Contrainte au niveau du maillage



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tarix30.01.2018
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#41156





Contrainte au niveau du maillage

  • Contrainte au niveau du maillage

    • Raffiner autour du fond de fissure
    • Remailler après propagation
  • Taux de convergence médiocre (même en e.f. ou ) :







Amène de nouvelles contraintes :

  • Amène de nouvelles contraintes :

  • Coût de calcul et complexité raisonnables (En vue : intégration dans un code de calcul)

  • La méthode doit être robuste même pour des plaques très minces (élancement = ).



Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage :

  • Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage :

  • XFEM Moës : MITC 4, singularités sans traitement

    • => Nous pensons que ça produit aussi du verrouillage




Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

  • Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

    • Sous-intégration (QUAD 4) => perte de précision
    • Kirchhoff discret (DKT) et Projection (MITC 4) => non-applicables pour des fonctions non-polynomiales
    • Polynômes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel)
  • Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant.

  • Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.



Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love

  • Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love

  • Adapter les idées développées en élasticité 2D (cf. Ref).

  • Objectifs à atteindre :

    • Précision : même taux de convergence qu’un problème sans fissure (selon méthode).
    • Coût de calcul : du même ordre que les éléments finis classiques.
    • Implémentable dans un code de calcul industriel




PLAN

  • PLAN

  • Présentation du modèle de Kirchhoff-Love

    • Caractéristiques du modèle
    • Discrétisation
    • Modes singuliers
  • Formulation XFEM « standard »

    • Cas-test et résultats numériques
    • Problème en quadrangles
  • Formulation XFEM « Raccord Intégral »

    • Résultats numériques
    • Application industrielle : calcul de facteurs d’intensité de contraintes (FIC)


Avantages :

  • Avantages :

    • Modèle précis pour plaque mince (limite du 3D quand e →0 )
    • Pas de verrouillage numérique
    • Singularités connues (modèle de bilaplacien)
  • Pas de déformation de cisaillement transverse :

  • Seule fonction inconnue :

  • Contrainte : La discrétisation nécessite un élément fini

    • éléments HCT/FVS réduits conviennent,
    • avec coût de calcul raisonnable.


En domaine fissuré, la solution exacte s’écrit :

  • En domaine fissuré, la solution exacte s’écrit :



Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement .

  • Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement .

  • 3 degrés de liberté par nœud : 1 déplacement + 2 dérivées (= Mindlin, donc coût raisonnable)

  • Précision de l’élément (régularité requise : solution u dans )

    • Norme H² : O(h) (théorique)
    • Norme L² : O(h²) (observé)


Expression de l’inconnu :

  • Expression de l’inconnu :

  • Expression des enrichissements :







En cause : l’espace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement.

  • En cause : l’espace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement.

  • Pas de problème en triangle => changer les quadrangles en 2 triangles





Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine :

  • Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine :

  • Raccord intégral :

  • Multiplicateurs approchés en

  • Autre type de raccord possible ( seulement)









K1, K2 : Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC)

  • K1, K2 : Facteurs d’Intensité de Contraintes (FIC)

  • Grandeurs utilisées dans l’industrie comme critère de propagation (valeur critique)

  • En principe : évalués par post-traitement (intégrales de contour)

  • XFEM « Raccord Intégral  » :

  • par identification des , on déduit les FIC





Méthode bien formulée :

  • Méthode bien formulée :

    • Précision optimale atteinte
    • Coût de calcul supplémentaire marginal
    • Conditionnement amélioré
  • => Idées élasticité 2D ont pu être étendues au cas des plaques.

  • Méthode compétitive et utilisable en contexte industriel

  • Perspectives :





5 fonctions inconnues :

  • 5 fonctions inconnues :



Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D)

  • Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D)

  • En homogène-isotrope, et sont découplés :

    • = élasticité 2D (déjà bien traité)
    • = flexion : le sujet d’intérêt.
  • Pour Mindlin-Reissner :

    • Modèle le plus utilisé dans l’industrie
    • Discrétisation : problème de verrouillage numérique




Minimisation : Trouver

  • Minimisation : Trouver

  • e faible => prépondérance du terme de cisaillement transverse (pénalisation)

  • =>

  • Les éléments finis classiques représentent mal cette contrainte :

  • Exemple en P1 :



Sous-intégration (QUAD 4)

  • Sous-intégration (QUAD 4)

  • Relations Kirchhoff discrètes (DST-DSK)

  • Projection sur polynômes de degrès plus faible (MITC4)

  • Polynomes P2, P3

  • Méthodes mixtes





Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

  • Les fonctions singulières d’enrichissement doivent être exactes pour être efficaces :

    • Sous-intégration => perte de précision
    • Kirchhoff discret et Projection => non-applicables pour des fonctions non-poynomiales
    • Polynomes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel)
  • Aucun traitement n’est vraiment satisfaisant.

  • Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.





Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers

  • Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers

  • Perspectives :

    • Évaluation plus précise de ce type de verrouillage
    • Essais avec polynômes P2
    • Formulation d’une stratégie mixte (séparation fonction de forme/enrichissements singuliers)
  • Autre approche dans la thèse: utilisation d’un modèle de plaque sans verrouillage.



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