A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van
Yüklə 3,22 Mb.
|
Biztosításmatematika 2 2/0/0/f/3Tárgyfelelős: Barabás Béla További oktatók:
Nem élet biztosításon belül vagyon, felelősség, baleset, egészség. b) Egyéni kockázat modellje – Kárösszeg meghatározása, Normális közelítés c) Nevezetes kárszám eloszlások (Poisson, negatív binomiális stb.) d) Nevezetes káreloszlások (Exponenciális, gamma, Pareto, lognormális stb.) e) Összetett kockázat modellje – Panjer-rekurzió, Összetett Poisson eloszlások f) Díjkalkulációs elvek – Klasszikus díjelvek: várhatóérték elve, maximális veszteség elve, kvantilis elv, szórás, ill. szórásnégyzet elve – Átlagos érték elve – Elméleti díjelvek: zéró hasznosság elve, svájci díjkalkulációs elv, veszteségfüggvény elv. g) A díjkalkulációs elvek tulajdonságai (Várható érték túllépése, no-ripoff feltétel, Rendezés megtartás, Homogenitás, additivitás, eltolás invariancia, Iterálhatóság, szubadditivitás) h) Credibility elmélet, Bühlmann modell, Bühlmann–Straub modell, Tapasztalati díjszámítás i) Bónusz rendszerek, Kármentességi díjvisszatérítések, engedmények, Bónusz-málusz rendszer j) Tartalékszámítás, Meg nem szolgált díjak tartaléka, függőkár, IBNR, matematikai tartalék, kifutási háromszög stb. Irodalom: George E. Rejda: Principles of Risk Management and Insurance Arató Miklós: Általános biztosításmatematika. ELTE jegyzet, 2000
Other instructors: Fundamental types of insurance: life and non-life. a) Standard types of non-life insurance, models. b) Individual risk model. Claim calculation and approximations. c) Most important distributions of the number of claim. d) Most important distributions of the claims payments. e) Complex risk model, recursive method of Panjer, compound Poisson distributions. f) Premium principles: - Classical principles: Expected value, maximum loss, quantile, standard deviation, variance. - Theoretical premium principles: zero utilizes, Swiss, loss-function. g) Mathematical properties of premium principles. h) Credibility theory, Bühlmann model. i) Bonus, premium return. j) Reserves, IBNR models.
George E. Rejda: Principles of Risk Management and Insurance Arató Miklós: Általános biztosításmatematika. ELTE jegyzet, 2000
További oktatók: Többdimenziós Centrális Határeloszlás Tétel és alkalmazásai. A statisztikában használt véletlen mátrixok (Wishart-, Wigner-mátrixok) sűrűsége, spektruma és aszimptotikus eloszlása. Sajátértékekre és szinguláris értékekre vonatkozó szeparációs tételek alkalmazása a főkomponens-, faktor-, kanonikus korreláció- és korrespondanciaanalízisben. Faktoranalízis, mint alacsony rangú reprezentáció, reprezentáció és metrikus klaszterező eljárások kapcsolata. Klasszifikációs módszerek: diszkriminanciaanalízis, hierarchikus, k-közép és gráfelméleti módszerek a klaszteranalízisben. Gráfok spektruma és becsülhető paraméterfüggvényei. Algoritmikus modellek, tanulóalgoritmusok. EM-, ACE-algoritmus, Kaplan–Meier-becslések. Újramintavételezési eljárások: bootstrap és jackknife. Adatbányászati alkalmazások, randomizált módszerek nagyméretű problémákra. A többváltozós statisztikai módszerek használatának és angol nevezéktanának elsajátítása egy programcsomag segítségével (SPSS vagy S+), output eredmények alkalmazásorientált elemzése. Irodalom: M. Bolla, A. Krámli: Statisztikai következtetések elmélete, Typotex, Budapest, 2005 K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Többváltozós analízis (angolul), Academic Press, Elsevier Science, 1979, 2003
Other instructors: Multivariate central limit theorem and its applications. Density, spectra and asymptotic distribution of random matrices in multivariate statistics (Wishart-, Wigner-matrices). How to use separation theorems for eigenvalues and singular values in the principal component, factor, and correspondence analysis. Factor analysis as low rank representation, relatios between representations and metric clustering algorithms. Methods of classification: discriminatory analysis, hierarchical, k-means, and graph theoretical methods of cluster analysis. Spectra and testable parameters of graphs. Algorithmic models, statistical learning. EM algorithm, ACE algorithm, Kaplan—Meier estimates. Resampling methods: bootstrap and jackknife. Applications in data mining, randomized methods for large matrices. Mastering the multivariate statistical methods and their nomenclature by means of a program package (SPSS or S+), application oriented interpretation of the output data. References: Bolla, M., Krámli, A.: Theory of statistical inference (in Hungarian), Typotex, Budapest, 2005 Mardia, K. V:, Kent, J. T., Bibby, J. M.: Multivariate Analysis, Academic Press, Elsevier Science, 1979, 2003
További oktatók: Ligeti Zsombor Rövid bevezetés után, a stúdiumok első részében, általánosítjuk a korábban már megismert hagyományos növekedési és konjunktúra-modelleket. Ennek során kitérünk olyan kérdésekre, mint a fejlődés finanszírozása, a humán tőke szerepe, a költségvetési deficit dinamikája, az endogén népességi növekedés, az egészség-gazdaságtan, a megújuló természeti erőforrások. Ezt követi az időinkonzisztencia problémájának a tárgyalása (mind a pénzpolitikában, mind a költségvetési politikában), amely – a különböző várakozások elemzésén keresztül – átvezet dinamikus játékelméleti megközelítésekhez. Ezzel lehetőség nyílik arra, hogy a makrogazdasági jelenségek mikroökonómiai megalapozását adjuk meg. A gazdasági evolúció modelljeinek a bemutatásával lezárjuk a kurzust. Irodalom: Dowrick, S., Pitchford, R., Turnovsky, S. (ed.): Economic Growth and Macroeconomic Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. Huber, B.: Optimale Finanzpolitik und zeitliche Inkonsistenz. Physica-Verlag, Heidelberg, 1996. Turnovsky, S.: Methods of Macroeconomic Dynamics, MIT Press, Cambridge (Mass.), 2000. Vega-Redondo, F.: Evolution, Games, and Economic Behaviour. Oxford University Press, Oxford, 1996.
Other instructors: Zsombor Ligeti The course starts with a short introduction, which is followed by the generalization of the already known growth and conjuncture models. We discuss the issues of financing growth, the role of human capital, the dynamics of the budget deficit, endogenous population growth, healthcare economics and renewable resources. It is followed by the problem of the time consistency (both in finance and in budget policy), which – through different expectations – lead to the dynamic game theoretical approaches. This allows us to give the microeconomic background of the discussed macroeceonomic events. The course concludes with the discussion of the models of economic evolution. References: Dowrick, S., Pitchford, R., Turnovsky, S. (ed.): Economic Growth and Macroeconomic Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. Huber, B.: Optimale Finanzpolitik und zeitliche Inkonsistenz. Physica-Verlag, Heidelberg, 1996. Turnovsky, S.: Methods of Macroeconomic Dynamics, MIT Press, Cambridge (Mass.), 2000. Vega-Redondo, F.: Evolution, Games, and Economic Behaviour. Oxford University Press, Oxford, 1996.
