3-laboratoriya ishi «Matritsalar bilan ishlash va chiziqli tenglamalar sistemasini yechish»

3-LABORATORIYA ISHI
« Matritsalar bilan ishlash va chiziqli tenglamalar sistemasini yechish»


Ishning maqsadi: chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish algoritmlarini tuzish va matritsalar ustida amallar bajarish ko’nikmalariga ega bo’lish.


Nazariy qism

Matritsa tushunchasi (matematikada) XIX asr o'rtalarida U.Hamilton va A.Keyli asarlarida kiritilgan. Nazariyaning asoslarini K.Vayerstrass va F.Frobenius yaratgan (XIX asrning 2-yarmi – XX asr boshlari). I.A. Lappo-Danilevskiy ko'plab matritsa argumentlarining analitik funktsiyalari nazariyasini ishlab chiqdi va bu nazariyani analitik koeffitsientli differentsial tenglamalar tizimlarini o'rganishda qo'lladi. Matritsaga oid tushunchalar notalar zamonaviy matematikada va uning qo'llanilishida keng tarqalgan.

m x n o'lchovli matritsa - bu m qatorlar va n ustunlarda joylashgan sonlar jadvalidir.
Matritsa А, В, С, … lotin alifbosi harflari bilan ifodalanadi. Undagi sonlar elementlar deyiladi. Har bir a_ij element ikkita indeksga ega, ya’ni i - satr nomeri, j - ustun nomeri, ular kesishmasida a_ij element joylashadi. Matritsalar quyidagicha beriladi:
A={a_ij}_mxn yoki A={a_ij}, i=1,n; j=1,m.
Masalan:

Qatorlari soni (m = n) ustunlar soniga teng bo'lgan matritsa kvadrat matritsa deb ataladi, aks holda to'rtburchak matritsa deb nomlanadi.
Kvadrat matritsaning i=j bo’lgandagi a₁₁ , a₂₂ , …, a_nn elementlari uning diagonali deyiladi. Birlik matritsa bu asosiy diagonaldagi elementlar 1 ga, qolgan elementlari esa 0 ga teng bo'lgan kvadrat matritsadir:

Diagonallardan tashqari barcha elementlar 0 ga teng bo'lgan kvadrat matritsaga diagonal matritsa deyiladi:

Matritsali usul tenglamalar sonini noma'lumlar soniga teng bo'lgan tenglamalarni echishda qo'llaniladi. Usul yuqori bo’lmagan tartibli tizimlarni echishda qulaydir. Usul matritsani ko'paytirish xususiyatlarini qo'llashga asoslangan. Tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

Kramer usuli
Ushbu usul o'zgaruvchilar soni tenglamalar soniga to'g'ri keladigan chiziqli tenglamalar tizimida ham qo'llaniladi. Bundan tashqari, tizimning koeffitsientlariga cheklovlar kiritish kerak. Barcha tenglamalar chiziqli mustaqil bo'lishi kerak, ya'ni hech qanday tenglama boshqalarning chiziqli kombinatsiyasi bo'lmaydi. Buning uchun tizimning matritsasi aniqlovchisi 0 ga teng bo'lmasligi kerak.
Agar nta noma’lumli nta

(1)

chiziqli tenglamalar sistemaning determinanti NOLdan farqli bo’lsa, u holda (1) sistema yagona yechimga ega bo’ladi va bu yechim quyidagi formulalar bilan topiladi:

bu yerda X₁, X₂, …, X_n determinantlar  determinantda noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlarni mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirish orqali hosil qilinadi. (2) formulalarga Kramer formulalari deyiladi.

misol. Quyidagi

chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini Kramer formulalari yordamida toping.
Yechish. Sistemaning asosiy determinanti  ni hisoblaymiz. Bunda

bo lganligiʻsababli berilgan sistema aniq sistemani tashkil qiladi va u yagonayechimga ega bo ladiʻ. Bu yechim Kramer formulalari yordamida quyidagicha topiladi:

Demak, tenglamalar sistemaning yechimi: (-3; 2; 1).