3. metode şi modele de calcul al fiabilităŢii dispozitivelor (instalaţiilor) energetice

NTE 005/06/00

3. 3. METODE ŞI MODELE DE CALCUL AL FIABILITĂŢII DISPOZITIVELOR (INSTALAŢIILOR) ENERGETICE

Modelele şi metodele prezentate în cele ce urmează sunt destinate efectuării calculelor de fiabilitate pentru cazurile frecvent întâlnite în practică, care nu contravin premiselor avute în vedere la elaborarea acestor instrucţiuni de calcul (a se vedea §1.4.).

În cadrul prezentelor instrucţiuni se prezintă mai multe modele şi procedee de calcul bazate pe utilizarea funcţiei de fiabilitate, proceselor stochastice de tip Markov, simulării Monte Carlo etc., toate acestea necesitând cunoaşterea unor noţiuni privind statistica matematică şi calculul probabilităţilor.

În cadrul modelelor bazate pe procese stochastice de tip Markov, sunt prezentate mai multe posibilităţi de calcul, care sunt utilizate în funcţie de specificul entităţilor (dispozitivelor, instalaţiilor) şi de exactitatea cerută în calcule.

Utilizatorul prezentelor instrucţiuni va putea alege, pe baza indicaţiilor date în continuare, procedeul de calcul pe care îl consideră adecvat cazului analizat.

În fig.3.1 se prezintă schematic, cu titlu orientativ, etapele de parcurs şi modul de selectare a diverselor procedee de calcul al fiabilităţii pentru obiectivele analizate din sistemul energetic.

Pentru entităţile cu elemente în regim de aşteptare, abordarea calculelor de fiabilitate se face ţinând seama, în special, de aspectele menţionate la Cap.5.

Prevederile din prezentele instrucţiuni sunt divizate în următoarele părţi:

- 3.1. Fiabilitatea funcţionării neîntrerupte a unei instalaţii

- 3.2. Modelarea funcţionării entităţilor prin procese stochastice de tip Markov cu timp continuu

- 3.3. Metoda Monte-Carlo

- 4. Întreruperi în funcţionarea schemelor tehnologice cauzate de manevre

- 5. Aspecte specifice privind fiabilitatea instalaţiilor cu elemente în regim de aşteptare

- 6. Considerarea fenomenelor de degradare sau de îmbătrânire

- 7. Privitor la aplicaţii ale managementului riscului în domeniul activităţii operative şi al mentenanţei

Formular cod: F 4611/IL-01-02 Act.0

3.1. Fiabilitatea funcţionării neîntrerupte a unei instalaţii

În cazul entităţilor (dispozitive, instalaţii) care au de îndeplinit o misiune de durată dată "T_m" (instalaţii de protecţie şi automatizări, surse de intervenţie, etc.) sau în unele aplicaţii care privesc managementul riscului, este necesar să se analizeze funcţionarea neîntreruptă (până la defect) pe un interval de timp dat, respectiv pe durata acestei misiuni

Indicatorii care caracterizează fiabilitatea funcţionării neîntrerupte (până la primul defect) sunt următorii:

1. 
   probabilitatea funcţionării neîntrerupte pe intervalul de timp (0,t) sau funcţia de fiabilitate (de distribuţie): R(t) ;
   
2. 
   durata medie de funcţionare neîntreruptă :M[T_f];
   
3. 
   probabilitatea funcţionării neîntrerupte pe intervalul de timp (t,t+T_m), T_m fiind durata misiunii, sau funcţia de fiabilitate pe interval: R (t, t+T_m) ;
   
4. 
   durata medie reziduală de viaţă;
   
5. 
   durata medie de funcţionare pe intervalul [0, T_i] : M[T_f];
   

În cele ce urmează se prezintă modul de obţinere a acestor indicatori de fiabilitate în două situaţii:

• 
  entitatea (dispozitivul, instalaţia) este alcătuită din elemente nereparabile (funcţionează numai până la primul defect);
  
• 
  entitatea este alcătuită din elemente care se restabilesc după un defect (analiza se efectuează considerând drept moment t = 0, momentul primei puneri în funcţiune sau momentul în care entitatea se găseşte în stare de funcţionare în urma unei restabiliri după defect).
  
