3. metode şi modele de calcul al fiabilităŢii dispozitivelor (instalaţiilor) energetice

Modelarea funcţionării entităţilor energetice prin procese stochastice de tip Markov, staţionare cu timp continuu

Notă : Cele expuse la acest capitol se referă la entităţi a căror comportare este modelată printr-o funcţie exponenţială.
Acest mod de modelare se utilizează în cazurile în care nu poate fi admisă ipoteza independenţei elementelor componente ale unor entităţi (dispozitive).

Dacă această ipoteză poate fi admisă, probabilităţile stărilor parcurse de entitate se determină cu ajutorul funcţiei binomiale.

Asimilând evoluţia în timp a unui dispozitiv (instalaţie) energetic prin diversele stări care pot apărea ca urmare a defectării şi restabilirii elementelor sale componente cu un proces Markov cu timp continuu şi probabilităţi de trecere staţionare, determinarea probabilităţilor de stare pentru o perioadă de referinţă dată se face prin rezolvarea sistemului de ecuaţii diferenţiale, scris sub formă matriceală astfel:

(3.16)
în care:

P(t) - matricea probabilităţilor de stare la momentul “t”;

q - matricea intensităţilor de trecere dintr-o stare într-alta.

Elementele matricii “q” satisfac următoarele relaţii:

(i =1,2,....,N); (3.17)

qij  0 (ij; i,j=1,2,...,N);

qii  0 (i =1,2,...,N),

unde: N - este numărul de stări posibile pentru dispozitivul (instalaţia) studiat.

Dacă timpul de referinţă este suficient de mare (t), sistemul de ecuaţii diferenţiale 3.16 devine un sistem de ecuaţii algebrice de forma:

P  q = 0 (3.18)

Matricea “q” fiind singulară, pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii 3.18 se înlocuieşte una din ecuaţii cu relaţia suplimentară:

în care: Pi sunt elementele matricii probabilităţilor de stare P (i =1,2,...,N).

Elementele qij (i,j =1,2,...,N) ale matricii “q” se obţin astfel:

• 
  dacă trecerea din starea “i” în starea “j” se face prin defectarea unui element având intensitatea de defectare λ, atunci:
  qij = λ
  
• 
  dacă trecerea din starea “i” în starea “j” se face prin repararea unui element având intensitatea de reparare μ, atunci:
  qij = μ
  
• 
  dacă trecerea din starea “i” în starea “j” se face prin înlocuirea unui element defect, având intensitatea de înlocuire , atunci:
  q_ij = 
  

Din relaţiile 3.17 rezultă:

(i = 1,2,...,N)

Pentru ilustrarea trecerilor posibile şi pentru uşurinţa scrierii matricei “q” se poate întocmi graful trecerilor dintr-o stare într-alta (a se vedea exemplele de calcul de la §3.2.1.).

Probabilităţile de stare P₁,P₂,...,P_N obţinute prin rezolvarea sistemului de ecuaţii 3.18 servesc la determinarea indicatorilor de fiabilitate utilizând următoarele relaţii de calcul:

1. 
   probabilitatea de succes (de funcţionare): P
   (3.19)
   
2. 
   probabilitatea de insucces(de nefuncţionare): Q
   (3.20)
   

Notă: În relaţiile 3.19 şi 3.20 s-a notat:

• 
  S - mulţimea stărilor de succes;
  
• 
  R - mulţimea stărilor de insucces.
  

1. 
   durata medie totală de succes (de funcţionare) în perioada de referinţă T: M[α(T)] (3.21)
   

1. 
   durata medie totală de insucces (de nefuncţionare) în perioada de referinţă T: M[ß(T)]
   (3.22)
   

1. 
   numărul mediu total de stări de insucces (de defecte) în perioada de referinţă T: M[(T)]
   

(3.23)

1. 
   durata medie a unei stări de succes (durata medie de funcţionare): M[T_f]
   

(3.24)

1. 
   durata medie a unei stări de insucces eliminată prin reparaţie sau/şi înlocuire (durata medie de reparaţie sau/şi înlocuire): M[T_d]
   

(3.25)

1. 
   probabilitatea de funcţionare neîntreruptă pe un interval de timp dat (t, t+x): R(t, t+x)
   

(3.26)

1. 
   numărul mediu de stări de insucces (de defecte) eliminate prin reparaţii sau/şi înlocuiri în perioada de referinţă_T, a căror durată depăşeşte o durată critică t_c: M[v_tc(T)]
   

(3.27)

În cazul unei singure entităţi având intensitatea de defectare (echivalentă) λ şi intensitatea de reparare μ, relaţiile pentru calculul indicatorilor de fiabilitate menţionaţi mai sus sunt:

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)


Pentru cazul evaluării indicatorului sintetic caracteristic şi specific pentru relaţii la puncte de interfaţă între furnizorii şi beneficiarii unor servicii, probabilitatea r(t) de depăşire a condiţiilor referitoare la număr "N_max" şi durate "t_c" de întrerupere maxim admise în efectuarea unei funcţiuni date în intervalul [0, θ], se va putea utiliza relaţia:
(3.37)

în care:

1. 
   e este rata de defectare echivalentă a dispozitivului (schemei) care asigură realizarea funcţiunii date în raport cu punctul de referinţă (de interfaţă) evaluat pentru o funcţie dată.
   