(i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését; (ii) fejleszteni egyfelől a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést. A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél. Általában két típusú előadó van: matematikus, aki alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről, és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján: www.math.bme.hu/~molnar/amsz). A II-III. éves hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását, hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól. A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára, akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról. Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után könnyebben jussanak álláslehetőséghez. Mathematical modelling seminar 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1 Course coordinator: Domokos Szász The aim of the seminar to present case studies on results, methods and problems from applied mathematics for promoting
The speakers talk about problems arising in their work. They are either applied mathematicians or non-mathematicians, during whose work the mathematical problems arise. An additional aim of this course to make it possible for interested students to get involved in the works presented for also promoting their long-range carrier by building contacts that can lead for finding appropriate jobs after finishing the university. Sztochasztika szakirány tárgyai Courses of specialization in stochastics Többváltozós statisztika 3/0/1/v/5 Tárgyfelelős: Bolla Marianna További oktatók: Sándor Csaba Többdimenziós Centrális Határeloszlás Tétel és alkalmazásai. A statisztikában használt véletlen mátrixok (Wishart-, Wigner-mátrixok) sűrűsége, spektruma és aszimptotikus eloszlása. Sajátértékekre és szinguláris értékekre vonatkozó szeparációs tételek alkalmazása a főkomponens-, faktor-, kanonikus korreláció- és korrespondanciaanalízisben. Faktoranalízis, mint alacsony rangú reprezentáció, reprezentáció és metrikus klaszterező eljárások kapcsolata. Klasszifikációs módszerek: diszkriminanciaanalízis, hierarchikus, k-közép és gráfelméleti módszerek a klaszteranalízisben. Gráfok spektruma és becsülhető paraméterfüggvényei. Algoritmikus modellek, tanulóalgoritmusok. EM-, ACE-algoritmus, Kaplan–Meier-becslések. Újramintavételezési eljárások: bootstrap és jackknife. Adatbányászati alkalmazások, randomizált módszerek nagyméretű problémákra. A többváltozós statisztikai módszerek használatának és angol nevezéktanának elsajátítása egy programcsomag segítségével (SPSS vagy S+), output eredmények alkalmazásorientált elemzése. Irodalom: Bolla, M., Krámli, A.: Theory of statistical inference (in Hungarian), Typotex, Budapest, 2005 Mardia, K. V:, Kent, J. T., Bibby, J. M.: Multivariate Analysis, Academic Press, Elsevier Science, 1979, 2003
Other instructors: Csaba Sándor Multivariate central limit theorem and its applications. Density, spectra and asymptotic distribution of random matrices in multivariate statistics (Wishart-, Wigner-matrices). How to use separation theorems for eigenvalues and singular values in the principal component, factor, and correspondence analysis. Factor analysis as low rank representation, relatios between representations and metric clustering algorithms. Methods of classification: discriminatory analysis, hierarchical, k-means, and graph theoretical methods of cluster analysis. Spectra and testable parameters of graphs. Algorithmic models, statistical learning. EM algorithm, ACE algorithm, Kaplan–Meier estimates. Resampling methods: bootstrap and jackknife. Applications in data mining, randomized methods for large matrices. Mastering the multivariate statistical methods and their nomenclature by means of a program package (SPSS or S+), application oriented interpretation of the output data. References: Bolla, M., Krámli, A.: Theory of statistical inference (in Hungarian), Typotex, Budapest, 2005 Mardia, K. V:, Kent, J. T., Bibby, J. M.: Multivariate Analysis, Academic Press, Elsevier Science, 1979, 2003
További oktatók: Bolla Marianna Sűrűségfüggvény-becslés: Eloszlásbecslés, L1 hiba. Hisztogram. Magfüggvényes becslés. Regressziófüggvény-becslés.: Négyzetes hiba. Regressziófüggvény. Partíciós, magfüggvényes, legközlebbi szomszéd becslés. Empirikus hibaminimalizálás. Alakfelismerés: Hivavalószínűség. Bayes döntés. Partíciós, magfüggvényes, legközelebbi szomszéd módszer. Empirikus hibaminimalizálás. Portfólió-stratégiák: Log-optimalitás, empirikus portfólió-stratégiák. Tranzakciós költség. Irodalom: L. Devroye, L. Györfi: (1985) Nonparametric Density Estimation: the, Wiley. Russian translation: Mir, 1988 L. Devroye, L. Györfi, G. Lugosi: (1996) Probabilistc Theory of Pattern Recognition, Springer, New York L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk: (2002) A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, New York Nonparametric statistics 2/0/0/v/3 Course coordinator: László Györfi Other instructors: Marianna Bolla Density function estimation. Distribution estimation, L1 error. Histogram. Estimates by kernel function. Regression function estimation. Least square error. Regression function. Partition, kernel function, nearest neighbour estimates. Empirical error minimization. Pattern recognition. Error probability. Bayes decision rule. Partition, kernel function, nearest neighbour methods. Empirical error minimization. Portfolio strategies. Log-optimal, empirical portfolio strategies. Transaction cost.
