Université Louis Lumière Lyon 2 Faculté de Géographie, Histoire de l’Art, Tourisme

Essays on Cellular Automata. C’est également lui qui publiera de façon posthume le travail de son maître : Theory of Self-Reproducing Automata, by John von Neumann, ed. by A. W. Burks, Urbana, University of Illinois Press, 1966.

5 Voir [Dupuy, J.-P., 1994, 1999], p. 51. Il est étonnant mais sans doute significatif que l’article de McCulloch et Pitts ne fasse aucune référence aux travaux que Rashevsky avait lui-même menés dans les années 1930 sur l’application de sa théorie de l’excitation et de l’inhibition des nerfs (nommée théorie des « deux facteurs ») à une structure nerveuse en réseau (simplifiée et hypothétique). Voir, sur ce point, [Rashevsky, N., 1960b], p. 144 et [Rosen, R., 2000], pp. 58, 120-121, 133 et 285. Rashevsky avait été jusqu’à montrer qu’une telle structure nerveuse en réseau pouvait manifester des signes de discrimination, de mémoire et d’apprentissage. Mais il n’a pas poursuivi ce travail car l’approche analytique qui était alors la sienne se trouva très vite en butte à de permanentes non-linéarités. Selon Rashevsky lui-même, comme selon un de ses autres élèves, Robert Rosen, ce serait ces travaux qui auraient été de véritables précurseurs pour McCulloch et Pitts. Ces derniers se seraient contentés, dix ans plus tard, de représenter le réseau de neurones formels, que Rashevsky avait d’abord conçu sous une forme analytique, sous une forme booléenne grâce à laquelle on peut appliquer la logique propositionnelle calculable de Whitehead, Russell et Carnap, et qu’affectionnait particulièrement McCulloch. Rosen résume cette évolution en disant qu’ils sont simplement passés de l’analyse à l’algèbre. Voir [Rashevsky, N., 1960b], p. 144 et [Rosen, R., 2000], p. 121. Ce jugement sévère, vraisemblablement partial, s’il vaut sans doute pour Pitts qui ne pouvait pas ignorer les travaux de son maître, est peut-être plus discutable pour McCulloch qui, selon Pierre Lévy, dès 1923 et de son côté, « avait imaginé une équivalence entre le calcul des propositions des Principia Mathematica et les règles régissant l’excitation et l’inhibition des neurones dans le réseau nerveux », (in Cahiers du CREA, n°7, p. 204, cité par [Pélissier, A. et Tête, A., 1995], p. 85).

6 [Ramunni, G., 1989], p. 72.

7 L’historien des sciences Philippe Goujon insiste sur l’importance de ce passage, antérieur historiquement, du « sens » au « signal » en physiologie théorique des phénomènes régulés, spécifiquement chez Sechenov puis chez Pavlov. Voir [Goujon, P., 1994a], p. 67. Selon Goujon, ce glissement a préparé l’approche de la première cybernétique.

1 Voir les termes employés page 63 de [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996]. Il y est question de « connexion », de « boîtes noires » et de « réponses à des stimuli ». L’analogie du circuit électronique est bien évidemment patente et prime donc sur l’évocation de la morphologie biologique. Même s’il prétend parfois faire entr’apercevoir une formulation schématique de la « multiplication cellulaire » (ibid., p. 102), le fond biologique de cet article reste donc essentiellement un renvoi permanent à la structure réticulaire et informationnelle du « système nerveux central », ibid., p. 65.

2 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 61.

3 Pour une présentation générale, voir [Ramunni, G., 1989], pp. 53-78.

4 [Turing, A. M. et Girard, J.-Y., 1995], pp. 47-103. L’introduction de la « machine automatique » se trouve au début de l’article, §2, ibid., page 52.

5 Pour une présentation classique mais plus circonstanciée, voir [Adami, C., 1998], pp. 22-26.

1 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], pp. 72-73: « La véritable importance d’une procédure digitale réside donc bien dans sa capacité à réduire le niveau de bruit relatif dû au calcul dans des proportions qui sont complètement inaccessibles dans toute autre procédure (analogique). En outre, il est de plus en plus difficile de réduire le niveau de bruit dans une machine analogique alors que c’est de plus en plus facile pour une machine digitale […] C’est ici, et non dans sa fiabilité absolue mais sans intérêt pratique, que réside l’importance de la procédure digitale ».

2 [Turing, A. M. et Girard, J.-Y., 1995], §§6-7, pp. 66-71.

