1 savol hosilalar yordamida funksiyani ekstremumga tekshirish Reja: Ikkinchi tartibli hosila yordamida ekstremumga tekshirish Teorema

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

Faraz qilaylik, f(x) funksiya X sohada aniqlangan bo‘lsin. Bu funksiyaning qiymatlar to‘plami E(f)={f(x): xX} ni qaraymiz.

Agar E(f) to‘plam chegaralangan bo‘lsa, u holda uning aniq yuqori chegarasi mavjud, uni M= {f(x)} deb belgilaymiz. Agar ME(f) bo‘lsa, u holda M soni f(x) funksiyaning eng katta qiymati deb ataladi va M= {f(x)} kabi belgilanadi. Xuddi shunga o‘xshash E(f) to‘plamning aniq quyi chegarasi mavjud, uni m= {f(x)} deb belgilaymiz. Agar mE(f) bo‘lsa, u holda m soni f(x) funksiyaning eng kichik qiymati deb ataladi m= {f(x)} kabi belgilanadi.
Endi [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyani qaraymiz. Bu holda Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko‘ra funksiyaning [a;b] da eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo‘ladi. Ravshanki, bu holda quyidagi qoida o‘rinli bo‘ladi.
Qoida. [a,b] da funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun bu kesmaga tegishli barcha kritik nuqtalarni topib ulardagi qiymatlari hisoblanadi. So‘ngra bu qiymatlar bilan f(a) va f(b) lar taqqoslanadi. Bu qiymatlar ichida eng kattasi f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati, eng kichigi esa f(x) funksiyaning eng kichik qiymati bo‘ladi.


6-SAVOL Chiziqli differensial tenglamalar va yechimlarilarning xossalari
Ta’rif. Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli (birinchi darajali) bo’lgan tenglamalar birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi.
Bunday tenglamaning umumiy ko’rinishi
(1)
dan iborat. Bunda ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.


(2)
tenglamaga bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi. ((2) tenglamaga mos bo’lgan).
(2) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.
(3)
Chiziqli differensial tenglamalarni yana bir usul ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan yechiladi.
 ning o’zgarmas qiymatlarida (3), () tenglamani qanoatlantiradi. Ya’ni (2) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. (2) tenglamaning ham umumiy yechimini  ni ning funksiyasi deb, (3) ko’rinishda izlaymiz.
U holda (3) dan
(4)
(3) va (4) ga asosan (1) tenglama

Bundan
(5)
U holda (4) va (6) ga asosan (2) ning umumiy yechimi
(6)
bo’ladi.
Bu bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini topish formulasi.
(7) dan ko’rinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi, ikkita kvadratura bilan aniqlanadi.
Yechimni bunday usul bilan topishga, yuqorida aytilgani kabi o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli yoki Lagranj usuli deyiladi.
Bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini ikkita yechimlar yig’indisidan iboratdir.
Ulardan biri bir jinsli (3) tenglamaning umumiy yechimidan, ikkinchisi esa, (2) tenglamaning xususiy
yechimdan iboratdir.
(7) ni integrallab bo’lgach u quyidagi ko’rinishga keladi.

asosan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi.
21-SAVOL .Egri chiziqli trapetsiyaning yuzi. Nuyuton-Leybins formulasi.

quyidagi-rasmlarda tasvirlangan figurani ko’rayllik. Bu figura quyidagi Ox o’qdagi [a; b] kesma bilan, yuqoridan musbat qiymat qabul qiladigan y=ƒ(x) uzluksiz funksiyaning grafigi bilan, yon tomonlardan esa x=a va x=b to’g’ri chiziqlarning kesmalari bilan chegaralangan. Bunday figurani egri chiziqli trapetsiya deyiladi. [a; b] kesmani esa egri chiziqli trapetsiyaning asoslari deyiladi.

