6. Măsurarea puterii şi energiei electrice Măsurarea puterii in circuite de curent continuu

6. Măsurarea puterii şi energiei electrice

6.1. Măsurarea puterii in circuite de curent continuu
Puterea absorbită de un receptor, conectat intr-un circuit de curent continuu, se defineşte ca produsul între tensiunea la bornele sale, U_R si curentul pe care îl absoarbe de la sursa de alimentare, I_R :

P_R = U_RI_R. (6.1)

Puterea debitată de un generator se defineşte ca produs între tensiunea la bornele sale U_G şi curentul debitat I_G :

P_G = U_GI_G. (6.2)

Din definiţiile puterilor absorbită de un receptor (consumator) şi debitată de un generator (sursă), rezultă metodele de măsurare a puterii in curent continuu :

1. 
   metoda indirectă a ampermetrului şi a voltmetrului;
   
2. 
   metoda directă a wattmetrului.
   

6.1.1. Măsurarea puterii electrice prin metoda indirectă cu ajutorul ampermetrului şi a voltmetrului
Pentru măsurarea puterii consumată de receptor sau debitată de sursă, în curent continuu se utilizează două aparate magnetoelectrice: un ampermetru şi un voltmetru. După modul de montare a voltmetrului faţă de ampermetru se disting: montajul amonte (fig. 6.1, a) şi montajul aval (fig. 6.1, b).

Utilizând montajul amonte, distingem:

a) pentru cosumator:

• 
  puterea consumată:
  

P_R = U_RI_R = (U - R_AI)I = UI – R_AI² (6.3)

- eroarea absolută

(6.4)
- eroarea relativă

(6.5)

b
a) b)

) pentru generator:

• 
  puterea debitată
  

(6.6)

• 
  eroarea absolută
  

(6.7)

• 
  eroarea relativă
  

(6.8)

Pentru montajul aval avem:

1. 
   pentru cosumator:
   

• 
  puterea consumată
  

(6.9)

• 
  eroarea absolută
  

(6.10)

• 
  eroarea relativă
  

(6.11)

b) pentru generator :

• 
  puterea debitată
  

( 6.12)

• 
  eroarea absolută
  

(6.13)

• 
  eroarea relativă
  

(6.14)

Notând cu U si I indicaţiile voltmetrului şi ampermetrului, dacă se calculează puterea (absorbită sau debitată) cu relaţia :

(6.15)

se face o eroare sistematică de metodă ce trebuie corectată.

Expresiile corecte ale puterilor se stabilesc ţinând seama de consumurile aparatelor de măsurat (se cunosc: R_A – rezistenţa internă a ampermetrului şi R_V – rezistenţa internă a voltmetrului).

Observaţii

1. 
   Se constată ca puterea consumată de receptor P_R şi puterea debitată de generator P_G (relaţiile 6.3, 6.6, 6.9, 6.12 ) sunt date de produsul indicaţiilor ampermetrului şi voltmetrului , din care se scad sau
   

se adună puterile consumate de aparatele de măsurat (p_A = R_AI² şi p_V =). În general, aceste consumuri fiind mici, de ordinul a 0,5-5 W, într-o primă aproximaţie se pot neglija, şi puterea se calculează cu relaţia P_m = UI .

2) Eroarea relativă de metodă la măsurarea puterii consumate de receptor P_R în montaj amonte (6.3) este cu atât mai mică cu cât căderea de tensiune pe ampermetru este mai mică decât căderea de tensiune pe receptorul R ; montajul este adecvat pentru măsurarea receptoarelor cu consum mare de putere, deci a puterilor mari.

3) Eroarea relativă de metodă la măsurarea puterii consumate de receptor P_R in montajul aval (6.9) este cu atât mai mică cu cât curentul prin voltmetru I_V este mai mic decât curentul I , din circuit , deci cu cât rezistenta R_V este mai mare decât rezistenta R; montajul este adecvat pentru măsurarea consumului de putere al receptoarelor cu rezistenţă mică, deci a puterilor mici.

