1-Mavzu: “Iqtisodchilar uchun matematika” fani maqsad va vazifalari Reja

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ +a₁₃x₃ + a₁₄x₄+. . .+ a_1nx_n <= b₁
a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃ + a₂₄x₄+. . .+ a_2nx_n <= b₂ (2)
a₃₁x₁+ a₃₂x₂+ a₃₃x₃ + a₃₄x₄+. . .+ a_3nx_n <= b₃
.... . . . . . . . . . . . . . .
a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃ + a_n4x₄+. . .+ a_mnx_n <= b_m .
x_j >=0, j=1,2,3,... (3)
Bu matematik dasturlashning sonli bazaviy modeli deyiladi.

Barcha optimallashtirish masalalarining sonli modellari, shu bazaviy modelga asoslangan holda ifodalaniladi.

Iqisodiy-matematik masalaning matrisali modeli. Iqtisodiy-matematik masalaning matrisali modeli deyilganda, uning sonli modelini, jadval ko‘rinishida ifodalanishi

tushuniladi. Bu

chiziqli

dasturlashning

matrisali

bazaviy

modeli

deyiladi.

Barcha

Optimallashtirish

masalalarining

matrisali

modellari,

shu

bazaviy matrisaviy

modelga

asoslangan holda ifodalaniladi (1-jadval).

1-jadval

Iqtisodiy-matematik masalaning matrisali modelini umumiy ko‘rinishi

Cheklash

Shartlari

x1

x2

x3

xn

nomi.Resur-slar

...

bi

1-resurs

a11

a12

a13

.

..

a1n

<= b1

2-resurs

a21

a22

a23

.

..

a2n

<= b2

3-resurs

a31

a32

a33

.

..

a3n

< = b3

...

...

...

...

..

.

m-resurs

am1

am2

am3

amn

<= bm

Maqsad

c3

...

max

Funksiyasi

c1

c2

cn

( min)

Iqtisodiy-matematik

masalaning tarkibiy modeli.

Masalaning

mohiyati

asosan

tarkibiy iqtisodiy-matematik model ko‘rinishda ya‘ni matematik formula va simvollar yordamida ifodalaniladi. Tarkibiy modellar, qaralayotgan mavzuga tegishli masalalarni yechishda asos bo‘lib xizmat qiladi. Tarkibiy modellarga asoslanib masalaning sonli va matrisali modellari yaratiladi.Iqtisodiy-matematik masalaning tarkibiy modeli deyilganda, masalaning shartlarini kompakt (ixcham) ko‘rinishda matematik ifodalanishi tushuniladi.

• 
  Yuqoridagi (1) va (2) larni quyidagicha yozish mumkin:
  

n
Z=s₁ x ₁+s₂ x ₂+s₃ x ₃+...+s_n x_n =  c_j x_j max. (4)
j 1

• 
  bunda, tarmoqlar bo‘yicha resurslarni taqsimlanishi bo‘yicha quyidagi cheklash shartlari bajarilsin.
  

a₁₁x₁+ a₁₂x₂ +a₁₃x₃ + a₁₄x₄+. . .+ a_1nx_n =  a_1nx_n <= b₁
a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃ + a₂₄x₄ +. . .+a_2nx_n = a_2nx_n <= b₂ (5)
a₃₁x₁+ a₃₂x₂+ a₃₃x₃ + a₃₄x₄+. . .+ a_3nx_n =  a_3nx_n <= b₃
.... . . . . . . . . . . . . . .
a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃ + a_n4x₄+. . .+ a_mnx_n =  a_mnx_n <= b_m .
Bu yerda, i=1, 2 , ... , n; j=1, 2 , ... ,m.

(5 ) ni quyidagicha yozishimiz mumkin :

n
 aij xj <= bi . (6 )

10. 
    1
    

Tarmoqlarning manfiy bo‘lmagan, shunday qilinadiki, ularning yig‘indisi pulda ifodalangan ta‘minlasin, ya‘ni:

n
Z= =  c_j x_j max . ( 7 )

10. 
    1
    

x₁, x₂, ... ,x_n qiymatlarini topish talab maksimal mahsulot ishlab chiqarishni

bunda, tarmoqlar bo‘yicha resurslarni taqsimlanishi bo‘yicha quyidagi cheklash shartlari bajarilsin:
n
 a_ijx_j <= b_i ( 8 )

10. 
    1
    

Bu yerda, i=1, 2 , ... , n; j=1, 2 , ... , m.

x_j >=0, j=1,2,3,... . ( 9 )
Barcha optimallashtirish masalalarining tarkibiy modellari, shu bazaviy tarkibiy modelga asoslangan Xolda ifodalaniladi


Optimallik mezoni. Biz matematika kursidan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishni bilamiz.