L. Devroye, L. Györfi: (1985) Nonparametric Density Estimation: the, Wiley. Russian translation: Mir, 1988 L. Devroye, L. Györfi, G. Lugosi: (1996) Probabilistc Theory of Pattern Recognition, Springer, New York L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk: (2002) A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, New York Statisztikai programcsomagok 2 0/0/2/f/2 Tárgyfelelős: Sándor Csaba További oktatók: Bolla Marianna, Vetier András A kurzus célja a statisztika modern számítógépes eszközeinek áttekintése a szükséges elméleti háttér ismertetésével. 1. SPSS használata programmódban. Felhasználói programrészletek írása. A programok outputjainak értelmezése (az ott fellépő statisztikák jelentése és angol elnevezése) és ennek megfelelően a paraméterek beállítása. 2. S+ és R programcsomag használata és az SPSS-ben nem található új algoritmikus modellek áttekintése (bootstrap, jackknife, ACE). 3. Konkrét alkalmazás: Egy konkrét adatrendszer részletes elemzése S+-ban. Irodalom: K. V. Mardia, J. T. Kent, M. Bibby: Többváltozós analízis, angolul, Academic Press, New York, 1979 Ketskeméty, L., Izsó, L., Bevezetés az SPSS programrendszerbe, ELTE Kiadó, Budapest, 2005 S+ vagy R Felhasználói útmutató (a programcsomaggal együtt letölthető) Statistical program packages 2 0/0/2/f/2 Course coordinator: Csaba Sándor Other instructors: Marianna Bolla, András Vetier The goal of the course is to provide an overview of contemporary computer-based methods of statistics with a review of the necessary theoretical background. 1. How to use the SPSS (Statistical Package for Social Sciences) in program mode. Writing user’s macros. Interpretation of the output data and setting the parameter values accordingly. Definition and English nomenclature of the dispalyed statistics. 2. Introduction to the S+ and R Program Packages and surveying the novel algorithmic models not available in the SPSS (bootstrap, jackknife, ACE). 3. Practical application. Detailed analysis of a concrete data set in S+. References: Mardia, K. V., Kent, J. T., Bibby, M., Multivariate analysis, Academic Press, New York, 1979 Ketskeméty, L., Izsó, L., Introduction to the SPSS Program Package, in Hungarian, ELTE Publishers, Budapest, 2005 S+ or R User's Guide (together with the program package) Markov-folyamatok és martingálok 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Balázs Márton További oktatók: Fritz József, Tóth Bálint 1. Martingálok: Ismétlés (Feltételes várható érték és toronyszabály, valószínűségi konvergenciatípusok és kapcsolataik, martingálok, megállított martingálok, Doob dekompozíció, kvadratikus variáció, maximál-egyenlőtlenségek, martingál konvergencia tételek, opcionális megállítás tétel, lokális martingálok.). Martingálok konvergenciahalmazai, a négyzetesen integrálható eset. Alkalmazások (pl. Gambler's ruin, urnamodellek, szerencsejáték, Wald-azonosságok, exponenciális martingál). Martingál CHT, alkalmazások. Höffding–Azuma egyenlőtlenség és alkalmazásai (pl. utazó ügynök probléma) 2. Markov láncok: Ismétlés (definíciók, állapotok osztályozása, stacionárius eloszlás, reverzibilitás, tranziencia-(null-)rekurrencia). Elnyelési valószínűségek. Martingálok alkalmazásai, Markov-lánc CHT. Markov-láncok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-láncokra. Bolyongások és elektromos áramkörök. 