Déterminants



Yüklə 18,84 Kb.
tarix29.07.2018
ölçüsü18,84 Kb.
#62389

Déterminants

Objectifs :

1- Calculs pratiques de déterminants : opérations sur les lignes et les colonnes, factorisations, développements par rapport à une ligne ou une colonne...

2- Utilisation de la formule det(AB) = det A det B.

3- Utilisation du déterminant pour montrer qu'une famille est libre ou liée, pour montrer qu'une matrice est inversible, pour inverser une matrice

4- Formules de Cramer pour résoudre les systèmes de Cramer

Exercice 1

Calculer les déterminants suivants :



, , ,

,

, (de taille m)
Exercice 2

Soit a et soit .

1- Soient les vecteurs colonnes de . Expliciter, à l'aide de , le déterminant =det(K1+K3, K2, K3-K1, K4).

2- Calculer  et en déduire la valeur de .


Exercice 3

Soit x un paramètre réel et soit D(x) le déterminant suivant : .



  1. Calculer D(0).

  2. Montrer que D(x) est un polynôme de degré 3.

  3. Calculer D(x). (Indication : remplacer par exemple C1 par C1+C2) et déterminer pour quelles valeurs de x il s’annule.


Exercice 4

On considère le déterminant suivant, de taille n 2 : .

1- Calculer 3.

2- Montrer que pour tout n* on a n+2=3n+1–2n (avec la convention 0=1, l=3).

3- En déduire par récurrence que pour tout n*, n = 2n+l - 1.
Exercice 5

Soit AMn(). Calculer les valeurs possibles de det(A) dans les cas suivants :

1- Il existe k tel que Ak = 0

2- A2 = A

3- A2=In

4- A est antisymétrique et n est impair

5- A4 = -In
Exercice 6

Soit B = avec m.

Pour quelles valeurs de m cette matrice est-elle inversible ?
Exercice 7

Soit E un espace vectoriel de dimension 3, soit (el, e2, e3) une base de E et soit m.

Soient Vl = el + 2e2 + me3, V2 = 2e1 + e2 + me3 et V3 = 3me1 + e3.

Pour quelle(s) valeur(s) de m ces vecteurs forment-ils une famille liée ?


Exercice 8

Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse à l'aide de la comatrice :

A=, B=, C=, D= avec j=
Exercice 9

Résoudre les systèmes suivants par les formules de Cramer :



(S1) , (S2) , (S3)

Yüklə 18,84 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə