Yechim va umumiy yechim tushunchasi. Koshi masalasi

Kvadraturalarda integrallanuvchi ba’zi tenglamalar

1. 
   n-darajali birinchi tartibli differensial tenglama (3)
   ko’rinishda yoziladi. Bu ga nisbatan n-darajali tenglamadir. Agar n=1 bo’lsa, bo’lgani uchun bo’ladi, ya’ni (1) differensial tenglamaga kelamiz. Albatta, (3) differensial tenglamada funksiyalar biror ochiq G to’plamda aniqlangan va o’zluksiz.
   

Eng soda holda bo’lib ushbu

Tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning y’ ga nisbatan haqiqiy yechimlarini deylik u holda dan kelib chiqadi. Shuning uchun berilgan differensial tenglamaning umumiy integrali bo’ladi.
Agar funksiyalar ochiq G to’plamda aniqlangan va o’zluksiz bo’lsa, u holda (3) tenglamani ga nisbatan yechib, ulardan haqiqiy qiymatlarni olsak, quyidagi differensial tenglamalarga ega bo’lamiz. Keying mulohazalar funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Bu funksiyalar uchun G to’plamda Koshi teoremasining shartlari bajariladi deylik.unda bu to’plamning har bir nuqtasida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’ladi. Shuni qayd qilamizki, G to’plam ning kesishmasidan iborat, ya’ni

Misollar. 1. differensial tenglamani ko’raylik. U ga nisbatan 5-darajali. Bu tenglamani ko’rinishida yozish mumkin. Ravshanki uning haqiqiy yechimlari bo’ladi. Ammo differensial tenglamaning integrali bitta
formula bilan yozish mumkin. Bunda . Demak, yuqoridagi tenglama uchun tekislikning ixtiyoriy nuqtasida Koshi masalasi yagona yechimga ega.
2-misol.Ushbu ga nisbatan ikkinchi darajali
differensial tenglamadan

Kelib chiqaadi. Bundan berilgan tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi. 2-misolda . da yaginalik xossasi o’rinli. Xuddi shuningdek,

differensial tenglama uchun ekanligini ko’rsatish qiyin emas.
Agar differensial tenglamaning ga nisbatan ildizlari biror intervalni to’la qoplasa, u holda tegishli differensialll tenglama
intervaldan farqli yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin. Jumladan differensial tenglama uchun intervalda .Unda kelib chiqadi. Bu integral chiziqlardan farqli yana integral chiziqlar ham mavjud.

2. 
   Noma’lum funksiyani o’z ichiga olmagan
   

(4)
ko’rinishdagi differensial tenglamalarni ko’ramiz. Agar (4) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda biror I intervalda uzluksiz funksiyalar uchun tenglamalarga kelamiz. Undan Bu yechimlar to’plami umumiy yechim bo’ladi.
Ba’zi hollarda (4) tenglamani ga nisbatan yechishga qaraganda x ga nisbatan yechish osonroq bo’ladi. Bunda differensial tenglamaga kelamiz. Uni integrallash uchun quyidagicha ish qilamiz: avval deymiz. Ravshanki,
Shuning uchun bo’ladi. Bunda
(5)
Kelib chiqadi. (5) formulada p-parametr vazifasini utayapti.
Demak, (5) yechim umumiy yechim bo’ladi.
Misollar.1. differensial tenglamani ko’raylik.
Uni ga nisbatan yechish osonroq. Shuning uchun ushbuga egamiz.

Undan ni hosil qilamiz. Bu umumiy yechimlar to’plami berilga differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
2-misol. Ushbu differnsial tenglamani x ga nisbatan yechaylik:

Soda hisoblashlarni bajarib,


Larni hosil qilamiz. Shunday qilib, ushbu

Umumiy yechimlar to’plami berilgan differnsial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
3. Erkli o’zgaruvchini o’z ichiga olmagan
(6)
Ko’rinishdagi differnsial tenglamalar ham yo ga yoki y ga nisbatan osonraq yechiladi deylik. Birinchi holda differensial tenglamalarga kelamiz. Agar bo’sa, yechimlarga ega bo’lamiz. Agar tenglama ildizlarga ega bo’lsa, u holda funksiyalar ham (6) ning yechimi bo’ladi.
Endi (6) tenglama y ga nisbatan yechigan bo’sin: .ya’ni y’=p deymiz va bo’ladi. Buni integrallashdan hosil bo’lgan
(7)
Yechimlar to’plami (6) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
Agar p=0 yoki y’=0, demak lar tenglamaning haqiqiy ildizlari bo’sa, yuqorida nip ga bo’lib, yechimlarni yuqotgan bo’lar edik. Ammo yechimlar (7) yechimlar orasida yuq va denak, ular maxsus yechim bo’lishi mumkin. Agar bo’lganda integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda yechimlar maxsus bo’ladi. Aks holda, ya’ni ya’ni yuqridagi ikki integral uzoqlashuvchi bo’lganda tegishli yechimlar maxsus bo’lmaydi.
Misol. Ushbu differensial tenglamani y ga nisbatan yechamiz. Bundan

Oxirgi munosabatni integrallasak, berilgan differnsial teglamaning umumiy yechimi hosil buladi.

Agar differensial tenglama berilgan bo’lsa, undan kelib chiqadi. Bu holda berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi
va
Umumiy yechimlar to’plamidan iborat bo’ladi.
2-misol. differnsial tenglama quyidagi
differensial tenglamalarga ekvivalent. Bundan umumiy yechimga ega bo’lamiz.