3 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 62.

4 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 102. Pour une présentation plus circonstanciée, voir [Emmeche, C., 1994, 1999], pp. 51-57.

5 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 102.

6 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 102.

1 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 94.

2 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 94.

3 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 94.

1 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 82 : « Nous sommes très loin de disposer d’une théorie des automates qui mérite ce nom, à savoir une véritable théorie mathématique logique. » Voir également [Neumann (von), J., 1958, 1996], p. 14 : « Je voudrais noter en passant, qu’il serait très satisfaisant de pouvoir parler d’une ‘théorie’ au sujet de ces automates. Malheureusement tout ce dont nous disposons à l’heure actuelle n’est qu’une ‘masse d’expériences’ mal articulée et peu formalisée. »

2 Par exemple, s’agirait-il encore de mathématiques aux yeux du groupe Bourbaki ? Voir [Le Lionnais, F., 1962], p. 22 : « Entendues ainsi, les mathématiques se réduisent à l’étude de lois très générales s’appliquant à des collections d’éléments qui ne sont plus nécessairement des nombres ou des points. » Voir de N. Bourbaki lui-même : « Faire la théorie axiomatique d’une structure donnée, c’est déduire les conséquences logiques des axiomes de la structure en s’interdisant toute autre hypothèse sur les éléments considérés (en particulier, toute hypothèse sur leur ‘nature’ propre) », ibid., p. 41. C’est l’auteur (‘Bourbaki’) qui souligne. Plus loin on lit le passage souvent cité : « Dans la conception axiomatique, la mathématique apparaît en somme comme un réservoir de formes abstraites – les structures mathématiques ; et il se trouve – sans qu’on sache bien pourquoi – que certains aspects de la réalité expérimentale viennent se mouler en certaines de ces formes comme par une sorte de préadaptation », ibid., p. 47. La notion de « réservoir de formes vides » est reprise de [Weyl, H., 1949, 1963], p. 25.

3 [Neumann (von), J., 1948, 1951, 1996], p. 102.

4 [Neumann (von), J., 1958, 1996], p. 13.

1 [Burks, A. W., 1970], pp. 3-5.

2 Voir [Emmeche, C., 1994, 1999], pp. 54-56.

3 N’oublions pas que von Neumann a été un élève de Hilbert.

4 [Ulam, S., 1949], p. 207 et [Ulam, S., 1976, 1991], p. 197.

5 George Polya était né à Budapest en 1887. Il fit des études de philosophie et de mathématiques à l’Université de Budapest à partir de 1905. Il soutint son doctorat en théorie des probabilités en 1912. Il y montrait que certains problèmes de diffusion sont traitables mathématiquement par passage à la limite d’une marche au hasard discontinue sur une droite ou dans un espace à deux ou trois dimensions. Voir l’article de G. Darmois et D. Dugué in [Taton, R., 1964, 1995], p. 86. À partir de 1914, il enseigne les mathématiques à l’Institut Fédéral de Technologie de Zürich. En 1940, il s’exile aux Etats-Unis. Il s’installe à Palo-Alto (Californie) en 1942 et devient professeur à Stanford. Il fut auparavant un des professeurs de von Neumann à Zürich. À la suite de Euler (1707-1783) et de Poincaré (1854-1912), il s’était toujours intéressé aux procédures psychologiques de découvertes des démonstrations en mathématiques. Cela l’avait amené en 1945 à la publication d’un ouvrage sur la résolution de problèmes mathématiques qui eut beaucoup de succès : How to solve it. Pour ces indications biographiques, nous avons consulté la préface de Ian Stewart à la réédition de cet ouvrage : [Polya, G., 1945, 1957, 1990], pp. xiii-xiv.

1 Voir [Ulam, S., 1976, 1991], pp. 180-181.

2 “exploring new physical models”, [Ulam, S., 1949], p. 207.

3 [Ulam, S., 1949], p. 207.

4 [Ulam, S., 1976, 1991], p. 183 : “It is said that seventy-five percent of us have a dominant visual memory, twenty-five percent an auditory one. As for me, mine is quite visual”, [Ulam, S., 1976, 1991], p. 183.

5 Voir le récit de cet épisode douloureux in [Ulam, S., 1976, 1991], pp. 174-181.

6 “When I think about mathematical ideas, I see the abstract notions in symbolic pictures. They are visual assemblages, for example, a schematized picture of actual sets of points on a plan. In reading a statement like ‘an infinity of spheres or an infinity of sets’, I imagine a picture with such almost real objects, getting smaller, vanishing on some horizon”, [Ulam, S., 1976, 1991], p. 183.