  
  

1. Calculul indicatorilor de fiabilitate pentru entităţi nereparabile

   1. Pentru entităţi alcătuite dintr-un singur element:

      1. Probabilitatea de funcţionare până la primul defect:
         (3.1) care, pentru:

• Repartiţia exponenţială, este: ,
  în care:  = constant (rata de defectare nu variază în timp);

• repartiţia Weibull, este:
  în care, a şi b sunt parametrii funcţiei Weibull (a se vedea la cap.6 cele privitoare la semnificaţia şi evaluarea acestor parametrii);

• repartiţia Erlang, este:
  în care, n este numărul de defecte (considerate a fi pertinente).

În figura de mai jos sunt prezentate grafice ale funcţiei de repartiţie Weibull pentru diferite valori ale parametrului b. Pentru b=1 funcţia Weibull este echivalentă cu funcţia exponenţială.

1. Durata medie de funcţionare până la defect:

• pentru funcţia exponenţială: (3.2)

• pentru funcţia Weibull:

1. Probabilitatea condiţionată de funcţionare fără defect pe intervalul “t” după o funcţionare fără defect înregistrată pe durata “t”
   (3.3)
   care, în cazul funcţiei exponenţiale, este,
   iar în cazul funcţiei Weibull, este

1. Pentru dispozitive (instalaţii) complexe:

A. Pentru entităţi complexe ale căror scheme de calcul (diagrame bloc) se pot reprezenta prin tipuri de conexiuni elementare (a se vedea Cap. 2.), R(t) se determină astfel:

• pentru o conexiune în serie formată din "n" elemente prezentând o distribuţie exponenţială (3.4)

• pentru o conexiune în paralel formată din "n" elemente: (3.5)

• pentru o conexiune în paralel (s/n) formată din “n” elemente identice (λ₁ = λ₂ = =···=λ_n = λ), cu condiţia de succes "funcţionarea neîntreruptă a cel puţin “s” elemente din “n": (3.6)

• pentru o conexiune mixtă (serie-paralel): (3.7)
  unde:
  p - numărul de ramuri ale conexiunii în paralel;
  n_i - numărul de elemente în serie de pe ramura “i” a conexiunii în paralel (i=1,...p);
  R_ij(t) - funcţia de fiabilitate a elementului “j” din ramura “i” (i=1,...,p; j=1,...,n_i)

• pentru o conexiune mixtă (paralel-serie):
  (3.8)

2. 
   
   

• unde:
  k - numărul de conexiuni în serie;
  n_i - numărul de elemente în paralel din conexiunea în serie “i” (i=1,...k);
  R_ij(t) - funcţia de fiabilitate a elementului “j” din conexiunea serie “i”
  (i=1,...,k; j=1,...,n_i)

În tabelul 3.1 sunt prezentate expresiile care dau funcţiile de fiabilitate şi duratele medii de funcţionare neîntreruptă pentru o serie de cazuri particulare de astfel de conexiuni, alcătuite din elemente identice, în cazul distribuţiei exponenţiale.

B. Pentru dispozitive (instalaţii) complexe ale căror scheme de calcul (diagrame bloc) nu se pot reprezenta prin tipuri de conexiuni elementare (de exemplu schema tip "punte" din fig.2.1) funcţia de fiabilitate (probabilitatea funcţionării neîntrerupte) se poate determina aplicând teorema probabilităţii totale. Conform acestei teoreme probabilitatea realizării unui eveniment B se poate exprima cu ajutorul probabilităţilor acestui eveniment condiţionate de realizarea altor evenimente {A_i}, care formează un sistem complet de evenimente.
(3.11)

Realizarea evenimentelor {A_i}, conduce la descompunerea schemei de calcul (diagramei bloc) "S" a instalaţiei analizate în "m" scheme de calcul mai simple "S_i", pentru care se pot determina funcţiile de fiabilitate R_Si (t), (i=1,...,m). Această metodă este cunoscută sub numele de "metoda de descompunere" (a se vedea exemplul de calcul 3).

Conform relaţiei (3.11) funcţia de fiabilitate pentru schema de calcul "S" se poate exprima astfel:

(3.12)

Pentru scheme mai complicate se poate aplica teorema probabilităţii totale de câte ori va fi necesar, pentru a se obţine în final descompunerea schemei de calcul iniţiale în scheme cu conexiuni serie, paralel sau mixte.