2. 
   este valoarea inversă a duratelor medii de restabilire după un defect;
   
3. 
   t_c este valoarea critică a unei durate maxime admise (convenite) de restabilire după un defect;
   

Acest indicator are semnificaţia:

Riscul preluat de furnizorul unui serviciu, în cazul angajamentului acestuia de a nu se depăşi, într-un interval de timp precizat “t”, un număr maxim de defecte Nmax (sau de afectări ale unei funcţiuni date) ale căror durate de restabilire depăşesc valoarea convenită “t_c” (valoarea pentru t_c poate fi şi nulă).
În cazul în care, compararea soluţiilor se face pe criterii tehnico-economice, pe baza daunelor produse datorită întreruperilor (stărilor de insucces), se recomandă să se determine indicatorul:

1. 
   probabilitatea ca diferenţa între numărul de stări de insucces pentru două soluţii să fie mai mică decât o anumită valoare Δk în perioada de referinţă T: r (Δk)
   

(3.38)

unde:

Δk - valoarea diferenţei între numărul de stări de insucces în cele două soluţii (1 şi 2) care justifică investiţia suplimentară în varianta mai sigură;

λ₁,λ₂ - intensităţile de defectare pentru schemele corespunzătoare celor două soluţii (1 şi 2).

Pe baza metodei descrise, în cele ce urmează se prezintă mai multe posibilităţi de calcul al probabilităţilor de stare, aplicabile, de la caz la caz, în funcţie de specificul dispozitivului (instalaţiei) analizat sau de scopul analizei de fiabilitate.
Note:

1. 
   Numărul mediu total de stări de insucces (de defecte) în perioada de referinţă T se poate defalca după modul de revenire în starea de succes: reparaţie şi/sau înlocuire, manevră manuală şi manevră automată. În fiecare din cele trei situaţii se poate utiliza relaţia de calcul (3.23), în care mulţimea R a stărilor de insucces este, după caz:
   
2. 
   mulţimea stărilor de insucces (de defecte) eliminate prin reparaţii sau/şi înlocuiri;
   
3. 
   mulţimea stărilor de insucces (de defecte) eliminate prin manevre manuale;
   
4. 
   mulţimea stărilor de insucces (de defecte) eliminate prin manevre automate.
   
5. 
   În cazul stărilor de insucces (defectelor) eliminate prin manevre manuale sau automate se neglijează durata manevrelor.
   
6. 
   În afara stărilor de insucces (de defecte) eliminate prin reparaţie sau/şi înlocuire şi manevre manuale sau automate există un număr de defecte ale dispozitivelor (instalaţiilor) cauzate de manevre efectuate în timpul acţiunilor de mentenanţă preventivă sau corectivă. Pentru determinarea numărului mediu al acestor defecte se va proceda în conformitate cu cap. 4.
   

1. Calculul probabilităţilor de stare pentru dispozitive (instalaţii) cu elemente dependente

Calculul probabilităţilor de stare bazat pe scrierea şi rezolvarea sistemului de ecuaţii (3.18) este utilizabil practic în toate cazurile de analiză cantitativă a fiabilităţii obiectivelor sau dispozitivelor (instalaţiilor) energetice, indiferent dacă elementele componente sunt dependente sau independente.

Utilizarea acestui procedeu este însă limitată în unele situaţii de volumul mare de calcule pe care le implică. De exemplu, pentru un sistem din n elemente, fiecare element având 2 stări posibile, numărul total de stări posibile ale instalaţiei este 2ⁿ, deci va trebui rezolvat pentru determinarea probabilităţilor de stare un sistem de 2ⁿ ecuaţii. De aceea este indicată utilizarea procedeului de scriere şi rezolvare a sistemului de ecuaţii sau soluţia lui generală pentru determinarea probabilităţilor de stare, numai în cazurile în care între anumite elemente componente ale entităţii analizate există o dependenţă care nu se poate neglija (a se vedea Nota de la §3.2.2.).

Se recomandă ca, în situaţiile în care se utilizează acest procedeu de calcul, să se reducă în prealabil schema de calcul aferentă entităţii analizate în măsura în care este posibil, aplicând procedeul de reducere prin echivalări succesive prezentat la §3.2.4. (a se vedea şi fig. 3.1).

Procedeul se bazează pe scrierea şi rezolvarea sistemului de ecuaţii plecând de la relaţia matriceală 3.18 care în cazul unui dispozitiv (instalaţie) ce evoluează prin N stări posibile este:


(3.39)

......................................................

Dat fiind că matricea “q” este singulară , pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii 3.39 se înlocuieşte una din ecuaţiile sale prin relaţia suplimentară: .

Rezolvând sistemul de ecuaţii astfel obţinut, se determină probabilităţile de stare P₁,P₂,...,P_N, după care, utilizând relaţiile (3.19  3.27) se determină indicatorii de fiabilitate P, Q, M[α(T)], M[ß(T)], M[(T)], M[T_f], M[T_d], R(t,t+x), M[_tc(T)].
De cele mai multe ori (în special în cazul instalaţiilor alcătuite din echipamente electrice) probabilităţile de stare se pot determina direct, folosind următoarele relaţii de calcul, care conduc la o aproximare bună a probabilităţilor de stare pentru instalaţii alcătuite din elemente cu fiabilitate ridicată (λ / μ  0,05).