3. Felújítási folyamatok: Laplace transzformált, konvolúció. Felújítási folyamat, felújítási egyenlet. Felújítási tételek, regeneratív folyamatok. Stacionárius felújítás, felújítási paradoxon. Sorbanállási alkalmazások 4. Pontfolyamatok: Pontfolyamatok definíciója. Poisson pontfolyamat egy és több dimenzióban. Poisson folyamat transzformációi (jelölés és ritkítás, transzformálás függvénnyel, alkalmazások). Poisson pontfolyamatból származtatott pontfolyamatok 5. Diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: Ismétlés (generátor, kapcsolat Markov-láncokkal, Kolmogorov előre és hátra egyenlet, állapotok osztályozása, tranziencia-(null-)rekurrencia, stacionárius eloszlás). Reverzibilitás, MCMC. Abszorbciós valószínűségek és elérési idők. Martingálok alkalmazásai (pl. ugró folyamatok kompenzátora). Markov-folyamatok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-folyamatokra. Lokálisan diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: generátor tesztfüggvényeken Irodalom: Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991.
Other instructors: József Fritz, Bálint Tóth 1. Martingales: Review (conditional expectations and tower rule, types of probabilistic convergences and their connections, martingales, stopped martingales, Doob decomposition, quadratic variation, maximal inequalities, martingale convergence theorems, optional stopping theorem, local martingales). Sets of convergence of martingales, the quadratic integrable case. Applications (e.g. Gambler's ruin, urn models, gambling, Wald identities, exponential martingales). Martingale CLT. Azuma-Höffding inequality and applications (e.g. travelling salesman problem) 2. Markov chains: Review (definitions, characterization of states, stationary distribution, reversibility, transience-(null-)recurrence). Absorbtion probabilites. Applications of martingales, Markov chain CLT. Markov chains and dynamical systems; ergodic theorems for Markov chains. Random walks and electric networks 3. Renewal processes: Laplace transform, convolution. Renewal processes, renewal equation. Renewal theorems, regenerative processes. Stationary renewal processes, renewal paradox. Examples: Poisson process, applications in queueing 4. Point processes: Definition of point processes. The Poisson point process in one and more dimensions. Transformations of the Poisson point process (marking and thinning, transforming by a function, applications). Point processes derived from the Poisson point process. 5. Discrete state Markov processes: Review (infinitesimal generator, connection to Markov chains, Kolmogorov forward and backward equations, characterization of states, transience-(null-)recurrence, stationary distribution). Reversibility, MCMC. Absorption probabilities and hitting times. Applications of martingales (e.g. compensators of jump processes). Markov processes and dynamical systems; ergodic theorems for Markov processes. Markov chains with locally discrete state space: infinitesimal generator on test functions References: Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991.
