7-amaliy mashg’ulot originalni tasvir bo’yicha tiklash usullari

---

1 
7-AMALIY MASHG’ULOT 
Originalni tasvir bo’yicha tiklash usullari 
 
Originalni tasvir yordamida tiklash. 
O’tgan mavzuda uzluksiz elementar funksiyalarning tasvirlari har doim 
to’g’ri ratsional kasrlar bo’lishi ta’kidlab o’tilgan edi. Aksincha tasdiq ham 
o’rinli, ya’ni to’g’ri ratsional kasrlarning originali har doim uzluksiz elementar 
funksiyalar bo’ladi. Byunday hollarda to’g’ri ratsional kasrni sodda kasrlarga 
yoyib, so’ngra ana shu sodda kasrlarning originallarini jadval bo’yicha topiladi. 
Bu originalni topishning universal usuli deb ataladi. 
Ayrim hollarda o’tgan mavzuda qaralgan operatsion hisobning 
xossalaridan foydalanib hisoblashlarni kamaytirish mumkin. 
1-Misol
. Quyidagi tasvirlarning originalini toping. 
2-Misol.
Quyidagi formula bilan berilgan tasvirning originalini toping 
►Kasrni sodda kasrlarga ajratamiz: 
Navbati bilan maxrajning nollarini qo’yamiz: 
Shunday qilib berilgan ratsional kasr 
 
 

---

2 
Har bir handing originalini tasvirlar jadvalidan topib 
munosabatni hosil qilamiz.◄ 
Umumiy holda, agar tasvir 
ma’lum bo’lsa uning originalini topish 
imkonini beradigan teoremani keltiramiz. 
Teorema. 
(teskari almashtirish) 
bo’lsin. Agar
funksiya 
nuqtada uzluksiz bo’lib, bu nuqtada bir tomonlama chekli hosilalarga ega bo’lsa, u 
holda
bu yerda integral ixtiyoriy 
(
funksiyaning o’sish 
ko’rsatgichi) to’g’ri chiziq bo’ylab olinadi va bosh qiymat ma’nosida olinadi. 
So’ngi formula Laplasning teskari almashtirish formulasi yoki Mellin 
formulasi deyiladi.
Teorema. 
(1-yoyilish teoremasi) 
cheksizlikda analitik bo’lib 
shartni qanoatlantirsin va uning
nuqta atrofidagi Loran qatoriga yoyilmasi 
 
 
ko’rinishda bo’lsin, u holda 
funksiyaning originali
(2) 
formula bilan hisoblanadi. 
Bu yerda qator 
bo’lganda yaqinlashuvchi va 
bo’lganda 
deb qabul qilinadi.
Juda ko’pchilik masalalarda tasvir ikkita ko’phadning nisbati ko’rinishda 
bo’ladi. Bunday hollarda originalni topish uchun amaliy jihatdan qulay usul 
mavjud bo’lib biz bu teoremani keltiramiz. 
Ratsional kasr ko’rinishda berilgan funksiyalarning originalini topish 
Teorema. 
(2-yoyilish teoremasi) Agar
, bu yerda 
va 
umumiy nolga ega bo’lmagan mos ravishda 
va 
darajali 
ko’phadlar, hamda 
bo’lsa, u holda 
[
]
(1) 
bu yerda 
sonlar 
ko’phadning turli nollari, 
esa 
nolning 
karraligi. 
Amaliy masalalarda ratsional kasr ko’rinishda berilgan funksiyalar uchun 
ularni sodda ratsional kasrlarga yoyib, ularning originallarini topish qulay. 
Tasvir yordamida originallarni topishga doir yana misollar qaraymiz.
 
3-Misol
. Quyidagi formula bilan berilgan tasvirning originalini toping

---

3 
►Tasvir funksiyaning qutblari, ya’ni uning maxrajining nollari 
nuqtalardan iborat bo’lib ularning tartibi birga teng. Shuning uchun (1) 
formulaga ko’ra 
funksiyani sodda kasrlarga yoyib ham xuddi shu natijani olish mumkin 
edi. Biz bu usulni ham qarab chiqamiz. Unga noma’lum koffitsientlar usuli deb 
ataladi. 
 
Endi o’ng tomonda turgan ifodaga umumiy maxraj berib, tenglikning ikki 
tomonidagi ifodalar suratlarini tenglashtiramiz 
{
{
Original-tasvir jadvaliga ko’ra
va
Demak 
.◄
 
4-Misol.
Quyidagi funksiyaga mos keluvchi originalni toping 
► Agar (1) formuladan foydalansak, qutblar ikkinchi tartibli bo’lganligi 
uchun murakkab ko’rinishdagi funksiyadan hosila olishga to’g’ri keladi. Shuning 
uchun biz boshqacha yo’l tutamiz, ya’ni funksiyani sodda kasrlarga yoyamiz: 
O’ng tomondagi ifodaning birinchi ikkita qo’shiluvchisi originallari jadvalga 
ko’ra 
va 
funksiyalardan iborat. 
ning originalini topish uchun tasvirlar ko’paytmasi 
formulasidan foydalanamiz. Bizning holimizda 
, 
bo’lib 
ularning ikkalasining ham originallari
funksiyadan iborat. Demak (13) 
formulaga ko’ra 
[ ]
 
[
] |
 
Shunday qilib yuqoridagilarni hisobga olgan holda

---

4 
 
tenglikga ega bo’lamiz.◄ 
5-Misol
. Quyidagi funksiyaning originali toping: 
► Funksiyaning tarkibida 
funksiya qatnashmoqda, demak originalning 
kechikish teoremasidan foydalansak bo’ladi. Bizning holimizda 
Demak kechikish teoremasiga ko’ra 
 
Bu yerda Xevisayd funksiyasining qo’yilishi sababi original 
bo’lganda 
o’rinli.◄ 
6-Misol.
funksiyaning originalini 1-yoyilish teoremasidan 
foydalanib toping. 
►Funksiyani quyidagicha shakl almashtiramiz 
(
)
(
)
 
Bu qator 
| |
da yaqinlashuvchi va 
, demak 1-yoyilish teoremasini 
qo’llab: 
 
tenglikni hosil qilamiz. ◄ 
Misollar. 
Quyidagi tasvirlarning originallarini toping.