1. 
   pentru stările de defect simplu, corespunzând defectării elementului i:
   

(i=1,2,...,n) (3.40)

1. 
   pentru stările de defect dublu, corespunzând defectării elementelor i şi j , în ordinea mai întâi i, iar apoi j:
   

(i, j =1,2,...,n) şi (ij) (3.41)

1. 
   pentru stările de defect triplu, corespunzând defectării elementelor i, j şi k în ordinea mai întâi i, apoi j, iar apoi k:
   

(i, j, k = 1,2,...,n) şi (i  j  k) (3.42) unde:

• 
  P₀ - probabilitatea stării cu toate elementele componente în funcţiune:
  

(3.43)

• 
  n - numărul de elemente componente ale dispozitivului (instalaţiei), eventual după aplicarea procedeului §3.2.4.
  

Notă:

1. 
   În cazul entităţilor (dispozitivelor, instalaţiilor) alcătuite din elemente independente, probabilităţile de stare obţinute pe baza relaţiilor 3.40  3.43 sunt identice cu cele obţinute prin rezolvarea sistemului de ecuaţii 3.39 sau prin metoda binomială (a se vedea §3.2.2.).
   
2. 
   Relaţiile de calcul 3.40  3.42 au un caracter general, fiind valabile atât în cazul în care elementele componente ale dispozitivului (instalaţiei) analizat sunt dependente, cât şi în cazul în care acestea sunt independente.
   
3. 
   Dependenţa elementelor componente se reflectă în ordinea şi posibilitatea defectării lor, forma generală a relaţiilor care dau soluţia sistemului de ecuaţii 3.39 permiţând diferenţierea stărilor de defect multiplu în funcţie de ordinea defectării elementelor (de exemplu, relaţia 3.41 permite obţinerea atât a probabilităţilor P_ij, cât şi P_ji).
   
4. 
   Relaţiile generale 3.403.43 sunt valabile şi în cazul în care o parte din elemente fiind rezervate, revenirea lor în stare de succes (de funcţionare) în urma defectării se face prin înlocuire; în această situaţie în locul intensităţii de reparare μ, se va considera intensitatea de înlocuire , care reprezintă inversul duratei medii de înlocuire a elementelor defecte prin elementele de rezervă.
   

Exemplul 1

Fie o entitate cu elemente dependente având diagrama bloc din fig. 3.5.

Fig.3.5

Să se determine indicatorii de fiabilitate pentru această entitate.

Se consideră că elementele componente ale acestei entităţi se pot defecta numai când entitatea funcţionează. Ca urmare, elementele 2 şi 3 nu se pot defecta cât timp elementul 1 este defect, situaţie în care, aşa cum rezultă din fig. 3.5, entitatea iese din funcţiune. Totodată, nici elementul 1 nu se poate defecta atâta timp cât elementele 2 şi 3 se află amândouă în stare de defect, deci starea cu trei elemente defecte nu există.
Rezolvare:
Stările posibile pentru entitatea din fig. 3.5 sunt prezentate în tabelul 3.3.

Tabelul 3.3.

Stări posibileElemente în funcţiuneElemente defecte11,2,3-22,3131,3241,23532,1623,1712,3
Graful trecerilor dintr-o stare în alta şi matricea intensităţilor de trecere sunt:

Sistemul de ecuaţii (3.39) completat cu relaţia ΣP_i=1 (i=1,...,N) este în acest caz:

Utilizând relaţiile care dau soluţia generală a sistemului de ecuaţii, se obţin probabilităţile de stare P₁,P₂,...,P₇ :

P₁ = P₀










Deoarece, aşa cum rezultă din fig. 3.5, elementele 2 şi 3 se pot defecta atât în ordinea întâi 2 şi apoi 3, cât şi în ordinea întâi 3 apoi 2, probabilitatea stării cu elementele 2 şi 3 defecte va fi:



Mulţimea tuturor stărilor posibile {1,2,..,7} se împarte în:

• 
  mulţimea stărilor de succes: S = {1,3,4};
  
• 
  mulţimea stărilor de insucces: R = {2,5,6,7}.
  

Utilizând relaţiile (3.19)(3.25) se pot calcula în continuare următorii indicatori de fiabilitate:

În cazul elementelor componente identice (λ₁ = λ₂ = λ₃ = λ; μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ), notând cu k raportul λ/μ şi utilizând relaţiile care dau soluţia generală a sistemului de ecuaţii, se obţine:

;
;


Exemplul 2
Se consideră cuplul cu rezervare pasivă din fig. 3.6 format din două elemente identice:

1. 
   elementul 1 (de bază) este în funcţiune;
   
2. 
   elementul 2 este rezervă rece (pasivă).
   

Când elementul de bază se defectează, elementul de rezervă, care se află în regim de aşteptare, îl înlocuieşte imediat dacă este disponibil (se consideră că timpul de înlocuire este neglijabil).
Fig. 3.6
Să se analizeze fiabilitatea acestui cuplu în trei variante de exploatare:

1. 
   elementul de rezervă nu se defectează în regim de aşteptare (λ_a=0);
   
2. 
   elementul de rezervă se defectează în regim de aşteptare cu intensitatea de defectare λ_a ; aceste defecte nu sunt semnalizate şi, în absenţa testării, sunt descoperite numai la apariţia solicitării (defectarea elementului de bază);
   
3. 
   elementul de rezervă se defectează în regim de aşteptare cu intensitatea de defectare λ_a ; aceste defecte nu sunt semnalizate şi sunt descoperite prin testarea periodică a rezervei la intervale egale de timp "θ".
   