În cazul în care elementele componente ale schemei sunt independente, ipoteză care se admite pentru analiza fiabilităţii funcţionării până la defect, funcţia de fiabilitate R(t) se poate determina cu ajutorul metodei binomiale (a se vedea § 3.2.2.). În acest scop, se calculează mai întâi probabilităţile stărilor de funcţionare neîntreruptă a instalaţiei, prin dezvoltarea produsului binomial:

(3.13)

în care:

1. 
   “n” este numărul elementelor componente ale schemei.
   
2. 
   (i=1,2,...,n)
   
3. 
   (i=1,2,...,n)
   

În continuare, prin însumarea acestor probabilităţi se obţine funcţia de fiabilitate R(t).

Cunoscând funcţia de fiabilitate R(t), indicatorii M[T_f] şi R(t, t+t) se determină utilizând relaţiile (3.9) şi (3.10)..
Note: 1) În relaţiile (3.1)  (3.13), în care modelarea utilizează o funcţie exponenţială, s-a notat prin λ intensitatea de defectare corespunzătoare elementelor schemei analizate.
2) În cazul în care se utilizează alte funcţii de repartiţie, parametrii corespunzători vor fi adaptaţi în consecinţă.
Tabelul 3.1

Nr. crt.Tipul de conexiune (s/n) *)Funcţia de fiabilitate R(t)Durata medie de funcţionare până la primul defect M[T_f]11/1e^-λ·t = R₁(t)1/λ21/22·R₁(t) - R₁(t)²3/(2·λ)32/2R₁(t)²1/(2·λ)41/33·R₁(t) - 3·R₁(t)² + R₁(t)³11/(6·λ)52/33·R₁(t)² - 2·R₁(t)³5/(6·λ)63/3R₁(t)³1/(3·λ)

*) Pentru s = n se obţin relaţiile pentru o conexiune în serie formată din "n"

elemente, iar pentru s = 1 se obţin relaţiile pentru o conexiune în paralel

formată din "n" elemente.
Notă: În cazul utilizării funcţiei Weibull, relaţiile prezentate vor fi adaptate corespunzător, adică se va considera că , iar

1. Calculul indicatorilor de fiabilitate pentru entităţi alcătuite din elemente reparabile (distribuţe exponenţială)

   1. Pentru un singur element:

Indicatorii de fiabilitate R(t) şi M[T_f] se determină pe baza relaţiilor (3.1) şi (3.2) de la pct. 3.1.1.1.

Probabilitatea de funcţionare neîntreruptă pe intervalul (t, t+t), sau funcţia de fiabilitate pe interval se determină din relaţia:

(3.14)

unde p(t) este probabilitatea ca elementul să fie în funcţiune la momentul t.

Notă: În cazul elementelor reparabile cu funcţionare permanentă,
care pentru t  poate fi aproximată prin: .
În acest caz relaţia (3.14) devine: (3.15)

1. Pentru entităţi alcătuite din elemente care se repară (sau se înlocuiesc) în urma unui defect se procedează astfel:

A. Pentru situaţia în care este necesar un grad ridicat de exactitate, calculul funcţiei de fiabilitate R(t) se realizează prin utilizarea metodei bazată pe procese Markov (§3.2.1.). Considerând stările de insucces (defect) ale instalaţiei ca fiind absorbante (nu există treceri din aceste stări în stările de succes), funcţia de fiabilitate R(t) este suma probabilităţilor de succes obţinute prin rezolvarea sistemului de ecuaţii diferenţiale (3.16) asociat procesului Markov prin care se modelează funcţionarea instalaţiei analizate.

B. Pentru situaţia în care analiza de fiabilitate nu necesită un grad de exactitate deosebit se procedează astfel:

1. 
   se determină parametrii de fiabilitate echivalenţi λ_e, μ_e pentru instalaţia analizată, utilizând unul din procedeele descrise la §3.2.;
   
2. 
   se determină indicatorii de fiabilitate R(t), M[T_f] şi R(t, t+T) cu ajutorul relaţiilor de calcul (3.1),(3.2),(3.3) şi (3.15) în care: λ = λ_e şi μ = μ_e.
   

1. Exemple de calcul

   1. Exemplul 1.

Fie o schemă de alimentare a unor consumatori de curent continuu formată din două instalaţii de redresare (considerate nereparabile) dimensionate, fiecare, pentru preluarea întregului consum (fig. 3.3.a).

