendikulyar olmayan xYtt zYrindYki iki ixtiyari ntYyY nYzYrYn momentlYrinin cYbri cYmi sıfra bYrabYr olmalıdır. Lakin tirin isY ç YdYd mYchul vY reaksiya qvvYlYri var. DemYli, tir statik hYll olunan deyil.

BelY tiri hYll etmYk çn onun tYrkibinY daxil olan vY tirlYrinin tarazlığına ayrıca baxmaq lazımdır. Bu zaman oynağında tirlYrin bir-birinY tYsirini mYchul reaksiya qvvYsi ilY YvYz etmYliyik.

tirinin tarazlıq şYrtini yazaq:

Bu tYnliklYrdYn

;

tirinin tarazlıq tYnliyini yazaq:





olduğunu nYzYrY aldıqda bu tYnliklYrdYn alırıq:

;

ŞYk.1.41
1.26. SrtnmY olduğu halda cismin tarazlığı

Kulon qanunları

SrüşmY srtnmY qvvYsi bir cismin digYr cisim sYthi zYrindY srüşmYsinY mqavimYt qvvYsinY deyilir. Cismin sYthlYri arasındakı srtnmY qvvYsi skunYt srtnmY qvvYsi vY hYrYkYt srtnmY qvvYsi kimi iki n olurlar. Birinci n srtnmY qvvYsi cisimlYr arasında, onların bir-birinY nYzYrYn skunYtdY– hYrYkYtsiz olduğu halda yaranan srtnmY qvvYsinY, ikinci n srtnmY qvvYsi isY cisimlYrin bir-birinY nYzYrYn srüşYrYk hYrYkYt etdiyi zaman yaranan srtnmY qvvYsinY deyilir.

TYcrbYlYr Ysasında Kulon srtnmYnin aşağıdakı qanunlarını müYyyYn etmişdir:

1. 
   SrtnmY qvvYsi cisimlYrin srüşmYdY iştirak edYn sYthlYrinin 錮lYrindYn asılı deyil;
   
2. 
   SkunYt srtnmY qvvYsi tYtbiq edilmiş qvvYlYrdYn asılıdr vY müYyyYn hYddY qYdYr cisimlYrin bir-birinY nYzYrYn srüşmYsinin qarşısını alır;
   
3. 
   SrtnmY qvvYsinin maksimum qiymYti cisimlYrin bir-birinY toxunan sYthlYrY normal sıxılma qvvYsi ilY dz mtYnasibdir
   

Burada – srüşmY srtnmY Ymsalı; – srüşYn sYthlYrin normal reaksiya qvvYsi

4. 
   SrtnmY qvvYsinin maksimal qiymYti srüşYn sYthlYrin materialından, texniki halından, sYthlYr arasındakı yağın nndYn asılıdır;
   
5. 
   HYrYkYt zamanı srtnmY qvvYsi skunYt srtnmY qvvYsinin maksimal qiymYtindYn ki輅k olur. Bu sYbYbdYn dY hYrYkYt zamanı srüşmY srtnmY Ymsalı skunYt srüşmY Ymsalından ki輅k olur.
   

Bu qanunları izah etmYk çn belY bir tYcrbY aparaq.

Ağırlığı olan horizontal qeyri-hamar mstYvi zYrindY yerlYşYn cismi grYk (şYk.1.42). CismY qvvYsini tYtbiq edib onu tYdricYn artıraq. Bu qvvYnin modulu müYyyYn bir qiymYt alana qYdYr cisim tYrpYnmYz qalır. Bu gtYrir ki, onun hYrYkYtinY mane olan qvvYsinin YksinY yYlmiş başqa bir qvvY dY cismY tYsir edir. Bu qvvYyY srtnmY qvvYsi deyilir vY ilY işarY edilir. qvvYsi artdıqda srtnmY qvvYsi dY artır vY o müYyyYn maksimal qiymYt aldıqda cismi hYrYkYtY başlayır. SrtnmY qvvYsinin bu maksimal qiymYtinY skunYt srüşmY srtnmY qvvYsi deyilir vY ilY işarY edilir.

ŞYk. 1.42

ŞYkildYn gnr ki,

, ,

olmalıdır.

SrtnmY bucağı vY konusu

Yuxarıdakı şYkildYn gnr ki, tYrpYnmYz mstYvinin reaksiya qvvYlYri normal vY srtnmY qvvYlYrindYn ibarYtdir. Bu qvvYlYrin YvYzlYyicisi– tam reaksiya qvvYsi (şYk.1.43) belY tYyin olunur:

ŞYk. 1.43

Bu qvvYsi ilY mstYvinin normalı arasındakı bucağı srtnmY bucağı adlanır. Bu bucağın tangensi

Onda olur.