Varianta a)

Stările prin care evoluează cuplul sunt:

1. 
   ambele elemente bune (elementul 1 în funcţiune, elementul în rezervă);
   
2. 
   elementul de bază defect, elementul de rezervă bun; elementul de rezervă se cuplează imediat în locul elementului de bază;
   
3. 
   ambele elemente defecte.
   

Graful de trecere prin aceste stări şi matricea intensităţilor de trecere sunt:

Pentru obţinerea probabilităţilor de stare P₁, P₂ şi P₃ se vor utiliza relaţiile (3.39), (3.40) şi (3.42) care dau soluţia generală a sistemului de ecuaţii (3.18) completat cu relaţia suplimentară.

Se obţine:

Pe baza probabilităţilor de stare se calculează în continuare indicatorii de fiabilitate utilizând relaţiile (3.19)(3.25):

Varianta b)

Stările prin care evoluează cuplul sunt:

1. 
   ambele elemente bune (elementul 1 în funcţiune, elementul 2 în rezervă);
   
2. 
   elementul de bază defect, elementul de rezervă bun; elementul de rezervă se cuplează imediat în locul elementului de bază;
   
3. 
   elementul de rezervă defect (în regim de aşteptare), elementul de bază în funcţiune;
   
4. 
   ambele elemente defecte.
   

Graful de trecere prin aceste stări şi matricea intensităţilor de trecere sunt:

Pentru obţinerea probabilităţilor de stare P₁, P₂, P₃ şi P₄ se va rezolva sistemul de ecuaţii (3.18) completat cu relaţia suplimentară .

Se obţine:







Pe baza probabilităţilor de stare se calculează în continuare indicatorii de fiabilitate utilizând relaţiile (3.19)(3.25):













Notă:

1. 
   Deoarece este dificilă estimarea intensităţii de defectare în regim de aşteptare (mai ales în absenţa testării), în calcule se poate considera, în funcţie de specificul entităţii, că această intensitate de defectare este egală cu:
   _a ≈ 0,5 ÷ 1,0 × ,  fiind intensitatea de defectare în regim de funcţionare.
   
2. 
   În vederea depistării defectelor nesemnalizate produse în regim de aşteptare, se practică testarea periodică, astfel încât aceste defecte să fie remediate înainte de apariţia solicitării rezervelor.
   

Varianta c)

Dacă testele se efectuează la intervale de timp egale "θ", calculul indicatorilor de fiabilitate în această variantă de exploatare a rezervei se face la fel ca şi pentru varianta b). Stările prin care evoluează cuplul analizat sunt aceleaşi, însă în graful de trecere şi în matricea intensităţilor de trecere trebuie să ia în considerare trecerea din starea 3 în starea 1 (restabilirea elementului de rezervă defect) cu o intensitate de trecere μ', care va fi egală cu inversul timpului mediu de restabilire a defectelor produse în regim de aşteptare. Acest timp include durata medie de aşteptare până la descoperirea defectului "θ/2" şi durata medie de reparare "1/μ" (a se vedea Cap.5).

Dacă se notează cu λ_e - intensitatea de defectare a ansamblului, cu μ_e - intensitatea de restabilire şi cu q_e - probabilitatea de insucces (de nefuncţionare), aceşti parametri de fiabilitate se calculează considerând: λ_e = 1/M[T_f] ; μ_e = 1/M[T_d]) ; q_e=Q.

În tabelul 3.4 sunt centralizate relaţiile de calcul pentru q_e , λ_e şi μ_e în cele trei variante de rezervare pasivă, pentru λ_a=λ.

Tabelul 3.4

Varianta de rezervare pasivăINDICATORI DE FIABILITATEq_eλ_eμ_eABC

1. Calculul probabilităţilor de stare pentru dispozitive (instalaţii) cu elemente independente

Dată fiind simplicitatea calculului probabilităţilor de stare utilizând metoda binomială, se recomandă utilizarea acesteia ori de câte ori există sau se poate admite independenţa elementelor componente ale dispozitivului (instalaţiei) considerat, fără introducerea unor erori mari de calcul (a se vedea Nota de la sfârşitul acestui paragraf).

În acest caz probabilităţile de stare se obţin din dezvoltarea produsului binomial:

(3.43)

în care:

n - numărul elementelor componente ale dispozitivului (instalaţiei) analizat;

p_i - probabilitatea de succes (de funcţionare) a elementului i (i=1,2,...,n) ;

q_i - probabilitatea de insucces (de nefuncţionare) a elementului i (i=1,2,...,n).
Relaţiile binomiale care dau probabilităţile de stare, obţinute din dezvoltarea produsului de mai sus, sunt următoarele:

- probabilitatea stării cu toate elementele în funcţiune:

(3.44)

- probabilitatea stării cu elementul i defect şi celelalte (n-1) elemente în funcţiune:

i =1,2..........n (3.45)
- probabilitatea stării cu elemente i şi j defecte (indiferent de ordinea defectării lor) şi
celelalte (n-2) elemente în funcţiune:
i, j=1,2,...,n ij (3.46)
- probabilitatea stării cu elementele i, j şi k defecte (indiferent de ordinea defectării lor)
şi celelalte (n-3) elemente în funcţiune:

i, j, k = 1,2,...,n i  j  k (3.47)

În cazul a n elemente identice (p₁ = p₂ = ... = p_n = p), termenul general din dezvoltarea binomului (p+q)ⁿ este :

C^k_n · q^k · p^n-k k = 0,1,..., n (3.48)

reprezintă probabilitatea stării cu k elemente defecte şi celelalte (n-k) elemente în funcţiune.