Egri chiziqli trapetsiyaning S yuzini ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi yordamida qanday xisoblash mumkinligini aniqlaymiz.
[a; b] asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini S(x) deb belgilaymiz bunda x-[a; b] kesmadagi istalgan nuqta: x=a bo’lganda [a; x] kesma nuqtaga aylanadi, shuning uchun S(a)=o; x=b da S(b)=S.
S(x) ni ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lishini, ya’ni S’(x)= ƒ(x) ekanini ko’rsatamiz.
S(x+h)-S(x) ayirmani ko’raylik, bunda h> 0(h<0 xol ham xuddi shunday ko’riladi). Bu ayirma asosi [x; x+h] bo’lgan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (82-rasm). Agar h son kichik bo’lsa, u xolda bu yuz taqriban ƒ(x)*h gat eng, ya’ni S(x+h)-S(x)≈ ƒ(x)*h.

Demak, ≈ ƒ(x)*h→0 da bu taqribiy tenglikning chap qismi xosilaning ta’rifiga ko’ra S’(x) ga intiladi, yaqinlashish xatoligi esa h→0 da istalgancha kichik bo’la boradi.Shuning uchun h→0 da S’(x)= ƒ(x) tenglik xosil bo’ladi. Bu esa S(x) ning ƒ(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi ekanini bildiradi.

Istalgan boshqa F(x) boshlang’ich funksiya S(x) dan o’zgarmas songa farq qiladi, ya’ni

F (x)=S(x)+C.

Bu tenglikdan x=a da F(a) =S(a)+C ni olamiz. S(a)=0 bo’lgani uchun C=F(a) va (1) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

S(x)=F(x)-F(a).

Bunda x=b da S(b)=F(b)-F(a), ni topamiz.
Demak, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini (80-rasm) quyidagi formula orqali xisoblash mumkin:
S=F(b)-F(a),
Bunda F(x) – berilgan ƒ(x) funksiyaning istalgan boshlang’ich funksiyasi.
Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash ƒ(x) funksiyaning F(x) boshlang’ich funksiyasini topishgam ya’ni ƒ(x) funksiyani integrallashga keltiriladi.
F(b) –F(a) ayirma ƒ(x) funksiyaning [a;b] kesmadagi integrali deyiladi va bunday belgilanadi: _a∫^b ƒ(x)dx= ƒ(x)-F(a).
Formulani differensial va integral xisob asoschilari sharafiga Nyuton- Leybnis formulasi deb ataladi.
va amaldagi formuladan quyidagini olamiz
S= _a∫^b ƒ(x)dx.
26-SAVOL O’ZGARUVCHILARI AJRALADIGAN DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.
Bir jinsli tenglamaga ta’rif berishdan oldin avval bir jinsli funksiyaga ta’rif beramiz.

Ta’rif 1. Agar f(x,y) funksiyada x va y o’zgaruvchilarni mos ravishda tx va ty ga almashtirganda (bu yerda t-ixtiyoriy parametr) t ga ko’paytirilganda yana o’sha funksiya hosil bo’lsa, ya’ni f(tx,ty)= f(x,y) shart bajarilsa, f(x,y) funksiya n o’lchovli bir jinsli funksiya deb ataladi.
Ta’rif 2. ning har qanday qiymatida
ayniyat bajarilsa, funksiya, o’zgaruvchilarga nisbatan  - o’lchovli bir jinsli funksiya deyiladi.
Ushbu M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tenglamada M(x,y), N(x,y) lar bir xil o’lchovli bir jinsli funksiyalar bo’lgandagina bir jinsli tenglama bo’ladi. Bu ikkita bir xil o’lchovli bir jinsli funksiyalar nisbati nol o’lchovli funksiya bo’lishi kelib chiqadi.
Ta’rif. Agar birinchi tartibli y′=f(x,y) differensial tenglamaning o’ng tomoni x va y ga nisbatan nol o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa,bunday tenglama bir jinsli tenglama deyiladi.
Faraz etaylik hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama
(1) berilgan bo’lib, bunda , o’zgaruvchilarga nisbatan nol (0) o’lchovli bir jinsli funkiya bo’lsa, bunday tenglamaga bir jinsli tenglama deyiladi.
bunda deb olsak,

bo’ladi. U holda (1) tenglamani
(2)
ko’rinishda yozish mumkin. (2) tenglamada
(3)
almashtirishni olsak, u o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga aylanadi. (3) dan bunga asosan (2) tenglamani quyidagicha yozish mumkin. bundan
(4)
Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.
Bunda 2 hol bo’lishi mumkin.