Bu ifadYnin ifadYsi ilY mqayisYsindYn grk ki,

DemYli, srtnmY bucağının tangensi srtnmY Ymsalına bYrabYrdir.

SkunYt srüşmY qvvYsi hYrYkYt srüşmY qvvYsindYn bk olduğu çn skunYt srüşmY Ymsalı vY srüşmY bucağı hYrYkYt srüşmY Ymsalı vY srüşmY bucağından bk olur.

Doğuranı srüşmY mstYvisinin normalı ilY skunYt srüşmY bucağı YmYlY gYtirYn konusa srtnmY konusu deyilir (şYk. 1.44).

ŞYk. 1.44

Tutaq ki, cismY tYsir edYn qvvYlYrin YvYzlYyicisi normalla bucağı YmYlY gYtirir. Bu qvvYni normal vY toxunan toplananlarına ayıraq. Onda cismi hYrYkYt etdirmYyY 軋lışan toxunan qvvY olar.

Cismin hYrYkYtsiz– skunYtdY qalması çn bu qvvY skunYt srüşmY srtnmY qvvYsindYn ki輅k olmalıdır. YYni

olduğunu nYzYrY aldıqda

Buradan vY ya olmalıdır.

DemYli, cismin tarazlıqda–skunYtdY olması çn cismY tYsir edYn qvvYlYr sisteminin YvYzlYyicisi srtnmY konusunun daxilindY yerlYşmYlidir. HYrYkYtin başlanması çn YvYzlYyici, srtnmY konusundan kYnara çıxmalıdır.
1.27. Paralel qvvYlYrin mYrkYzi
ntYlYrindY tYtbiq edilmiş paralel qvvYlYr sisteminY baxaq (şYk. 1.45).

ŞYk. 1.45

vvYlcY vY qvvYlYrini toplayaraq, onların YvYzlYyicisi qvvYsini tapırıq. Bu YvYzlYyicinin tYtbiq ntYsi -in vYziyyYtini aşağıdakı mYlum nisbYtdYn tapırıq:

(1.18)

Sonra vY qvvYlYrini toplayaraq onların YvYzlYyicisi qvvYsini tapırıq. Bu qvvY hYm dY verilYn qvvYlYr sisteminin YvYzlYyicisi olur.

qvvYsinin tYtbiq ntYsi – nin vYziyyYtini aşağıdakı nisbYtdYn tapmaq olar:

gYr verilYn qvvYlYri onların tYtbiq ntYlYri Ytrafında eyni istiqamYtdY, paralelliyini saxlamaq şYrtilY, fırlatsaq, aydındır ki, bu zaman onların YvYzlYyicisinin modulu vY tYtbiq ntYsi dYyişmYz qalar.

Verilmiş paralel qvvYlYrin istiqamYtindYn asılı olmayaraq onların YvYzlYyicisinin tYtbiq olunduğu (tYsir xYttinin ke軼iyi) bu ntYsinY paralel qvvYlYrin mYrkYzi deyilir.

Bu ntYnin koordinatlarını ; ; , ntYlYrinin verilmiş koordinatlarını isY uyğun olaraq ; ; işarY edib paralel qvvYlYrin mYrkYzinin koordinatlarını tYyin edYk.

Analitik hYndYsYdYn mYlumdur ki, hYr hansı bir par軋nı nisbYtindY bYn ntYsi çn yazmaq olar (şYk. 1.46)

ŞYk. 1.46

Buradan ntYsinin koordinatı

vY qvvYlYrini topladıqda alınmış (1.18) ilY mqayisYdYn gnr

; ; vY

olur. Onda ntYsinin absisi çn yazmaq olar:

(1.19)

vY qvvYlYrini topladıqda isY (1.18) ilY mqayisYdYn

;

olur. Onda ntYsinin absisi çn yazmaq olar:

(1.20)

– in qiymYtini (1.19)-dYn (1.20)-Y yazdıqda alırıq:

Analoji olaraq ntYsinin digYr koordinatlarını da tapmaq olar. BelYliklY, paralel qvvYlYrin mYrkYzi ntYsinin koordinatları çn aşağıdakı dsturları alırıq:

; ; (1.21)

gYr paralel qvvYlYr sisteminin tYrkibindY Yks yYlmiş qvvYlYr dY varsa, onda (1.21) dY qvvYlYr  işarYlYri ilY yazılır. (1.21) dsturu yalnız halı çn doğrudur.