Quyida keltirilayotgan:

x₁-2x₂+x₃=1,
2x₁+3x₂-x₃=8,
x₁-x₂+2x₃=-1 .

sistemani yechimlari x₁=3 ,x₂=0, x₃=-2 dan iborat. Bu sistema yagona yechimga ega deyiladi.

Endi quyidagi sistemani qaraylik:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ =18 ;
x₂-x₃+2x₄= 21 ;
x₃=12/8 +(29/8) x_{4 .}
Bu to‘rt o‘zgaruvchili uchta tenglamalar sistemadan iborat. Aytaylik bu sistemadagi o‘zgaruvchilar biror qishloq xo‘jaligiga oid masalaning yechimlarini ifodalasin. Ko‘rinib turubdiki, bu sistema cheksiz ko‘p yechimlarga ega. Barcha yechimlar x₄ ga bog‘liq. Chunki x₄ ga qiymatlar berilib sistemani istalgancha yechimlarini topish mumkin. x₁ , x₂ , x₃ va x₄

o‘zgaruvchilarning qiymatlari ishlab chiqarishga oid biror iqtisodiy ko‘rsatkichni ifodalasa,

sistemaning cheksiz kup yechimlardan qaysi biri eng yaxshi - optimal deb olinishi kerak ? -

degan savol yuzaga keladi.

Shu sababli, bunday Xollarda olinadigan olinadigan yechimlarni optimalligini baXolaydigan mezon deb nomlanuvchi belgi tushunchasi kiritiladi. Bu belgi qaralayotgan iqtisodiy masalani optimallik mezoni deb nomlanadi. Chiziqli dasturlash masalalarida berilgan funksional kattalik maksimal yoki minimal qiymatga erishadigan yechimlar optimal yechimlar deyiladi. Demak, qaralayotgan sistemaning optimal yechimlarni izlashdan oldin, optimallik mezonini aniqlash kerak bo‘ladi.

Maqsad funksiyasi. Maqsad funksiyasi, deb masalani optimallik mezonini - matematik tenglama ko‘rinishda ifodalanishiga ya‘ni -formulirovka qilinishiga aytiladi. Chiziqli dasturlash masalasiga keltirilib yechiladigan barcha iqtisodiy-matematik masalalarda:

1. 
   masalalarni barcha shartlari chiziqli tenglama va tengsizliklar sistemadan iborat bo’lishi;
   

2. 
   tenglamalar sistemasi, ko’p variantli va ko’plab manfiy bo’lmagan yechimlar tuplamidan iborat bo’lishi;
   

3. 
   sistemani qanoatlantiradigan optimal yechimlarni topish uchun, dastavval masalani optimallik mezonini formulirovka qilish, sungra uni maqsad funksiyasida ifodalash kerak bo’ladi.
   

Qaralayotgan iqtisodiy masalaning optimal variantini tanlash, ma‘lum bir mazmundagi, qandaydir ko‘rsatkichlar orqali amalga oshiriladi va optimallik mezoni deb ataladi.

Iqtisodiy-matematik masalalarning maqsad funsiyalarini quyidagicha ifodalash mumkin: -pulda ifodalangan yalpi maXsulotni maksimallashtirish;

-sof daromadni maksimallashtirish;


-natural ko’rinishda ifodalangan ayrim ishlab chiqarish ko’rsatkichlarini maksimallashtirish (masalan - sut,go’sht);

-ishlab chiqarish xarajatlarini minimallashtirish ;

Nazorat uchun savollar

1. 
   Iqtisodiy-matematik masalani umumiy quyilishini ayting.
   

2. 
   Iqtisodiy-matematik masalani optimallik mezonini ayting, maqsad funksiyasini keltiring va izoxlang.
   

3. 
   Iqtisodiy-matematik masalani umumiy sonli modelini yozing.
   
4. 
   Iqtisodiy-matematik masalaning matrisali modelini yozing.
   

5. 
   Masalaning maqsad funksiyasi nima va uning moxiyatini ayting.