Marco Luersen Centre Fédéral d’Education Technologique du Paraná

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tarix28.08.2018
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Un algorithme de Nelder-Mead globalisé et borné pour les problèmes de l'ingénieur : GBNM

  • Marco Luersen

  • - Centre Fédéral d’Education Technologique du Paraná

  • CEFET-PR - Brésil

  • - Doctorant au Lab. de Mécanique – INSA de Rouen

  • Rodolphe Le Riche

  • – CNRS URA 1884 et SMS, Ecole des Mines de Saint Etienne


Motivation

  • Caractéristiques des problèmes d’optimisation en conception mécanique :

  • plusieurs optima locaux

  • variables bornées

  • calcul de sensibilités souvent laborieux, coûteux où n’existent pas

  • temps de calcul limité à quelques milliers d’analyses de la fonction coût

  •  optimisation globale souhaitée, mais sa faisabilité est incertaine.



La méthode de Nelder-Mead classique

  • Proposée par Nelder & Mead (1965)

  • (variables continues)

  • Méthode d’ordre zéro : ne requiert pas le calcul du gradient

  • Méthode rapide, relativement aux méthodes d’ordre zéro

  • Méthode locale



La méthode de Nelder-Mead classique (2)

  • Basée sur la comparaison des valeurs de la fonction aux (n+1) sommets d’un simplexe

  • Le minimum est cherché en modifiant le simplexe à travers des opérations : réflexion, réflexion/expansion et contractions



La méthode de Nelder-Mead classique (3)

  • Inconvénients :

  • S’applique à des problèmes sans bornes

  • Dégénérescence du simplexe (perte d’une dimension), est un cas d’échec de la méthode

  • Méthode locale : s’arrête quand un minimum local est trouvé



Amélioration de la méthode de Nelder-Mead

  • Prise en compte des bornes

  • Détection des simplexes dégénérés et ré-initialisation

  • Test d’optimalité sur les bornes



Prise en compte des bornes

  • Prise en compte de bornes par projection :



Dégénérescence (2)

  • Critères :



Test d’optimalité sur les bornes

  • Ex. : Fonction test de Rosenbrock bidimensionnel



Test d’optimalité sur les bornes (2)



Test d’optimalité sur les bornes (3)

  • les conditions de Kuhn et Tucker ne sont pas applicables : fonctions pas dérivables

  • conditions de point-col numériquement non vérifiables

  • test d’optimalité : une recherche locale, avec un «petit» simplexe initial

  • on considère que le simplexe initial est plus petit que le bassin d’attraction

  • coût : pour la fonction de Rosenbrock : ~20% (ça marche toujours !)



Globalisation : recherche du minimum global

  • Point de vue Ré-initialisation : GBNM Évolutionnaire :



Globalisation par ré-initialisation probabilisée

  • chaque fois q’un minimum local est trouvé il est enregistré

  • le prochain point initial est choisit de tel sorte à ne pas échantillonner des régions déjà connues : visiter différents bassins d’attraction, sans connaître le nombre de redémarrages à priori

  • travail à coût fixé

  • redémarrage avec une caractéristique aléatoire-biaisée



Estimation de la probabilité de ne pas avoir échantillonné un point (x)



Estimation de la probabilité de ne pas avoir échantillonné un point (x) (2)



Ré-initialisation probabilisée

  • pour le calcul de la probabilité pi , on ne garde comme xi que les points initiaux

  • maximisation de par tirage aléatoire de nb_random_points : parmi nb_random_points aléatoires, trouver celui qui a la plus haute probabilité de n’avoir pas été échantillonné auparavant



Ré-initialisation probabilisée (2)

  • si nb_random_points=1 : aléatoire

  • si nb_random_points=grand : motif régulier

  • (si on connaît le nb. de redémarrages  grille)

  • si nb_random_points petit, > 1 (3 à 10) : aléatoire/biaisée



Articulation de :

  • Articulation de :

  • 3 tests de convergence :

  • Small

  • Flat

  • Degenerated

  • 3 formes de ré-initialisation :

  • Probabilistic

  • Large Test

  • Small Test



Caractéristiques des recherches locales : vitesse, précision  Nelder-Mead

  • Caractéristiques des recherches locales : vitesse, précision  Nelder-Mead

  • Amélioration de la méthode de N-M :

    • Prise en compte de bornes par projection
    • Détection et traitement des dégénérescences du simplexe pendant la recherche
    • Test d’optimalité sur les bornes
  • Globalisée par ré-initialisation  stratégie hybride en série : local-global



Applications : Fonctions tests multi-modales bidimensionnelles (3)



Fonctions tests multi-modales bidimensionnelles (4)

  •  



Fonction test de Griewank (n = 12) (fonction très multi-modale)



Fonction test de Griewank (n = 12)



Prise en compte des contraintes par pénalisation linéaire adaptative

  • f(x) est modifiée par pénalisation :



Prise en compte des contraintes par pénalisation adaptative (2)



Prise en compte des contraintes par pénalisation adaptative (3)

  • Interprétation de la pénalisation adaptative linéaire :

  • Un Lagrangien généralisé, qui possède un point-col plus souvent que les Lagrangiens ordinaires ;

  • Mise à jour des : un gradient à pas fixe pour maximiser la fonction duale, calcul du gradient approché ;

  • Convergence possible pour des finis (contrairement aux pénalisations quadratiques).



Applications aux composites



Applications aux composites

  • Maximisation du module d’élasticité Ex  min (1 – Ex/Ex_ref)

  • plaque composite symétrique et équilibrée à 16 couches

  • 4 variables : les orientations des fibres :

  • matériau : verre-époxyde

  • contraintes :

  • utilisation de la théorie classique des stratifiés (CLT)



Maximisation de Ex : plaque composite stratifiée

  • Paramètres stabilisés de pénalisation :



Maximisation de Ex : plaque composite stratifiée (2)



Maximisation de la charge critique de flambement

  • plaque rectangulaire simplement supportée

  • 48 couches,

  • symétrique et équilibré,

  • chargement de membrane : Nx et Ny

  • matériau : carbone-époxyde



Maximisation de la charge critique de flambement (2)

  • contraintes :

  • - critère de rupture de Hoffman

  • - coef. de dilatation thermique :

  • théorie classique des stratifiés et flambement linéaire



Maximisation de charge critique de flambement 48 couches : 12 variables



Conclusions

  • GBNM : un algorithme pratique pour les problèmes de l’ingénieur :

  • travail à coût fixé : nombre d’analyses défini a priori ;

  • globalisation par ré-initialisation probabilisées, pour ne pas échantillonner des régions déjà connues, sans connaître le nombre de redémarrages à priori ;

  • Nelder-Mead amélioré pour les recherches locales :

      • méthode d’ordre zéro, locale et sans bornes  vitesse, précision ;
      • détection et ré-initialisation en cas de dégénérescence ;
      • prise en compte des bornes par projection et des contraintes par pénalisation adaptative ;
      • test d’optimalité, sur les bornes.


Conclusions (2)

  • La stratégie la plus robuste de ré-initialisation probabilisée est un compromis entre ré-initialisation aléatoire et ré-initialisation à intervalles réguliers ;

  • Pour les problèmes de taille moyenne à bas coût, la méthode GBNM a une plus haute précision que les algorithmes évolutionnaires ;

  • La globalisation par ré-initialisation probabilisée n'est pas restrictive à l’algorithme de Nelder-Mead. Elle peut être appliquée à d’autres optimiseurs locaux.




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