Mühazirə 7 Hİlbert fəzalari

Mühazirə 7 HİLBERT FƏZALARI

7.1. Skalyar hasil və onun xassələri

Məlum olduğu kimi hər bir xətti fəzada müəyyən aksiomlar sistemini ödəyən elementlərin cəmi və elementin ədədə (həqiqi və ya kompleks) hasili cəbri əməlləri təyin edilmişdir. Amma bəzi hallarda verilmiş xətti fəzada bu əməllərdən fərqli olan başqa bir əməl, skalyar hasil adlanan əməl də təyin etmək mümkün olur ki, elementin normasını, elementlər arasındakı məsafəni və məsafə ilə bağlı digər anlayışları da onun vasitəsilə vermək mümkün olur. Ona görə də skalyar hasilin tərifini verək və bəzi xassələrini göstərək.

Tərif. həqiqi xətti fəzasında istənilən elementlər cütünə qarşı bu elementlərin skalyar hasili adlanan və kimi işarə edilən həqiqi ədədini qarşı qoyaq, belə ki, aşağıdakı şərtlər ödənilsin:
1) , halı yalnız olduqda ödənilir,
2)
3)
4)
Əgər kompleks xətti fəza olarsa, bu halda 2) şərti kimi olur. Bu şərtdən nəticə olaraq olduğunu alırıq.
1)-4) şərtləri skalyar hasilin aksiomları adlanır. Əgər verilmiş xətti fəzada 1)-4) şərtlərini ödəyən skalyar hasil təyin edilmişsə, onda ona evklid fəzası deyilir. – evklid fəzası olduqda bu fəzada elementin norması kimi təyin edilir. Skalyar hasilin 1)-4) xassələrindən istifadə etməklə norma aksiomlarının ödənməsini göstərə bilərik. Doğrudan da normanın 1),2)-ci aksiomlarının ödənməsi aydındır, 3)-cü üçbucaq aksiomunun doğruluğu isə Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi adlanan

bərabərsizliyindən alınır.
Bu bərabərsizliyi isbat etmək üçün dəyişənindən asılı olan


kvadrat üçhədlisinə baxaq. Göründüyü kimi, nın bütün qiymətlərində . Bu halda kvadrat üçhədlinin diskriminantı mənfi olmalıdır, yəni
.
Buradan

yaxud

olduğunu alırıq.
Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyindən istifadə etməklə, normanın 3)-cü aksiomunu asanlıqla alarıq:


Buradan

alırıq.
Asanlıqla göstərmək mümkündür ki, evklid fəzasında cəm, ədədə vurma və skalyar hasil kəsilməzdir, yəni , (normaya nəzərən) və olduqda





4.2. Hilbert fəzası

Tutaq ki, hər hansı elementlərdən ibarət çoxluqdur, belə ki, aşağıdakı şərtlər ödənilir.

I. – həqiqi və ya kompleks xətti fəzadır.
II. – çoxluğunun istənilən elementlər cütü üçün bu elementlərin skalyar hasili adlanan kəmiyyəti təyin edilmişdir və bu kəmiyyət yuxarıda göstərilən 1)-4) aksiomlarını ödəyir.
III. – çoxluğu məsafəsinə görə tam fəzadır.
Əgər çoxluğunda I, II, III şərtləri ödənilərsə, ona unitar fəza deyilir. Aydındır ki, ölçülü unitar fəzalar həqiqi və ya kompleks evklid fəzalarıdır.
Fərz edək ki, fəzasında aşağıdakı şərt də ödənilir.
IV. – sonsuz ölçülüdür, yəni istənilən natural ədədi üçün bu fəzada sayda xətti asılı olmayan elementlər tapmaq mümkündür.
Əgər verilmiş çoxluğu, I-IV şərtlərini ödəyərsə, onda -ə hilbert fəzası deyilir. Adətən, hilbert fəzalarını ilə işarə edirlər.
Misallara baxaq:
1. -fəzası. İstənilən , elementlərinin skalyar hasilini
(1)
bərabərliyi ilə təyin edək. olduğu üçün
, .
Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyinə görə

münasibətindən (1) sırasının da yığılan olmasını alarıq. Ona görə də skalyar hasili (1) bərabərliyi vasitəsilə təyin etmək olar. Skalyar hasilin aksiomlarının ödənməsini göstərək.
1) , olarsa, , alarıq.
2)
3)
4)

Yuxarıda bu fəzanın məsafəsinə nəzərən tam fəza olmasını və sonsuz ölçülü olduğunu göstərmişik. Alırıq ki, -Hilbert fəzasıdır.
2. fəzası. parçasında ölçülən və kvadratı ilə cəmlənən, yəni şərtini ödəyən funksiyalar çoxluğunu götürək. funksiyalarının skalyar hasilini
(2)
bərabərliyi ilə təyin edək. Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyinə görə üçün (2) inteqralının sonlu oluduğunu alırıq. Bu qayda ilə təyin edilmiş skalyar hasil 1)-4) aksiomlarını ödəyir. Eləcə də, isbat edilmişsir ki, fəzası

məsafəsinə nəzərən tam fəzadır (bu faktın isbatını [] kitabından oxumaq olar).