4) Indiferent de modul de conectare a aparatelor, între puterile: P_G – generată de sursă , P_R – consumată de receptor şi puterea absorbită de aparate p_A şi p_V , există relaţia:

P_G =P_R + p_A + p_V. (6.15^’)

6.2. Măsurarea puterii şi energiei în c.a. monofazat
Măsurarea puterii (P) şi energiei (W) în c.a. monofazat (50 Hz) prezintă interes la testarea blocurilor de alimentare din echipamentele electronice, a aparaturii electrocasnice, precum şi la măsurarea consumului de energie în locuinţe. Cum energia (W) este putere integrată în timp, în cele ce urmează se va pune accentul pe acesta din urmă.
6.2.1. Măsurarea puterii în c.a. monofazat
6.2.1.1. Definirea puterilor în c.a. monofazat

Presupunând un dipol electric având la borne aplicată tensiunea u(t) şi fiind parcurs de curentul i(t), valori instantanee, puterea instantanee în c.a. monofazat se defineşte cu relaţia:

p(t) = u(t)·i(t) . (6.16)

Puterea instantanee este primită sau cedată, după cum sensurile tensiunii la borne u şi curentului i se asociază după regula de la receptoare sau de la generatoare.

Expresiile puterilor diferă după regimul de lucru: sinusoidal sau nesinusoidal.

a) în regim sinusoidal

În cazul când tensiunea (u) este sinusoidală (fig.6.2), iar curentul (i) se închide pe un circuit liniar (inductiv, de exemplu) expresiile lui u şi i au formele:

; (6.17)

şi ca urmare relaţia (6.16) devine :

(6.18)

relaţie în care U şi I sunt valori efective ale lui u şi i, este defazajul dintre U şi I (fig.6.1, b), iar:

(6.19)

este pulsaţia, în care f reprezintă frecvenţa comună a lui u şi i. La rândul lor valorile efective ale lui u şi i sunt definite cu relaţiile:

; (6.20)



Fig.6.2 a) Tensiunea sinusoidală (u) şi curentul (i) pe un circuit liniar

b) diagrama fazorială corespunzătoare; c) triunghiul puterilor
Mărimea:

[W] (6.21)

din relaţia (6.18) reprezintă puterea activă,

[VA] (6.22)

este puterea aparentă, iar:

(6.23)

reprezintă factorul de putere, mărime care în limbajul tehnologic se mai numeşte şi "cos de fi" şi se măsoară cu cos-metrul.

Observaţii:

1. La expresia (6.21) se poate ajunge şi pe calea integrării lui p(t) pe o perioadă (T) adică:

(6.24)

ceea ce arată că puterea activă reprezintă puterea medie pe o perioadă.

2. Cum poate lua valori în intervalul , rezultă că puterea activă poate fi afectată de semn; convenţional, se consideră că P este pozitivă când merge spre receptor (cazul cel mai frecvent) şi negativă, când merge spre generator.

3. Valoarea medie pe o perioadă a termenului din (6.18) este nulă, iar valoarea maximă a acesteia:

[VAR] (6.25)

este denumită putere reactivă şi se măsoară în VAR.

4. Din asocierea lui (6.21) cu (6.25) rezultă:

(6.26)

expresie ce arată că, puterile activă, reactivă şi aparentă în sinusoidal nu sunt independente. Reprezentarea grafică a dependenţei respective (fig.6.2, c) se numeşte triunghiul puterilor în sinusoidal.

b) în regim nesinusoidal

În acest caz, u şi i pot avea atât componente de c.c. (U₀, I₀) precum şi armonici (U_k, I_k) cu diverse frecvenţe (f₁,...f_k). Ori puterea activă se poate defini numai pentru componente (U_k, I_k ) de aceeaşi frecvenţă şi ca urmare, puterea activă la semnale periodice nesinusoidale poate fi definită cu relaţia:

. (6.27)

Această relaţie atrage atenţia asupra erorilor ce pot apărea la măsurarea puterii în nesinusoidal, cu wattmetrul conectat prin transformator de tensiune şi transformator de curent deoarece acestea blochează componentele U₀ şi I₀.

Asemănător, se poate scrie şi expresia puterii reactive:

. (6.28)

În fine, în acelaşi mod se ajunge şi la puterea aparentă:

. (6.29)
6.2.1.2. Măsurarea puterii active în circuite monofazate cu wattmetre electrodinamice şi ferodinamice.