1 [Ulam, S., 1976, 1991], p. 200.

2 “‘physical’ production of models of combinatorial situations”, [Ulam, S., 1949], p. 207.

3 [Ulam, S., 1952], p. 274.

4 Peter Galison, dans son travail, a également rapporté quelques unes des grandes lignes de ce raisonnement mais pour insister surtout sur le « créole » qu’Ulam contribue ainsi à instaurer en décloisonnant l’approche que les ingénieurs ont des problèmes de physique, spécialement en hydrodynamique, de celles qu’ont les mathématiciens. Voir [Galison, P., 1997], pp. 753-755. Pour notre part, nous voulons surtout mettre au jour ce qui incite Ulam à spatialiser les automates de von Neumann.

5 [Ulam, S., 1949], p. 211.

6 ”A mathematical theorem can be formulated in this language as stating that a certain set of the class obtained is vacuous. In cases where a proof would appear very difficult it might be of value to, so to say, try to construct points of it by random choices of the starting sets or values of ‘free variables’ in the n-dimensional space. The failure to obtain any after a great number of choices would then lead to the belief that if the sets is not vacuous it is small. It is clear that a proof will never be obtained in this fashion. However the heuristic value of such a procedure might not be negligible”, [Ulam, S., 1949], p. 211.

1 “I felt that in a way one could invert a statement by Laplace. He asserts that the theory of probability is nothing but calculus applied to common sense. Monte Carlo is common sense applied to mathematical formulations of physical laws and processes”, [Ulam, S., 1976, 1991], p. 200. La phrase de Laplace (qu’Ulam cite de mémoire) dit exactement : « On voit par cet Essai [Essai philosophique sur les probabilités] que la théorie des probabilités n’est au fond que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte d’instinct, sans qu’ils puissent souvent s’en rendre compte », [Laplace, P. S. (de), 1814, 1986], p. 206.

2 Qui aurait donc dû être traduit par “good sense” et non par “common sense”. Ainsi, le « bon sens » de la célèbre première phrase du Discours de la méthode est toujours traduit par “good sense”. Voir par exemple la traduction intégrale de cette œuvre à l’adresse de la Classical Library : http://www.classicallibrary.org/descartes/discourse/.

1 [Ulam, S., 1949], p. 208.

2 “It is of course obvious that one can study ‘experimentally’ the behavior of solutions of equations which themselves describe a random process, by using the digital computer as an analogy machine, as it were [N. Metropolis and S. Ulam, ‘The Monte-Carlo method’, J. Am. Statist. Assoc., 44, 335-341, ]”, [Ulam, S., 1949], p. 208.

3 [Ulam, S., 1949], p. 209.

4 L’historien des sciences P. Galison appelle « stochasticisme » cette option épistémologique et ontologique qui veut que le monde soit discret et « régi » par des événements stochastiques élémentaires. Von Neuman, Ulam et surtout le chimiste Gilbert King ont été séduit par cette interprétation de la méthode de Monte-Carlo. Voir [Galison, P., 1996], pp. 125 et 144. En fait, nous dirions qu’Ulam est moins convaincu par l’importance du caractère aléatoire des éléments que par celle de leur répartition spatiale et granulaire.

1 “I proposed to him [von Neumann] some of my own ideas about automata consisting of cells in a crystal-like arrangements”, [Ulam, S., 1976, 1991], p. 241. Voir également [Burks, A. W., 1970], p. 7.

2 On conçoit que les phénomènes de multiplication et de diffusion des noms de famille incitent à spatialiser les formalismes d’une façon beaucoup moins directe et beaucoup plus figurée que cela n’a été les cas pour les processus de diffusion-multiplication de la physique nucléaire. La physique nucléaire a donc enseigné aux formalismes de la dynamique des populations à se spatialiser, d’abord pour son propre usage. On voit là l’indice d’une influence de notre intuition directe des phénomènes à échelle humaine sur l’interprétation des formalismes que l’on se donne, même les plus apparemment abstraits.

3 [Ulam, S., 1952], p. 274.