További oktatók: Fritz Jószef, Szabados Tamás, Tóth Bálint Bevezetés, ismétlés: Ito-integrál Wiener-folyamat szerint, integrálás folytonos martingál szerint, többdimenziós sztochasztikus integrál. Lokális idő: Egydimenziós bolyongás lokális ideje, inverz lokális idő, diszkrét Ray–Knight-tétel. Egydimenziós Brown-mozgás lokális ideje és a folytonos Ray–Knight-tétel. Tanaka-formula és alkalmazásai. Szkorohod-tükrözés, tükrözött Brown-mozgás, P. Lévy egy tétele. Sztochasztikus differenciálegyenletek: A diffúziós alappéldák (Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponenciális Brown) SDE-i. Transzformált diffúzió SDE-je. Gyenge és erős megoldások, létezés, egyértelműség, nem-egyértelműség. Peremfeltételek és az infinitezimális generátor pontos értelmezése. Sztochasztikus differenciálegyenletek alkalmazásai fizikában, populáció dinamikában, gazdaságtudományban. Diffúziók: Alappéldák: Ornstein–Uhlenbeck-, Bessel-, Bessel-squared-folyamatok, geometriai Brown-mozgás. Diffúziók mint sztochaszikus integrálok és mint Markov-folyamatok. Infinitezimális generátor, sztochasztikus félcsoport. A martingál-probléma. Kapcsolat parabolikus és elliptikus parciális differenciálegyenletekkel. Feynman–Kac-formula. Idő-csere és Cameron–Martin–Girszanov-formula. Egydimenziós diffúziók sajátosságai: Skála-függvény és sebesség-mérték. Peremfeltételek egy pontban. Idő-megfordítás. Alkalmazások konkrét folyamatokra. Speciális kiegészítő fejezetek: Brownian excursion, kétdimenziós Brown-mozgás, SLE, Markov-folyamatok additív funkcionáljai. Irodalom: K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989 N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989 K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965 J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987 S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981 D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999 válogatott cikkek, előadó jegyzetei Stochastic differential equations 3/1/0/v/5 Course coordinator: Balázs Székely Other instructors: Jószef Fritz, Tamás Szabados, Bálint Tóth Introduction. Itô integral with respect to the Wiener process and continuous martingale, multi-dimensional stochastic integral. Local time. Local time of random walks on the line. Inverse local time, discrete Ray–Knight theorem. Local time of Brownian motion and Ray–Knight theorem. Tanaka formula and its applications. Skorohod reflection, reflected Brownian motion, a theorem by P. Lévy. Stochastic differential equations. SDEs of diffusions: Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponential Brownian motion. SDE of transformed diffusions. Weak and strong solutions, existence and uniqueness. SDE with boundary conditions. Interpretation of the infinitesimal generator. Applications to physics, population dynamics, and finance. Duffusions. Basic examples: Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, geometrical Brownian motion. Interpretation as stochastic integrals, and Markov processes. Infinitesimal generator, stochastic semi-groups. Martingale problem. Connection with parabolic and elliptic partial differential equations. Feyman–Kac formula. Time-change. Cameron–Martin–Girsanov formula. One-dimensional diffusions. Scale function and speed measure. Boundary conditions. Time-inversion. Application to special processes. Special selected topics. Brownian excursion. Two-dimensional Brownian motion, Brownian sheet. SLE. Additive functionals of Markov processes. References: K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989 N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989 K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965 J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987 S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981 D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999 selected papers, lecture notes Pénzügyi folyamatok 2/0/0/f/3 Tárgyfelelős: Székely Balázs További oktatók: Fritz Jószef Diszkrét modellek: optimális parkolás, stratégia kedvező és kedvezőtlen helyzetben. Önfinanszírozó stratégiák, arbitrázsmentes piacok, teljesség. Amerikai, európai, ázsiai opciók. Ismétlés: bináris modell, martingál módszer. Diszkrét modellben nem teljes piac árazása. Black és Scholes elmélete: martingál mérték, Itô-féle reprezentációs tétel. Black-Scholes modell alkalmazásai, megengedett stratégiák. Tőkeárazási modellek (CAPM). Portfóliók fajtái, értékpapírpiaci egyenes, tőkepiaci egyenes, piaci egyensúly, tőkepiaci egyensúly. Opciók árazása GARCH modellekkel. Optimális befektetések problémája. Extrémérték elmélet, maximumok eloszlása, rekordok eloszlása.
J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Fiancial Applications, Springer, New York, 2001 Barry C. Arnold, N. Balakrishnan, H. N. Nagaraja, Records, John Wiley and Sons, 1998 Fritz József: Pénzügyi matematika, kézirat előadó jegyzetei, cikkek
Other instructors: József Fritz Discrete models. Optimal parking, strategy in advantageous and disadvantageous situations. Self-financing portfolio, arbitrage, completeness of a market model. American, European, Asian option. Binary model. Pricing non-complete market in discrete model. Balck-Scholes' theory: B-S formula via martingales. Itô representation theorem. Applications, admissible strategies. Capital Asset Pricing Model (CAPM). Portfolios. The beta coefficient, security market line, market and capital-market equilibrium. Option pricing by using GARCH models. Problems of optimal investments. Extreme value theory, maxima, records.