1.28. Cismin ağırlıq mYrkYzi

Cismin ayrı-ayrı hissYcisklYrinin ağırlıq qvvYlYrinY paralel qvvYlYr sistemi kimi baxmaq olar. Onda cismin ağırlıq mYrkYzi dedikdY bu paralel qvvYlYrin mYrkYzi başa düşlr. HYmin qvvYlYrin YvYzlYyicisi isY cismin çYkisi olur.

Ağırlıq mYrkYzinin koordinatlarını tYyin etmYk çn paralel qvvYlYr sisteminin koordinatları çn çıxarılmış dsturlarda qvvYsi YvYzinY cismin hissYciklYrinin çYkilYri qoyulur. Bu halda ağırlıq mYrkYzinin koordinatları:

;

(1.22)

olur. Burada – cismin hissYciklYrinin ağırlığı; – cismin hissYciklYrinin koordinatları.

gYr cisim eynicinslidirsY– yYni hissYciklYrinin xsusi çYkilYri eynidirsY, onda hissYciklYrin çYkisi YvYzinY (1.22) dsturlarında onların hYcmlYri yazıla bilYr. Bu halda ağırlıq mYrkYzinin koordinatları çn aşağıdakı dsturlar alınır:

; ; (1.23)

gYr cismin hissYciklYrinY elementar hissYciklYr kimi baxsaq (7) dsturları belY yazılar:

; ; (1.24)

Cisim yastı olarsa, onda yuxarıdakı dsturlarda hYcmi YvYzinY sahYciklYri yazılır. Bu zaman dsturlar belY olur:

; (1.25)

vY ya

; (1.26)

(1.26) dsturlarının surYtlYrindY cismin elementar sahYciklYrinin onların koordinatlarına hasillYri yazılmışdır. Bu hasillYr cismin sahYsinin statik momentlYri adlanır. SahYnin oxuna nYzYrYn statik momenti , oxuna nYzYrYn statik momenti isY ilY işarY olunur. Onda

;

olur. Ağırlıq mYrkYzinin koordinatlarının dsturları isY belY yazılır:

; (1.27)

1.29. MrYkkYb formalı fiqur vY cisimlYrin ağırlıq mYrkYzlYrinin

vYziyyYtinin tYyini
MrYkkYb formalı cismin ağırlıq mYrkYzinin vYziyyYti analitik vY tYcrbi sulla tYyin edilY bilYr. Analitik sulda cismi, xYyali olaraq, ağırlıq mYrkYzlYrinin vYziyyYti mYlum olan sadY hissYlYr bb, sonra cismin ağırlıq mYrkYzinin koordinatları yuxarıda verilmiş dsturla hesablanır. Bu zaman YgYr cisimdY boşluqlar varsa, onların çYkilYri, hYcm vY sahYlYri mYnfi qiymYtlY grlr.

Cismin forması 輟x mrYkkYb olduqda ağırlıq mYrkYzinin koordinatlarını tYyin etmYk çn tYcrbi metoddan istifadY olunur. Bu metodlardan ikisi ilY tanış olaq.

1. ﾇYki metodu. Tutaq ki, srgqolunun– şatununun, ağırlıq mYrkYzinin (şYk. 1.47) vYziyyYtini tYyin etmYk lazımdır.

ŞYk. 1.47

Bu mYqsYdlY srgqolu ntYsindY elastik sapla asılır, ntYsindY isY dinamometrin (tYrYzinin) ucluğu zYrinY oturdulur. Dinamometrin gtYrişinY gY reaksiya qvvYsi tYyin edilir.

Srgqoluna tYsir edYn qvvYlYr sisteminin tarazlıq tYnliyini yazaq.

srgqolunun çYkisinin vY onun uzunluğunu YvvYlcYdYn bilYrYk bu tYnlikdYn srgqolunun ağırlıq mYrkYzinin koordinatını tapmaq olar

2. Asqı metodu. Ağırlıq mYrkYzinin vYziyyYtini tYyin etmYk lazım olan cismi YvvYlcY onun hYr hansı bir ntYsindYn asıb onun zYrindY reaksiya qvvYsinin tYsir xYttinin vYziyyYti qeyd edilir (şYk. 1.48).

ŞYk.1.48

Sonra cismi onun başqa bir ntYsindYn asıb onun zYrindY reaksiya qvvYsinin tYsir xYttinin vYziyyYti qeyd edilir.

Aydın olur ki, cismin ağırlıq mYrkYzi vY xYttinin kYsişmY ntYsindY yerlYşYkdir.