Se pot utiliza atât wattmetre electrodinamice (de laborator) cât şi wattmetre ferodinamice (de tablou). În ambele cazuri pot apărea erori de metodă, din cauza consumului propriu pe bobina amper sau pe bobina volt. Bobina volt poate fi conectată în amonte (fig.6.3, a) sau în aval (fig.6.3, b), faţă de bobina amper.

În conexiunea amonte, wattmetrul măsoară atât puterea P la consumator Z() cât şi puterea R_AI² consumată pe bobina amper, adică puterea indicată de wattmetru P_m este:

P_m = P + R_AI² (6.30)

deoarece bobina volt măsoară tensiunea la bornele lui Z() în serie cu rezistenţa bobinei amper (R_A).


Fig.6.3 Conectarea bobinei volt a wattmetrului:

a) în amonte; b) în aval

În conexiunea aval, wattmetrul arată:

(6.31)

adică măsoară în plus, puterea consumată pe circuitul bobinei volt (cu rezistenţa R_v), deoarece bobina amper măsoară atât curentul din sarcină (I) cât şi curentul absorbit de circuitul volt (curent relativ important).

În prezent, wattmetrele electrodinamice (mai ales cele de laborator sunt prevăzute cu circuite de corecţie axate mai ales pe compensarea lui U²/R_V care, de regulă, e mult mai mare decât R_AI². Însă, din relaţiile (6.30) şi (6.31) se pot trage concluzii utile la elaborarea wattmetrelor electronice, în sensul că rezistenţa blocului de achiziţie a informaţiei de curent (R_A) trebuie să fie cât mai mică (m), iar cea a blocului de achiziţie a informaţiei de tensiune (tipic un divizor de tensiune) să fie cât mai mare (M) faţă de Z(), condiţii care la multiplicatoarele electronice pot fi îndeplinite mult mai uşor şi mai simplu decât la "multiplicatorul" electrodinamic.

6.2.2. Măsurarea energiei în c.a. monofazat
Problema prezintă importanţă mai ales în legătură cu consumul casnic.

Energia electrică (W) se defineşte drept integrala puterii în timp, adică:

(6.32)

relaţie în care t₁ este durata măsurării.

Ca şi la putere se definesc două tipuri de energie măsurabile:

- energia activă:

(6.33)

- energia reactivă:

(6.34)

expresii în care P şi Q au semnificaţiile din (6.21) şi respectiv (6.25). În practică, măsurarea lui W_r prezintă importanţă mai mare în trifazat şi de aceea nu va fi abordată aici.

Măsurarea energiei active (W) cu contorul de inducţie. Acest tip de contor este robust, sigur în exploatare, însă are o precizie scăzută (2 % în sinusoidal şi 5 - 10 % în regim deformant), ceea ce provoacă mari neajunsuri la facturarea energiei.

Schema tehnologică standard pentru montarea contorului monofazat cu inducţie este prezentată în fig.6.4. Din cauza preciziei scăzute şi mai ales a faptului că nu poate fi integrat într-un sistem de măsurare automat, în ultimul timp (mai ales după 1980 - '85) contorul cu inducţie a pierdut teren în favoarea contorului electronic, mai precis şi mult mai versatil în privinţa tarifării energiei măsurate.

6.3. Wattmetre şi contoare electronice pentru monofazat
După cum rezultă din (6.16) şi (6.18) un wattmetru trebuie să dispună de un multiplicator, pentru efectuarea produsului u(t)i(t) şi de un filtru trece-jos (FTJ), pentru eliminarea componentei. La wattmetrul electrodinamic ambele operaţii sunt efectuate de către mecanismul de măsură al aparatului respectiv, însă la wattmetrele electronice, operaţiile respective trebuie efectuate separat, adică după multiplicator trebuie să urmeze un FTJ. După principiul de măsurare, wattmetrele electronice pot fi: cu multiplicator sau pot fi bazate pe calculul numeric (P) al puterii de măsurat şi adesea sunt asociate şi cu o funcţionalitate de contor pentru măsurarea energiei (mai exact acestea sunt contoare ce au şi ieşire de wattmetru).
6.3.1. Wattmetre şi contoare cu multiplicator electronic
Schema de principiu a unui astfel de aparat este prezentată în fig. 6.5. Se observă că este alcătuit dintr-un wattmetru şi o secţiune de contor; aceasta din urmă cuprinde un convertor tensiune frecvenţă şi un numărător. Secţiunea wattmetru are la bază un multiplicator electronic, problemă ce constituie obiectul paragrafului următor.



