Tа’rif Agar biror X to’plamning har bir X elementiga qandaydir qonuniyat bo’yicha yagona f (X) ob’yekt mos qo’yilgan bo’lsa, bu f moslik funktsiya

Teorema 1. f : A  B akslantirish va X,Y  A lar uchun f X Y  f X f Y tenglik o’rinli. (Birlashmaning obrazi obrazlar birlashmasiga teng.)

Isboti:
Aytaylik, b f X Y bo’lsin. Demak, shunday a  X Y mavjudki, uning uchun f a  b . Agar a X bo’lsa, u holda f a  b f X  , bundan esa b f X f Y kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, aY ham isbotlanadi. Demak , f X Y  f X f (Y) ekanligi isbotlandi. Endi b f X f Y bo’lsin. Aniqlik uchun b f X  ni qaraylik, demak, shunday a X mavjudki, uning uchun f a  b . Bundan a X va a  X Y ekanligi, demak, b f X Y ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, b f Y ham isbotlanadi. Demak, f X  f Y  f X Y ekanligi isbotlandi. f X Y  f X f (Y) va f X  f Y  f X Y o’rinli bo’lsa, demakki, f X Y  f X f Y tenglik o’rinli.
Teorema 2. f : A  B akslantirish va X,Y  B lar uchun f X Y  f X  f Y  1 1 1    tenglik o’rinli. (Birlashmaning proobrazi proobrazlar birlashmasiga teng.)
Isboti:
a f X Y  1  elementni olaylik, bu f a X Y ekanini bildiradi, ya’ni f a X yoki f aY . Agar f a X bo’lsa, u holda proobraz ta`rifiga ko’ra a f X  1  bo’ladi, bundan esa a f X  f Y  1 1   ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, agar f aY bo’lsa, u holda a f X  f Y  1 1   . Bundan f X Y  f X  f Y  1 1 1    kelib chiqadi.
Endi aksincha qism to’plam bo’lishini ko’rsatamiz. a f X  f Y  1 1   bo’lsin, bundan a f X  1  yoki f aY . Agar a f X  1  bo;lsa, u holda f a X bo’ladi. Shuningdek, f a X Y bo’ladi, bundan a f X Y  1  kelib chiqadi. a f Y  1  bo’lgan hol gam shunday yo’l bilan isbotlanadi va F  X F Y F  X Y     1 1 1 U U hosil qilinadi. Bu ikkita isbotlangan qism to’plamlar birlashtirilsa, talab qilingan tenglikka kelamiz.

Teorema 3. f : A  B akslantirish va X,Y  A lar uchun f X Y  f X  f Y tenglik o’rinli.

Isboti:
b f X Y bo’lsin. Obraz ta’rifiga ko’ra, shunday a  X Y elementlar to’piladiki, ular uchun f a  b tenglik o’rinli. a  X Y ekanligidan a  X  a Y kelib chiqadi, demak, f a  b f X  va f a  b f Y , ya’ni b f X f Y . Bulardan talab qilingan tasdiq kelib chiqadi: f X Y  f X  f Y)
Misol 2.
Teskari tasdiq o’rinli bo’lmasligini misol yordamida ko’ramiz.   : 0 2 f x  x R  R  akslantirish bo’lsin.
X va Y to’plamlar sifatida X  1;0, Y  0;1 larni ko’raylik. Ravshanki, f X   0;1, f Y  0;1 , demak ularning kesishmasi f X  f Y  0;1 . So’ngra 1;00;1  0 ekanligidan f X Y  f 0  0 ni aniqlaymiz. Bu holda qism to’plam bo’lish f X  f Y  f X Y munosabati bajarilmaydi. Teorema 4. f : A  B akslantirish va X,Y  B to’plamlar uchun f X Y  f X  f Y  1 1 1    tenglik o’rinli. Isboti: a f X Y  1  bo’lsin, ya’ni f a  b X Y , demak, b  X  b Y , shuning uchun a f X  a f Y  1 1  va  bundan a f X  f Y  1 1   . Demak, f X Y  f X  f Y  1 1 1    . Endi teskari munosabatni isbotlash uchun a f X  f Y  1 1   ni olamiz, bundan a f X  a f Y  1 1  va  , demak, f a X и f aY , ya’ni f a X Y , shuningdek, a f X Y  1  o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa

Olingan qism to’plamlar birlashtirilsa, talab qilingan tenglikka kelamiz:

Ta’rif 4. Agar f ^(-1)munosabat qismiy funktsiya bo‘lsa, ya’ni , ( ) x1,x2 D (f) dan olingan uchun x 1 x 2f (x1) f (x2)bajarilsa, f funktsiyaga o’zaro bir qiymatli funktsiya yoki in’yektiv funktsiya deyiladi va f 11 B:A kabi belgilanadi.
Demak, in’yektiv funktsiyada takrorlanuvchi qiymatlar bo’lmaydi. Bundan 1 2 dan f ( x1 )  f (x2 ) x1  x 2kelib chiqadi.