3-laboratoriya ishi «Matritsalar bilan ishlash va chiziqli tenglamalar sistemasini yechish»

Matritsalar usulida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish
Berilgan

(1)

sistemani

A * X = B (2)
ko’rinishidagi matritsa ko’rinishida yozib olamiz:



Bu yerda A — tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi, B — tenglamalar sistemasining ozod hadlari ustuni, X — tenglamalar sistemasining yechimlari ustuni.
(2) tenglamaning har ikki tomonini chapdan A^-1  teskari matritsaga ko’paytiramiz.
A^-1 * ( A * X ) = A^-1 * B
A^-1 * A * X = A^-1 * B
A^-1 * A = E bo’lgani uchun X = A^-1 * B ga ega bo’lamiz.


Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechish
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish orqali aniqlash usuli, ya’ni Gauss usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usul bir necha hisoblash yo‘llariga ega. Shulardan biri Gaussning kompleks yo‘lidir.
n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo lsin:





Quyidagi misolni ko rib chiqamiz:



a₁₁ koeffitsyenti noldan farqli.






X₁ noma’lumni yo’qotdik. Endi X₂ noma’lumni yo’qotamiz.




 

Endi X₃ noma’lumni yo’qotamiz.


 

Gauss usulining teskari yurishini boshlaymiz.




Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida yechish dasturi

#include 

using namespace std;
// Вывод системы уравнений
void sysout(double **a, double *y, int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++) 
{
for (int j = 0; j < n; j++) 
{
cout << a[i][j] << "*x" << j;
if (j < n - 1)
cout << " + ";
}
cout << " = " << y[i] << endl;
}
return;
}
double * gauss(double **a, double *y, int n) 
{
double *x, max;
int k, index;
const double eps = 0.00001; // точность
x = new double[n];
k = 0;
while (k < n) 
{
// Поиск строки с максимальным a[i][k]
max = abs(a[k][k]);
index = k;
for (int i = k + 1; i < n; i++) 
{
if (abs(a[i][k]) > max)
{
max = abs(a[i][k]);
index = i;
}
}
// Перестановка строк
if (max < eps) 
{
// нет ненулевых диагональных элементов
cout << "Решение получить невозможно из-за нулевого столбца ";
cout << index << " матрицы A" << endl;
return 0;
}
for (int j = 0; j < n; j++) 
{
double temp = a[k][j];
a[k][j] = a[index][j];
a[index][j] = temp;
}
double temp = y[k];
y[k] = y[index];
y[index] = temp;
// Нормализация уравнений
for (int i = k; i < n; i++) 
{
double temp = a[i][k];
if (abs(temp) < eps) continue; // для нулевого коэффициента пропустить
for (int j = 0; j < n; j++) 
a[i][j] = a[i][j] / temp;
y[i] = y[i] / temp;
if (i == k) continue; // уравнение не вычитать само из себя
for (int j = 0; j < n; j++)
a[i][j] = a[i][j] - a[k][j];
y[i] = y[i] - y[k];
}
k++;
}
// обратная подстановка
for (k = n - 1; k >= 0; k--)
{
x[k] = y[k];
for (int i = 0; i < k; i++)
y[i] = y[i] - a[i][k] * x[k];
}
return x;
}
int main() 
{
double **a, *y, *x;
int n;
system("chcp 1251");
system("cls");
cout << "Введите количество уравнений: ";
cin >> n;
a = new double*[n];
y = new double[n];
for (int i = 0; i < n; i++) 
{
a[i] = new double[n];
for (int j = 0; j < n; j++) 
{
cout << "a[" << i << "][" << j << "]= ";
cin >> a[i][j];
}
}
for (int i = 0; i < n; i++) 
{
cout << "y[" << i << "]= ";
cin >> y[i];
}
sysout(a, y, n);
x = gauss(a, y, n);
for (int i = 0; i < n; i++) 
cout << "x[" << i << "]=" << x[i] << endl;
cin.get(); cin.get();
return 0;
}



Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usuli yordamida yechish dasturi
#include
using namespace std;


int determinant(int matrix[3][3]);
int determinantX1(int coefMatrix[3][3], int constTermsMatrix[3]);
int determinantX2(int coefMatrix[3][3], int constTermsMatrix[3]);
int determinantX3(int coefMatrix[3][3], int constTermsMatrix[3]);


int main()
{
int i, j;

int coefficientsMatrix3x3[3][3];
int constantTermsMatrix3x1[3];


cout << "Vvedite koefficienty i sbobodnye chleny " << endl;
for (i = 0; i < 3; i++)
{
for (j = 0; j < 3; j++)
{
cout << "a[ " << i << "," << j << "]= ";
cin >> coefficientsMatrix3x3[i][j];
}
cout << "b,[ " << i << "]= ";
cin >> constantTermsMatrix3x1[i];
}

int det = determinant(coefficientsMatrix3x3);
int detX1 = determinantX1(coefficientsMatrix3x3, constantTermsMatrix3x1);
int detX2 = determinantX2(coefficientsMatrix3x3, constantTermsMatrix3x1);
int detX3 = determinantX3(coefficientsMatrix3x3, constantTermsMatrix3x1);


if (det != 0)
{
cout << "X1 = " << (float)detX1/(float)det << endl;
cout << "X2 = " << (float)detX2/(float)det << endl;
cout << "X3 = " << (float)detX3/(float)det << endl;
}
else
cout << "Sistema ne imejet reshenij " << endl << endl;


return 0;
}


int determinant(int matrix[3][3])
{
int a11 = matrix[0][0];
int a12 = matrix[0][1];
int a13 = matrix[0][2];
int a21 = matrix[1][0];
int a22 = matrix[1][1];
int a23 = matrix[1][2];
int a31 = matrix[2][0];
int a32 = matrix[2][1];
int a33 = matrix[2][2];


return (a11 * a22 * a33) + (a12 * a23 * a31) + (a13 * a21 * a32) -
(a13 * a22 * a31) - (a11 * a23 * a32) - (a12 * a21 * a33);
}


int determinantX1(int coefMatrix[3][3], int constTermsMatrix[3])
{
int a12 = coefMatrix[0][1];
int a13 = coefMatrix[0][2];
int a22 = coefMatrix[1][1];
int a23 = coefMatrix[1][2];
int a32 = coefMatrix[2][1];
int a33 = coefMatrix[2][2];
int c1 = constTermsMatrix[0];
int c2 = constTermsMatrix[1];
int c3 = constTermsMatrix[2];


return (c1 * a22 * a33) + (a12 * a23 * c3) + (a13 * c2 * a32) -
(a13 * a22 * c3) - (c1 * a23 * a32) - (a12 * c2 * a33);
}


int determinantX2(int coefMatrix[3][3], int constTermsMatrix[3])
{
int a11 = coefMatrix[0][0];
int a13 = coefMatrix[0][2];
int a21 = coefMatrix[1][0];
int a23 = coefMatrix[1][2];
int a31 = coefMatrix[2][0];
int a33 = coefMatrix[2][2];
int c1 = constTermsMatrix[0];
int c2 = constTermsMatrix[1];
int c3 = constTermsMatrix[2];


return (a11 * c2 * a33) + (c1 * a23 * a31) + (a13 * a21 * c3) -
(a13 * c2 * a31) - (a11 * a23 * c3) - (c1 * a21 * a33);
}


int determinantX3(int coefMatrix[3][3], int constTermsMatrix[3])
{
int a11 = coefMatrix[0][0];
int a12 = coefMatrix[0][1];
int a21 = coefMatrix[1][0];
int a22 = coefMatrix[1][1];
int a31 = coefMatrix[2][0];
int a32 = coefMatrix[2][1];
int c1 = constTermsMatrix[0];
int c2 = constTermsMatrix[1];
int c3 = constTermsMatrix[2];


return (a11 * a22 * c3) + (a12 * c2 * a31) + (c1 * a21 * a32) -
(c1 * a22 * a31) - (a11 * c2 * a32) - (a12 * a21 * c3);
}