6.3.1.2. Multiplicatoare electronice

După principiul de funcţionare acestea se clasifică în: multiplicatoare cu transconductanţă variabilă, log-antilog şi cu modulare de impulsuri [21]. Pentru simplificare, acestea le vom numi multiplicatoare clasice.

a) Multiplicatoare electronice clasice

Schema bloc simplificată a unui multiplicator electronic este prezentată în fig. 6.6, a, iar ecuaţia de funcţionare este de forma:

, (6.35)

unde K este factorul de scară, U_x şi U_y – tensiunile de intrare, iar U₀ – tensiunea (continuă) de ieşire. Dacă tensiunile U_x şi U_y pot fi atât pozitive cât şi negative (cum e în sinusoidal), dispozitivul se numeşte multiplicator în patru cadrane, iar dacă numai una singură poate fi pozitivă sau negativă, atunci multiplicatorul este în două cadrane. Multiplicatoarele produse în prezent sunt după tipul în patru cadrane şi permit şi divizarea, adică funcţionează după o ecuaţie de forma:

(6.36)

După modul cum efectuează operaţiile de multiplicare/divizare, multiplicatoarele clasice pot fi cu transconductanţă variabilă sau de tip log-antilog. Indiferent de tip, principalii parametri ai unui multiplicator sunt: tensiunile nominale U_xn, U_yn şi U_0n, precizia şi banda de frecvenţă (limita superioară f₂).

Exemple de multiplicatoare clasice:

1. Multiplicatorul cu transconductanţă variabilă XR-2208 al firmei Exarh
Are următorii parametri:

• 
  ;
  

• 
  precizie % c.s., în funcţie de componentele exterioare;
  

• 
  f₂10MHz.
  

2. Multiplicator log - antilog, circuitul integrat BB 4302 al firmei Burr-Brown
Are următorii parametri:

• 
  0x, U_y, U.<1OV, U₀<10V;
  
• 
  precizie 0,5 % c.s. (precizie de bază 0,25 %, derivă 0,25 %);
  
• 
  f₂ = 0,1-1MHz.
  

Fig.6.6 Multiplicatoare electronice: a) simple; b) cu divizor

Observaţie:

Principalul avantaj al multiplicatoarelor cu transconductanţă variabilă sau de tip log - antilog constă în posibilitatea lucrului la frecvenţe ridicate (MHz), însă la măsurarea puterilor, ambele prezintă un neajuns important: erori suplimentare la funcţionarea în regim nesinusoidal. Acest lucru se poate observa examinând expresia (6.27). La ieşirea din filtrul trece-jos (FTJ), circuit care urmează după multiplicator (fig.6.9) se obţine numai puterea corespunzătoare fundamentalei şi componentei U₀I₀, ceea ce duce la o eroare importantă (5-10 % şi chiar mai mare). De aceea, astfel de multiplicatoare se folosesc tot mai rar, în prezent, la măsurări în electroenergetică (domeniu în care regimul nesinusoidal se întâlneşte frecvent), locul lor fiind luat de către multiplicatoarele bazate pe modulare, dispozitiv la care răspunsul (U₀) este independent de forma curbei tensiunii şi curentului de la intrare.

b) Multiplicatoare bazate pe modulare de impulsuri în amplitudine si durată

Multiplicatoarele cu modulare de impulsuri în amplitudine şi durată (MAD) sunt mai precise (nu sunt influenţate de forma undelor lui U şi I) şi, în plus, pot fi realizate cu circuite numerice standard: porţi, comparatoare, etc. De aceea au luat aproape complet locul celor clasice, mai ales în instrumentaţia din electroenergetică.

Principiul multiplicării prin modulare

Multiplicatoarele MAD se bazează pe modularea în amplitudine (U_D) şi durată () a unei tensiuni dreptunghiulare u_d (t), tensiune a cărei frecvenţă (F) trebuie să fie mult mai mare decât frecvenţa tensiunilor de multiplicat (f):

(6.37)

pentru ca pe durata modulării unui impuls (T₀), tensiunile de multiplicat u_x(t) şi u_y(t) să poată fi considerate constante în amplitudine. În terminologia multiplicatoarelor MAD, tensiunea u_d(t) se mai numeşte şi purtătoare, prin analogie cu semnalele purtătoare (MA, MF) din radiocomunicaţii.