Să se determine probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere a alimentării într-un interval de timp (0,t) pentru t = 100 h şi durata medie până la defect (întreruperea alimentării în curent continuu).

Întreruperea alimentării se va studia pentru fiecare din cele două moduri de defectare ale instalaţiilor de redresare:

1. 
   defect tip "întrerupere" pentru care intensitatea de defectare este: λ_i = 0,18·10^-4 h^-1;
   
2. 
   defect tip "scurtcircuit" pentru care intensitatea de defectare este: λ_sc = 0,228·10^-4 h^-1.
   

Rezolvare:

a) Se consideră modul de defectare tip "întrerupere".

Schema de calcul (diagrama bloc) în raport cu acest mod de defectare este o conexiune în paralel (a se vedea fig. 3.3.b), întreruperea alimentării consumatorilor producându-se la defectarea ambelor instalaţii de redresare.

Funcţia de fiabilitate (probabilitatea funcţionării neîntrerupte) pe intervalul (0,t) pentru o conexiune în paralel este, conform relaţiei 3.5:

Înlocuind valorile lui “t” şi “λ_i” se obţine:

R₁(100) = 0,999994
- Probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere a alimentării datorită defectelor de tip "întrerupere" pe intervalul de timp (0,t) este:

r₁ = 1-R₁(100) = 6·10^-6

- Durata medie de funcţionare neîntreruptă se obţine din relaţia 3.2:


b) Se consideră modul de defectare de tip "scurtcircuit".

Schema de calcul (diagrama bloc) în raport cu acest mod de defectare este o conexiune în serie (a se vedea fig. 3.3.c), întreruperea alimentării consumatorilor producându-se la defectarea a cel puţin uneia din cele două instalaţii de redresare.

Conform relaţiei 3.4 probabilitatea de funcţionare neîntreruptă pe intervalul (0,t) pentru o conexiune în serie este:

Pentru t=100 h şi λ_sc = 0,228·10^-4 h^-1 se obţine:

- Probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere a alimentării datorită defectelor de tip "scurtcircuit" pe intervalul de timp (0,t) este:



- Durata medie de funcţionare neîntreruptă se calculează conform relaţiei 3.2.

Dacă se consideră ambele moduri de defectare, probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere a alimentării consumatorilor datorită defectelor de tip "întrerupere" sau "scurtcircuit" este:

1. Exemplul 2

Un consumator de energie electrică care nu permite întreruperi de durată poate fi alimentat prin una din schemele din fig. 3.4. a, b şi c, astfel:

1. 
   de la două surse S₁ şi S₂ care asigură fiecare în întregime consumul necesar în punctul "R";
   
2. 
   de la două surse S₁ şi S₂ care asigură fiecare 50% din consumul necesar în punctul "R";
   
3. 
   de la o singură sursă S₁ care asigură întregul consum din punctul "R".
   

Pentru cele trei posibilităţi de alimentare prezentate în fig. 3.4. a, b şi c, se cere să se determine probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere în alimentarea consumatorului într-un interval de timp (0,t) pentru t = 24 h.

.

Intensităţile de defectare pentru componentele schemei au următoarele valori:

- pentru sursele de alimentare S₁,S₂:

λ_S1 = λ_S2 = λ = 0,001 h^-1

- pentru linia electrică în cablu "LEC" (de 1,2 km):

λ_c = 0,0002·1,2 = 0,00024 h^-1
Rezolvare:

a) Pentru varianta a de alimentare, schema de calcul (diagrama bloc) este prezentată în fig. 3.4.d (conexiune mixtă).

Funcţia de fiabilitate pe intervalul (0,t) se calculează utilizând relaţiile 3.4 şi 3.5 sau 3.8:

R(t) = R_p(t)·R_c(t)

în care:

R_p(t) – funcţia de fiabilitate pentru cele două surse conectate în paralel;

R_c(t) - funcţia de fiabilitate pentru linia electrică în cablu.

Din relaţia 3.5 se obţine pentru cele două surse în paralel:

Rezultă:

Înlocuind valorile lui “t” şi ale intensităţilor de defectare se obţine:

R(24) = 0,993697

- Probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere în alimentarea consumatorului în intervalul de timp (0,t) pentru t=24 h este:

r = 1 - R(24) = 0,006303

b. Pentru varianta b de alimentare, schema de calcul (diagrama bloc) este prezentată în fig. 3.4.e (conexiune în serie).