Notă: Cel care efectuează calculele de fiabilitate va aprecia, de la caz la caz, în funcţie de tipul entităţii, de scopul analizei de fiabilitate, şi de valorile parametrilor de fiabilitate aferenţi elementelor componente (λ, μ, p, q) etc., dacă este necesar să se ia în considerare stările corespunzătoare defectelor de ordin superior (3, 4, etc).
Cu ajutorul probabilităţilor de stare obţinute pe baza relaţiilor (3.44)(3.48), se poate efectua în continuare calculul indicatorilor de fiabilitate, utilizând relaţiile (3.19)÷(3.27).

În cazul în care un dispozitiv este compus din elemente componente independente, rata de defectare respectivă se poate determina, direct, cu relaţia:

în care: Psk, este suma probabilităţilor “pi” ale stărilor cu k elemente indisponibile din care, cu o intensitate “i” se trece în stare de defect a dispozitivului;

Psucc, este suma probabilităţilor stărilor de succes.

Trecerile între stările ale căror probabilităţi au fost determinate cu ajutorul legii binomiale se fac cu considerarea intensităţilor de trecere constante în timp ““.

Exemplu:

Fie un cuplu format din trei elemente independente redundante 100% caracterizate prin probabilităţile de succes P₁ = p₁ × p₂, P₂ = q₁ × p₂ şi P₂ = q₂ × p₁.

Intensitatea de defect echivalentă va rezulta în conformitate cu relaţia de mai jos:

Pentru a compara rezultatele obţinute pentru indicatorii de fiabilitate dacă se consideră elementele componente dependente sau independente, în cele ce urmează se reia exemplul din fig. 3.5 în ipoteza independenţei elementelor componente.

Se consideră o entitate având diagrama bloc din fig. 3.5 (§3.2.1.), ale cărei elemente sunt însă independente. Ca urmare, elementele se pot defecta indiferent de starea dispozitivului (instalaţiei), sau de starea altor elemente.

În consecinţă, stările posibile ale diagramei bloc din fig. 3.5 sunt cele din tabelul 3.5.

Tabelul 3.5

Stările posibileElementele în funcţiuneElementele defecte11,2,3-22,3131,3241,23531,2621,3712,38-1,2,3

Din relaţiile de calcul (3.44)(3.47) se obţin probabilităţile de stare:

Mulţimea stărilor de succes este: S = {1,3,4}

Mulţimea stărilor de insucces este: R = {2,5,6,7,8}.

Utilizând în continuare relaţiile (3.19)  (3.25), se pot determina indicatorii de fiabilitate:

În cazul elementelor componente identice (p₁ = p₂ = p₃ = p; q₁ = q₂ = q₃ = q;

λ₁ = λ₂ = λ₃ = λ; μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ), notând cu k raportul q/p = λ/μ, se obţine:
;

;

;



;

;
Notă:

Comparând rezultatele obţinute pentru probabilităţile de stare şi indicatorii de fiabilitate în cazul schemei de calcul din fig.3.5 în cele două ipoteze:

1. 
   cu elemente dependente (exemplul de la §3.2.1.)
   
2. 
   cu elemente independente (exemplul de la §3.2.2.)
   

se constată că pentru valori mici ale raportului k = λ/μ (k  0,05), diferenţele nu sunt semnificative (majoritatea cazurilor practice curente de utilizare a calculelor)..
Având în vedere exemplul şi Nota de mai sus, se menţionează că, în cazul unor scheme de calcul în care k  0,05, se admite utilizarea relaţiilor binomiale (3.44)  (3.48) pentru obţinerea probabilităţilor de stare, în măsura în care alte caracteristici ale schemei tehnologice sau cerinţe speciale privind exactitatea rezultatelor nu impun utilizarea altor procedee de calcul. Excepţie pot face dispozitivele (instalaţiile) cu elemente în rezervă rece care nu se defectează în stare de rezervă sau de aşteptare (λ_a = 0), în care caz probabilităţile de stare se vor calcula conform procedeului descris la §3.2.1. (a se vedea exemplul 2).

1. Calculul indicatorilor de fiabilitate pentru scheme cu elemente independente utilizând grila pentru evidenţierea stărilor de defect

Acest procedeu este aplicabil 頽 cazul dispozitivelor (instalaţiilor) alcătuite din elemente independente (sau care pot fi considerate independente), c鈔d, pe baza aprecierii utilizatorului se admite luarea 頽 consideraţie numai a defectelor simple şi duble.

Acest procedeu se bazează pe utilizarea relaţiilor binomiale pentru obţinerea probabilităţilor de stare (a se vedea .2.2.) şi pe construirea unui tablou (grile) pentru evidenţierea trecerilor instalaţiei din stările de succes (funcţionare) 頽 stările de insucces (nefuncţionare). Pot fi luate 頽 consideraţie defectele simple şi duble, at鈚 cele eliminate prin reparaţii (sau 頽locuiri), c鈚 şi cele eliminate prin manevre manuale şi automate.

Se menţionează că acest procedeu, ca şi procedeul descris la §3.2.1., permite abordarea calculelor de fiabilitate pentru scheme tehnologice a căror configuraţie iniţială se schimbă în timp prin acţiuni voite (manevre manuale sau automate) ale personalului de exploatare, determinate de evoluţia prevăzută a sistemului.

Faţă de procedeul descris la .2.1., acest procedeu prezintă avantajul că, pentru o aceeaşi schemă "grila" are dimensiuni considerabil mai reduse dec鈚 matricea intensităţilor de trecere.

