2-Ma’ruza mavzu: Geometriyaning vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma’lumot

III. Algebraik natijalar, Styuart teoremasi va Appoloniy teoremasi. 
9.53-rasm 
 
Sunus va kosinus qonunlari. 
ΔABC to‘g‘ri burchakli uchburchakda 
𝐶̂
to‘g‘ri burchak bo‘lsa, u holda 
quyidagi trigonometrik munosabatlar ma’lum: θ = 
А
̂
bo‘lsa, 
𝑠𝑖𝑛 𝜃 =
𝑎
𝑐
, 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑏
𝑐
ga ega bo‘lamiz. Qolgan trigonometrik munosabatlar (tg θ, ctg θ, sеcθ, cosecθ) ma’lum sinθ va cosθ lardan 
osonlik bilan ifodalanishi mumkin. Bu yerda hal qiluvchi fakt shundaki, o‘xshash uchurchaklar yordamida ushbu 
munosabatlar faqatgina θ burchagiga bog‘liqligi va tomonlarning aniq uzunliklariga bog‘liq emasligi kelib 
chiqadi
1
.
9.54-rasm 
Biz tekislikdagi koordinatalardan foydalangan holda trigonometrik funksiyalarga ixtiyoriy burchaklar orqali 
kengroq tushuncha berishimiz mumkin. Shunday qilib, agar θ x- o‘qining musbat yonallishiga nisbatan ixtiyoriy 
berilgan burchak bo‘lsa, uning o‘lchovi -∞ va ∞ graduslari oraliqlarida bo‘lishi mumkin va agar (x,y) nuqta 
burchakning tomonidagi ixtiyoriy nuqta deb hisoblasak, unda
9.55-rasm 
𝑠𝑖𝑛 𝜃 =
𝑦
√𝑥
2
+ 𝑦
2
,
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑥
√𝑥
2
+ 𝑦
2
.
E’tibor bering, yuqorida keltirilgan ta’rifga asosan sin(180
0
- θ) = sinθ va соs(180
0
+ θ) = -cosθ tengliklar 
ma`lum bo‘lmoqda. 
Pifagor tenglamasi
ahamiyatli tenglik bo‘lib yaqqol ko‘rinib turibdi: sin
2 
θ + cos
2
θ = 1.
9.56-rasm 
Sinuslar qonuni
. Tomonlari a,b,c bo‘lgan ΔABC uchburchak berilgan bo‘lsa, u holda biz 
9.57-rasm 

---

𝑠𝑖𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑠𝑖𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑠𝑖𝑛 𝐶
𝑐
.
ga ega bo‘lamiz. 
Isbot
. Agar
1
2
𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 𝑆 ∆𝐴𝐵𝐶 =
1
2
𝑏𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝐶
ni hisobga olsak, u holda 
𝑠𝑖𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑠𝑖𝑛 𝐶
𝑐
.
O‘xshash mulohazalar shuni ko‘rsatadiki, 
𝑠𝑖𝑛 𝐵
𝑏
ham yuqoridagilarga tengdir. 
9.58-rasm