- Funcţia de fiabilitate se calculează conform relaţiei 3.4.

Înlocuind valorile lui “t” şi ale intensităţilor de defectare se obţine:

R(24) = 0,9476596

- Probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere a alimentării consumatorului în intervalul de timp t = 24 h este:

r = 1 - R(24) = 0,0523404
c. Pentru varianta c de alimentare schema de calcul (diagrama bloc) este prezentată în fig.3.4.f (conexiune în serie).

- Funcţia de fiabilitate se calculează utilizând relaţia 3.4 corespunzătoare conexiunilor de tip serie:

Înlocuind valorile lui “t” şi ale intensităţilor de defectare se obţine:

R(24) = 0,9706786
- Probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere a alimentării consumatorului în intervalul de timp t = 24 h este:

r = 1 - 0,9706786 = 0,0293214
Rezultatele obţinute pentru probabilitatea de a se produce cel puţin o întrerupere a alimentării consumatorilor în cele trei variante de scheme sunt centralizate în tabelul 3.2.
Tabelul 3.2

VariantaProbabilitatea de întrerupere a alimentăriiA0,006303B0,0523404C0,0293214

1. Exemplul 3

Fie o schemă de alimentare a unor consumatori, pentru care diagrama bloc se prezintă ca în fig.3.5 (schemă tip "punte" - S).

Să se determine probabilitatea de funcţionare neîntreruptă pe intervalul de timp (0,t), pentru

t =200 ore.

Intensităţile de defectare ale elementelor componente au următoarele valori:

λ₁ = λ₄ = 2,8·10^-4 h^-1

λ₃ = 10^-4 h^-1

λ₂ = λ₅ = 0,78·10^-4 h^-1

Rezolvare:
Întrucât diagrama bloc nu se poate reprezenta prin conexiuni elementare (serie, paralel) fără repetarea unor elemente, în acest caz se poate utiliza metoda de descompunere sau teorema probabilităţii totale (a se vedea pct. 3.1.1.2.B), considerând ca sistem complet de evenimente următoarele două evenimente:

A₁ - elementul 3 funcţionează;

A₂ - elementul 3 defect,

ale căror probabilităţi de realizare sunt R₃(t), respectiv 1-R₃(t).

Conform relaţiei 3.12 funcţia de fiabilitate pentru schema "S" din fig.3.4 este:

unde "S₁" şi "S₂" sunt conexiunile mixte (paralel-serie şi serie-paralel) din fig.3.4, în care se descompune schema iniţială "S" în condiţiile realizării evenimentului A1, respectiv A2.

Pentru conexiunile "S1"şi "S2" funcţia de fiabilitate se obţine cu ajutorul relaţiilor 3.8, respectiv 3.7:



Întrucât λ₁ = λ₄ şi λ₂ = λ₅ rezultă:

Rezultă:

1. Exemplul 4

Se cere:

1. 
   Să se determine probabilitatea de funcţionare fără defect pe t = 0,5 ani a unei entităţi pentru care modelarea se face cu ajutorul unei funcţii Weibull cu condiţia că în intervalul de funcţionare [0,t] nu s-a înregistrat nici un defect.
   Parametrii de fiabilitate ale entităţii care prezintă o distribuţie Weibull (rata de defect crescătoare) sunt: a = 2 ; b = 2 ; t = 1 an.
   Conform punctului 3.1.1.1 c:
   
   
   
   
2. 
   Să se determine durata y pe parcursul căreia se poate obţine funcţionarea în continuare, după o funcţionare fără defect un interval [0,y], cu condiţia ca valoarea probabilităţii de defect admisă iniţial pentru o durată planificată t să nu fie depăşită. Se vor considera parametrii b = 1 (funcţia exponenţială) şi b = 2 (funcţia Weibull)
   Rezolvare:
   R (y,y+y)  R(t) deci:
   din care se obţine:
   
   
   
   
   
   Pentru b = 1:
   Pentru b = 2:
   Dacă t = 1, y = 0,6 şi pentru b = 2
   
   iar pentru b1 : y =1 an
   
   
   

1.