"Grila" este un tablou av鈔d numărul liniilor şi coloanelor egal cu numărul de elemente "n" din schema de calcul (redusă 頽 prealabil prin procedeul de echivalare .2.4), sau din schema tehnologică.

Acest tablou se completează 頽 felul următor:

1. 
   pe diagonală, la intersecţia liniei i cu coloana i, se înregistrează defectele simple care determină ieşirea schemei din stare de succes (de funcţionare);
   
2. 
   la intersecţia liniei i cu coloana j, se înregistrează defectele duble care determină ieşirea schemei din stare de succes (de funcţionare), presupunându-se că elementul i s-a defectat înaintea elementului j (i,j=1,2,...,n).
   

蝞registrarea defectelor (simple sau duble) se face prin marcarea căsuţelor corespunzătoare ale grilei cu:

1. 
   R - dacă revenirea în stare de succes se face prin repararea sau înlocuirea elementelor defecte (cu specificarea şi a numărului de ordine al elementelor a căror reparare sau înlocuire determină revenirea schemei în stare de succes);
   
2. 
   M - dacă revenirea în stare de succes se face printr-o manevră manuală;
   
3. 
   A - dacă revenirea în stare de succes se face printr-o manevră automată.
   

Pentru defectele eliminate prin manevre (manuale sau automate) se vor neglija duratele de manevră, astfel că duratele stărilor de insucces cu unul sau cu două elemente defecte din care se revine în stare de succes prin manevre vor fi egale cu zero.

Modul practic de completare a grilei pentru evidenţierea stărilor de insucces este prezentat pe un exemplu de calcul pentru schema din fig.3.7.

După completarea grilei, calculul indicatorilor de fiabilitate se face parcurgând etapele următoare:

Se calculează probabilităţile stărilor cu toate elementele în funcţiune P₀ şi cu un element defect (i=1,2,...,n) utilizând relaţiile de calcul (3.44) şi (3.45) de la §3.2.2.:

unde:
n – numărul de elemente din schema de calcul (redusă) sau din schema

tehnologică;
p_i, q_i – sunt probabilităţile de succes, respectiv de insucces pentru elementul
i (i=1,2,...,n).

1. 
   Se calculează numărul mediu de defecte (simple sau duble) în perioada de referinţă T, care se elimină prin reparaţii /sau înlocuiri), manevre manuale şi manevre automate:
   (3.49) iM₁ i=1 jM₂⁽ⁱ⁾ (3.50)
   iA₁ i=1 jA₂⁽ⁱ⁾ (3.51)
   

unde:
R₁, M₁, A₁ – reprezintă mulţimea elementelor marcate în grilă prin R, M, respectiv A în căsuţele de pe diagonală şi R₂⁽ⁱ⁾, M₂⁽ⁱ⁾, A₂⁽ⁱ⁾ reprezintă mulţimea elementelor marcate în grilă prin R, M, respectiv A în căsuţele aflate la intersecţia liniei i cu coloanele j (i, j = 1,2,...,n; ji).

1. 
   Se calculează durata medie totală a stărilor corespunzătoare defectelor simple şi duble eliminate prin reparaţii (sau înlocuiri) în perioada de referinţă T.
   

(3.52)
unde:

μ_i – dacă în căsuţa de pe linia i şi coloana j a grilei este marcat R/i;

m_ij = μ_j – idem, dacă este marcat R/j;

μ_i + μ_j – idem, dacă este marcat R/i,j.

1. 
   Se calculează durata medie a unui defect eliminat prin reparaţii (sau înlocuiri):
   

(3.53)

Exemplu de calcul

Se consideră o instalaţie având schema prezentată în fig. 3.7, starea de succes analizată fiind prezenţa tensiunii la bara B. Se cere să se determine indicatorii de fiabilitate ai acestei scheme.

Notă: Nu se va lua în considerare posibilitatea de insularizare a grupului.
Grila corespunzătoare schemei din fig. 3.7. este următoarea:
1234561 AR/1,3R/4R/1,5R/62AR/2,3R/4R/2,5R/63R/3,1R/3,2R/4R/64R/45R/5,1R/5,2R/4R/66R/6


Observaţie:

După cum se vede grila astfel obţinută are 6 linii şi 6 coloane.

În cazul utilizării procedeului §3.2.1., ar rezulta o matrice a intensităţilor de trecere construită numai pentru defectele simple şi duble având 22 linii şi 22 coloane (C₆⁰+C₆¹+…+C₆² = 22), fapt care confirmă avantajul aplicării grilei în condiţiile în care se poate admite independenţa elementelor componente ale schemei şi se pot neglija defectele de ordin superior (3, 4, etc.).
Indicatorii de fiabilitate pentru această schemă se determină utilizând relaţiile (3.44), (3.45) şi (3.49)(3.53).

1. 
   Probabilităţile de stare:
   

( i = 1,....,6)


b) Numărul mediu de defecte simple şi duble în perioada de referinţă T:













c) Durata medie totală a stărilor de insucces (defecte simple şi duble):



d) Durata medie a unei stări de insucces eliminată prin reparaţii:

1. Calculul indicatorilor de fiabilitate utilizând reducerea prin echivalări succesive a schemei de calcul

   1. Acest procedeu se aplică schemelor de calcul construite pentru un dispozitiv (instalaţie) 頽 conformitate cu prevederile de la Cap. 2. şi constă 頽 reducerea succesivă a numărului de elemente componente ale schemei de calcul, dacă este posibil chiar la un singur element echivalent.