4 Ulam fait la connaissance de Whitehead en 1936, à Harvard. Ce dernier y est alors Senior de la Society of Fellows. Après une carrière de logicien et de mathématicien en Angleterre, à Cambridge puis à l’Université de Londres, Whitehead avait enseigné la philosophie à Harvard à partir de 1924 ; et il est professeur émérite lorsque sa femme et lui se lient d’amitié avec le couple Ulam. Dans ses mémoires, Ulam ne cache pas son admiration quasi-filiale pour Whitehead, sa pensée et sa hauteur de vue. Il est même un passage qui évoque dans le même contexte les automates cellulaires et la pensée des « procès » telle que l’avait énoncée Whitehead : “The Conway Game of Life is an example of a game or pastime, which, perhaps much like the early problems involving dice and cards, has led ultimately to the present edifice of probability theory, and may lead to a vast new theory describing the ‘processes’ which Alfred North Whitehead studied in his philosophy”, [Ulam, S., 1976, 1991], p. 285. Nous ne disposons cependant pas d’autres documents attestant de ce lien intellectuel entre Ulam et Whitehead. Nous n’en dirons donc pas plus. En ce qui concerne Whitehead et son rôle dans les théories de la croissance, il nous paraît plus avéré dans les travaux de Woodger (voir supra).

1 [Ulam, S., 1952], p. 266.

2 Voir une brève allusion in [Ulam, S., 1976, 1991], p. 200.

3 [Ulam, S., 1952], p. 264.

4 Les processus de ramification sont très souvent et naturellement représentés par des graphes de choix, des ramifications, des arbres.

“One should remember that the distinction between a probabilistic and deterministic point of view lies often only in the interpretation and not in the mathematical treatment itself”, [Ulam, S., 1952], p. 266.

5 [Ulam, S., 1952], p. 266.

6 [Ulam, S., 1952], p. 273.

7 “actually infinite assemblies of points”, [Ulam, S., 1952], p. 272.

8 [Ulam, S., 1976, 1991], p. 196.

9 “a new kind of idealization”, [Ulam, S., 1952], p. 273.

10 “hidden parameters”, [Ulam, S., 1952], p. 273. Ulam fait bien sûr ici allusion aux avatars de la physique quantique. Il avait lui-même proposé une interprétation discrétisée et aléatoire de la résolution de l’équation de Schrödinger.

1 Sur ce point, il faudrait sans doute rapprocher cette idéalisation extensionnelle causée par l’application de la méthode de Monte-Carlo de l’effet que produit la « théorie des catégories » (1945) de S. Eilenberg et S. Mac Lane, sur les concepts mathématiques antérieurs de l’algèbre et de la topologie. Le mathématicien René Lavendhomme parle lui aussi d’une catégorie comme d’une « définition extensionnelle et opératoire d’un concept mathématique », [Lavendhomme, R., 2001], p. 265. Nous reviendrons plus bas sur la « théorie des catégories » et sur son rôle dans l’histoire de la modélisation de la morphogenèse.

2 Voir les derniers mots de l’article de 1952, [Ulam, S., 1952], p. 274 : “Mathematically, the simplest versions of such schemes would consist simply of the study of iterates of infinite matrices, having non-zero elements in only a finite number of terms in each row. The problems consist of finding the properties of the finite submatrices appearing along the diagonal, as one iterates the matrix.”

1 “An interesting field of application for models consisting of an infinite number of interacting elements may exist in the recent theories of automata. A general model, considered by von Neumann and the author, would be of the following sort : Given is a infinite lattice or graph of points, each with a finite number of connections to certain of its ‘neighbors’. Each point is capable of a finite number of ‘states’. The states of the neighbors at time tn induce, in a specific manner, the state of the point at time tn+1. This rule of transition is fixed deterministically or, more generally, may involve partly ‘random’ decisions. One can define now closed finite subsystems to be called automata or organisms. They will be characterised by a periodic sequence of their states as function of time and by the following ‘spatial’ character : the state of the neighbors of the ‘organism’ has only a weak influence on the state of the elements of the organism ; the organism can, on the contrary, influence with full generality the states of the neighboring points which are not part of other organisms. One aim of the theory is to establish the existence of subsystems which are able to multiply, i.e., create in time other systems identical (‘congruent’) to themselves”, [Ulam, S., 1952], pp. 273-274.

2 [Wolfram, S., 2002], p. 876.

3 Voir [Burks, A. W., 1970], pp. 52-64 et [Heudin, J.-C., 1994], p. 41.

4 [Goujon, P., 1994a], pp. 79 et 82.