Modularea în amplitudine se face cu un circuit ca în fig.6.7, a unde SW este un comutator electronic de tip multiplexor, iar T₀ perioada semnalului de comandă a acestuia.

Modularea în durată se face cu ajutorul unei tensiuni triunghiulare e(t) cu frecvenţa dată de relaţia (6.37), pe un principiu similar ca la CAN-ul tip tensiune-timp.Când multiplicatorul este utilizat la măsurarea puterii şi energiei la 50 Hz, modularea în durată se face cu semnalul de tensiune (deoarece variază în limite mai reduse), iar modularea în amplitudine se face cu semnalul de curent (fig.6.9), care variază în limite foarte largi.




Fig.6.7 Circuit de modulare în amplitudine: a) schemă; b) semnal obţinut
Schema funcţională: Dată fiind superioritatea acestui tip de multiplicator, sub raportul performanţe/cost, faţă de cele clasice au fost elaborate mai multe scheme; una dintre acestea este prezentată în fig.6.8, a. Se observă că modularea în durată a impulsurilor u_D(t) se face prin compararea lui u_x cu o tensiune triunghiulară, e(t), de frecvenţă F = 1/T₀, aşa cum se arată în fig.6.8, b.

Ecuaţia de funcţionare: Amplitudinea impulsurilor dreptunghiulare (de perioadă T₀) modulate (fig.6.8, c) este egală cu u_y, iar durata acestora este . Din diagramă rezultă că şi că (triunghiurile asemenea: abc şi ab'c’), ceea ce duce la expresia:

(6.38)

Valoarea medie pe o perioadă (T₀) a tensiunii u_D(t) este calculabilă cu relaţia:

(6.39) care este de aceeaşi formă ca şi (6.35). Circuitul integrator, simultan cu extragerea lui U_med din u_D(t) poate elimina şi componenta alternativă din (6.18) şi deci poate oferi la ieşire o tensiune (U₀) proporţională cu P. La ieşirea din multiplicator (care coincide cu ieşirea din integrator) se mai introduce un filtru trece-jos (FTJ) ca în fig.6.9.


U_m= Ku_xu_y


Fig. 6.8 Multiplicator cu modulare de impulsuri: a) schemă;

b),c) diagrame de funcţionare
Performanţe: Precizia este foarte bună: 0,01 - 0,2 % (în funcţie de calitatea componentelor externe), însă frecvenţa tensiunilor de multiplicat (f) este coborâtă: 100 Hz - 10 kHz (mai rar 100 - 200 kHz), din cauza condiţiei (6.37).

Exemplu de realizare: Multiplicatorul BB 4031/25 are următoarele performanţe: precizie de bază: , frecvenţă de lucru: 100 - 800 Hz, tensiuni de intrare şi ieşire: 0 - 10 V, tensiune de alimentare: .
6.3.1.3. Un wattmetru şi contor monofazat cu multiplicator electronic

Schema de alcătuire a acestuia este prezentată în figura 6.9. Se observă că e similară cu cea din figura 6.5, adică are o secţiune wattmetru şi una contor.

a) Secţiunea wattmetru

Aceasta are la bază un multiplicator electronic (ME) de tip MAD, sau clasic. Semnalul de tensiune (u_x) este adus la intrarea ME printr-un divizor de tensiune al cărui raport R₂/(R₁+R₂) este ales astfel încât tensiunea:

; (6.40)

să fie în acord cu tensiunea de intrare (tipic 10 V) la ME. În (6.40), A reprezintă amplificarea amplificatorului de izolaţie (A_iz) ce are rolul de a izola galvanic pe ME faţă de reţeaua de 220 V. Curentul (I) care străbate sarcina Z() este convertit într-o tensiune:cu ajutorul unei rezistenţe de precizie (R_A =1-10 mΩ) aleasă astfel încât U_y să fie în acord cu intrarea ME. În cazul unor curenţi mari (I 50 - 100 A) în locul şuntului R_A se utilizează un transformator de curent .