   2. Procedeul trebuie aplicat, 頽 măsura 頽 care este posibil, la 頽ceputul oricărui calcul de fiabilitate, 頽 vederea reducerii numărului de elemente ale schemei de calcul, obţin鈔d astfel o micşorare considerabilă a volumului de calcul 頽 eventualitatea că ar fi necesară, 頽 continuarea calculului analizei de fiabilitate, aplicarea şi a altor procedee de calcul (a se vedea fig. 3.1).

   3. Ipotezele de calcul acceptate la aplicarea acestui procedeu sunt cele prezentate la .4.

   4. Datele de intrare necesare calculului valorilor indicatorilor de fiabilitate sunt valorile parametrilor de fiabilitate aferenţi elementelor componente ale schemei de calcul:

1. intensitatea de defectare : 

2. intensitatea de reparaţie (de 頽locuire): , (v)

3. probabilitatea de insucces (de nefuncţionare) :q

1. Parametrii de fiabilitate , , vor fi exprimaţi pentru toate elementele componente ale schemei de calcul, 頽 aceeaşi unitate de măsură
   (de exemplu h-1 sau an-1).

2. Procedeul de reducere prin echivalări succesive a schemei de calcul parcurge următoarele etape:

   1. 蝞 cazurile 頽 care un element al schemei tehnologice se repetă 頽 mai multe puncte 頽 schema de calcul, este necesară, 頽 prealabil, eliminarea pe c鈚 posibil a acestor repetări, utiliz鈔d 頽 acest scop proprietăţile algebrei Boole (tabelul 3.6), aşa cum se ilustrează 頽 exemplele care urmează, sau metoda de descompunere ca 頽 exemplul 3 de la .1.

Proprietăţi ale algebrei Boole.

Tabelul 3.6

1. 
   Nr. crt. Proprietăţi ale algebrei Boole""""Asociativitate(AB)C = A(BC)(AB)C = A(BC)ComutativitateAB = BAAB = BAIdempotenţăAA = AAA = AAbsorbţieA(AB) = AA(AB) = ADistributivitateA(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)Legile lui de Morgan
   

Notaţii

 - operaţia de reuniune

 - operaţia de intersecţie

- complementara mulţimii A

 - mulţimea vidă

 - mulţimea totală

Notă: Pentru uşurinţa scrierii în exemplele care urmează se notează prin "+" operaţia de reuniune "" şi prin "×" operaţia de intersecţie "".


Exemplul 1

Fie o instalaţie tehnologică a cărei funcţionare este reprezentată prin următoarea schemă de calcul:

a - Diagrama bloc b - Arbore de defectare

Se notează: Se notează:

A_i - evenimentul "elementul i - evenimentul "elementul i

în funcţiune" (i=1,2,3) defect" (i=1,2,3)

E - evenimentul "instalaţia - evenimentul "instalaţia

tehnologică funcţionează" tehnologică este defectă"

Se observă că elementul 1 se repetă în ambele scheme de calcul.

Utilizând proprietăţile algebrei Boole (tabelul 3.6) şi definiţiile din tabelele 2.1 şi 2.2 (a se vedea §2.) rezultă:

Repetarea elementului 1 fiind eliminată, schemele de calcul ce urmează a fi luate în consideraţie în analiza de fiabilitate sunt:

a - Diagrama bloc b - Arbore de defectare

Exemplul 2

Fie o instalaţie tehnologică a cărei funcţionare este reprezentată prin următoarea schemă de calcul:

a - Diagrama bloc b - Arbore de defectare

Se observă că elementele 1,2 şi 3 se repetă în ambele scheme de calcul. Utilizând proprietăţile algebrei Boole (tabelul 3.6) şi definiţiile din tabelele 2.1 şi 2.2 (a se vedea §2.) rezultă:

Notă: Evenimentele A_i, (i=1, 2, 3), E şi au aceeaşi semnificaţie în diagrama bloc şi în arborele de defectare ca în exemplul 1.
Se observă că repetarea elementelor 2 şi 3 nu a putut fi eliminată prin aplicarea relaţiilor boolene. Cu toate acestea, în cazul ilustrat de acest ultim exemplu, cele două scheme de calcul de mai sus pot fi reprezentate ţinând cont de definiţiile din tabelele 2.1 şi 2.2, ca o conexiune în paralel cu condiţia "2 din 3" sau poartă logică " ŞI" cu condiţia "2 din 3", astfel:
a - Diagrama_bloc b - Arbore de defectare

În situaţiile în care aplicând relaţiile booleene nu pot fi eliminate în totalitate repetările de elemente din schema de calcul, procedeul de echivalare se va putea aplica numai porţiunilor din schema de calcul în care nu există elemente care se repetă, urmând ca finalizarea calculului indicatorilor de fiabilitate să se realizeze prin unul din procedeele descrise la §3.2.1., §3.2.2 sau §3.2.4. (a se vedea şi fig.3.1.)

Notă: Chiar în situaţiile în care nu se pot elimina toate repetările de elemente din schema de calcul, procedeul de reducere prin echivalări se poate aplica întregii scheme de calcul fără a se introduce erori mari dacă elementele componente ale acesteia prezintă o fiabilitate ridicată (/  0.05), sau dacă analiza de fiabilitate serveşte exclusiv comparării mai multor variante de schemă tehnologică.