5 Dès 1953, ce physicien américain d’origine ukrainienne avait proposé à Watson et Crick d’interpréter en termes de codage en 20 acides aminés la structure de la molécule d’ADN. Pendant l’été 1954, Gamow s’était adjoint les compétences de Métropolis dans la manipulation du MANIAC comme des procédures de Monte-Carlo pour tester, par simulation, les différents types de codes possibles. On sait que cette intuition de Gamow fut essentiellement réfutée par les travaux ultérieurs sur l’ARN messager. Ulam a donc nécessairement eu vent de cette tentative retentissante et qui le touchait de près. Voir [Segal, J., 2003], pp. 479-480.

1 Dans son témoignage, le philosophe et mathématicien David Hawkins rappellera un propos d’Ulam à qui l’on reprocha à la fin des années 1960 de ne pas bien connaître la biologie alors même qu’il se piquait de faire de la biologie théorique : « Ne demandez pas ce que les mathématiques peuvent faire pour la biologie, demandez plutôt ce que la biologie peut faire pour les mathématiques ! » (“Ask not what mathematics can do for biology, ask rather what biology can do for mathematics !”, [Copper, N. G., 1987, 1989], p. 46).

2 [Ulam, S., 1976, 1991], p. 203.

3 Paul Stein était un physicien de formation et il avait été « converti » aux mathématiques, selon l’expression d’Ulam, par Ulam lui-même. Stein était arrivé à Los Alamos en 1950. Il était devenu un des plus proches collaborateurs d’Ulam à partir de 1953. Voir sur ce point [Ulam, S., 1976, 1991], p. 202 et [Cooper, N. G., 1987, 1989], p. 91.

4 Voir, sur ce point, le témoignage de Paul Stein in [Cooper, N. G., 1987, 1989], p. 94.

5 La motivation initialement biologique de ce travail mathématique sur les « transformations quadratiques » est clairement attestée dans le rapport de Los Alamos de 1959 intitulé “Quadratic Transformations Part I” et qu’Ulam a rédigé avec P. R. Stein et M. R. Menzel. Ce rapport a été publié en 1990 dans [Ulam, S., 1990], pp. 190-292. Voir ibid., p. 191 : “The motivation for the considerations which follows lies in the combinatorial problems suggested by genetic or biological systems. One has to deal with large populations of individuals (or particles) present in a given generation. Those may combine in pairs and produce, in the next generation, new particles.” Mais, dans son témoignage de 1987, Paul Stein confirme que, même alors, la motivation principale d’Ulam reste d’élargir par là ses investigations sur les approches mathématiques et computationnelles à d’autres cas de processus évolutionnaires que ceux qu’il a rencontrés en physique nucléaire. Voir [Cooper, N. G., 1987, 1989], p. 92.

6 Aux environs, de 1955, au sujet de la biologie mathématique, Ulam dira à Stein “It is all foolishness, don’t you think ?” Voir [Cooper, N. G., 1987, 1989], p. 91.

7 [Cooper, N. G., 1987, 1989], p. 92.

8 Voir “Quadratic Transformations Part I” in [Ulam, S., 1990], p. 191.

9 “Binary Reaction Sytems” in “Quadratic Transformations Part I”, [Ulam, S., 1990], p. 191.

1 [Ulam, S., 1961], p. 278.

2 “Quadratic Transformations Part I” in [Ulam, S., 1990], p. 197.

3 “Quadratic Transformations Part I” in [Ulam, S., 1990], p. 198 : “… letting the computer iterate the transformation in question ‘as long as necessary’, i.e., until some definite limiting behavior was observed.” C’est nous qui soulignons.

4 “use your eyes”, in “Non-Linear Transformation Studies on Electronic Computers”, with P. R. Stein, [Ulam, S., 1990], p. 303.

5 [Ulam, S., 1961].

6 [Metropolis, N. and Ulam, S., 1953] se concentre sur une propriété aléatoire propre à une fonction arithmétique. [Ulam, S., 1954] propose d’appliquer Monte-Carlo à des jeux tactiques. Voir [Galison, P., 1997], pp. 759-767, sur l’importance de la notion de « jeu » chez von Neumann et Ulam. Enfin [Pasta, J. R. and Ulam, S., 1959] porte sur l’application de la méthode heuristique de type Monte-Carlo à un problème d’hydrodynamique et recourt pour cela à la discrétisation afin de produire une représentation (par des ‘1’ et des ’2’ imprimés au titre de signes distinctifs dans un tableau) de « particules virtuelles » en transition de phase,