În aceste situaţii se pot utiliza relaţiile aproximative din tabelul 3.7 pentru calculul parametrilor de fiabilitate echivalenţi.

1. Se echivalează succesiv şi se 頽locuieşte 頽 schema de calcul fiecare ansamblu de elemente care intră 頽tr-o conexiune elementară (serie,paralel,etc.) de pe fiecare ramură a schemei de calcul prin c鈚e un singur element echivalent.
   Parametrii de fiabilitate _e, _e, q_e ai elementelor echivalente, pentru cele mai frecvente tipuri de conexiuni de elemente care apar 頽 schemele de calcul, se calculează utiliz鈔d relaţiile din tabelul 3.7. Pentru schemele cu rezervare pasivă se pot utiliza şi relaţiile din tabelul 3.4 (a se vedea exemplul 2 de la .2.1.).

2. Pe schema de calcul obţinută prin aplicarea etapei 3.2.4.6.2., se reia aplicarea acestei etape utiliz鈔d relaţiile din tabelul 3.7, procesul echivalărilor 頽cheindu-se 頽 momentul 頽 care se ajunge la una din următoarele situaţii:

1. 頽treaga schema de calcul s-a redus la un singur element echivalent av鈔d parametrii de fiabilitate _e, _e, q_e ;

2. 頽 cadrul schemei de calcul reduse există şi alte tipuri de conexiuni logice 頽tre elementele componente, diferite de cele prezentate 頽 tabelele 3.7 şi 3.4 pentru care nu se prezintă relaţiile de calcul al parametrilor de fiabilitate ai elementului echivalent;

3. schema de calcul redusă este de tipul celor menţionate la §3.2.4.6.1. (conţine elemente care se repetă).
   
   

1. Calculul indicatorilor de fiabilitate se realizează 頽 continuare astfel:

1. 
   dacă procesul echivalării s-a încheiat în situaţia 3.2.4.6.3.a) calculul indicatorilor de fiabilitate în funcţie de parametrii de fiabilitate _e, _e, q_e ai elementului echivalent se face utilizând relaţiile din tabelul 3.8;
   
   
   
2. 
   dacă procesul echivalării s-a încheiat în una din situaţiile 3.2.4.6.3.b) sau c) se va aplica, după caz, unul din procedeele §3.2.1.,§3.2.2. sau §3.2.3.(a se vedea fig. 3.1 şi Nota de la §3.2.4.6.1.).
   

Tabelul 3.7

PARAMETRII DE FIABILITATE ECHIVALENŢI PENTRU TIPURI DE CONEXIUNI LOGICE ELEMENTARE

Tipul de conexiune logicăSchema de calculRelaţii de calcul

Elemente diferiteElemente identice

SERIE

Poartă logică "SAU"Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

PARALEL

Poartă logică "ŞI"

Date de intrare:

λ_i , µ_i sau λ_i , q_i

(i = 1, 2, … n)Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

TABELUL 3.7 (continuare)

PARAMETRII DE FIABILITATE ECHIVALENŢI PENTRU TIPURI DE CONEXIUNI LOGICE ELEMENTARE

TIPUL DE CONEXIUNE LOGICĂSCHEMA DE CALCULRELAŢII DE CALCULELEMENTE DIFERITEELEMENTE IDENTICE

PARALEL

POARTĂ LOGICĂ "ŞI"

DATE DE INTRARE:

Λ_I , µ_I SAU Λ_I , Q_I

(I = 1, 2, … N)Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

Tabelul 3.7 (continuare)

PARAMETRII DE FIABILITATE ECHIVALENŢI PENTRU TIPURI DE CONEXIUNI LOGICE ELEMENTARE
Tipul de conexiune logicăSchema de calculRelaţii de calculElemente diferiteElemente identice

PARALEL

Poartă logică "ŞI"

Date de intrare:

λ_i , µ_i sau λ_i , q_i

(i = 1, 2, … n)

Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

Relaţii de calcul exacte:

Relaţii de calcul aproximative:

Tabelul 3.7 (continuare)

PARAMETRII DE FIABILITATE ECHIVALENŢI PENTRU TIPURI

DE CONEXIUNI LOGICE ELEMENTARE

Tipul de conexiune logicăSchema de calculElemente identice

Paralel cu condiţia

"3 din 4"

(3/4)

Poartă logică "ŞI" cu condiţia "2 din 4"

(2/4)

Relaţii de calcul exacte




Relaţii de calcul aproximative:

Paralel cu condiţia

"2 din 4"

(2/4)

Poartă logică "ŞI" cu condiţia "3 din 4"

(2/4)

Relaţii de calcul exacte




Relaţii de calcul aproximative:

Tabelul 3.7 (continuare)

PARAMETRII DE FIABILITATE ECHIVALENŢI PENTRU TIPURI

DE CONEXIUNI LOGICE ELEMENTARE

Tipul de conexiune logicăSchema de calculElemente identiceDate de intrare:

λ , µ

Rezervare pasivă

s – elemente în funcţiune

m – elemente în rezervă pasivă

Condiţie:



Relaţii de calcul exacte
unde:



unde:

Relaţii de calcul aproximative:


Date de intrare:

λ , µ

Rezervare pasivă

s = 1 element în funcţiune

m = 1 element în rezervă pasivă

Condiţie:



Relaţii de calcul exacte






Relaţii de calcul aproximative:



Tabelul 3.8

Indicatori^(*) de fiabilitateElementul echivalent

P Q ^(*) Semnificaţia indicatorilor de fiabilitate este prezentată în Normativ.

3.