J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Fiancial Applications, Springer, New York, 2001 Barry C. Arnold, N. Balakrishnan, H. N. Nagaraja, Records, John Wiley and Sons, 1998 Fritz József: Pénzügyi matematika, kézirat selected papers, lecture notes
További oktatók: Balázs Márton, Fritz József, Szász Domokos I. rész: Határeloszlás-tételek: Valószínűségi mértékek és eloszlások gyenge konvergenciája Feszesség: Helly-Prohorov-tétel. Határeloszlás-tételek puszta kézzel: Tükrözési elv alkalmazása bolyongásra: Paul Lévy arcussinus tételei, maximum, lokális idő és első elérések határeloszlása. Független és azonos eloszlású valószínűségi változók maximumának határeloszlása, extremális eloszlások. Határeloszlás-tétel a szelvénygyüjtő (coupon collector) problémájára. Határeloszlás-tétel bizonyítása momentum-módszerrel. Határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvény módszerével. Lindeberg-tétel alkalmazásai. Erdős–Kac-tétel: CHT a prímosztók számára. Stabilis eloszlások. Szimmetrikus stabilis eloszlások karakterisztikus függvényeinek jellemzése. Konvergencia szimmetrikus stabilishoz. Alkalmazások. Általános (nem szimmetrikus) stabilis eloszlás karakterisztikus függvényének jellemzése, ferdeség. Határeloszlás-tétel nem szimmetrikus esetben. Korlátlanul osztható eloszlások: Lévy–Hincsin-formula, Lévy-mérték. Poisson pont folyamatok és kapcsolatuk korlátlanul osztható eloszlásokkal. Korlátlanul osztható eloszlások mint széria-sorozatok határeloszlása. Alkalmazások. Lévy-folyamatok – bevezetés: Lévy–Hincsin formula és a folyamatok felbontása. Pozitív (növekvő, szubordinátor) és korlátos változású Lévy-folyamatok. Stabilis folyamatok. Példák és alkalmazások. II. rész: Nagy eltérés tételek: Bevezetés: Ritka események és nagy eltérések, nagy eltérés elv (LDP), nagy eltérések számolása puszta kézzel (Stirling-formulával). Kombinatorikus módszerek: Típusok módszere, Szanov-tétel véges abc-re. Nagy eltérés tételek véges dimenzióban: Bernstein-egyenlőtlenség, Chernov-korlát. Cramer-tétel. Konvex analízis elemei, konvex konjugálás véges dimenzióban, Cramer tétel R^d-ben. Gartner–Ellis-tétel. Alkalmazások: nagy eltérés tételek bolyongásokra, véges állapotterű Markov-láncok trajektóriájának empirikus eloszlására, statisztikai alkalmazások. Általános elmélet: Nagy eltérés elvek általában. Kontrakciós elv és Varadhan-lemma. Nagy eltérések topologikus vektorterekben, függvényterekben, absztrakt konvex analízis. Alkalmazások: Schilder-tétel, Gibbs feltételes mérték és statisztikus fizika elemei.
A. Dembo, O. Zeitouni: Large deviation techniques and application. Springer, 1998 R. Durrett: Probability: theory and examples. Second edition. Duxbury, 1996 B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov: Független valószínűségi változók összegeinek határeloszlásai W. Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol.2. Wiley, 1970 D.W. Stroock: An introduction to the theory of large deviations. Springer, 1984 S.R.S. Varadhan: Large deviations and applications. SIAM Publications, 1984 D. Williams: Probability with martingales. Cambridge UP, 1990 Cikkek, előadók jegyzetei
Other instructors: Márton Balázs, József Fritz, Domokos Szász Part I.: Limit theorems: Weak convergence of probability measures and distributions. Tightness: Helly-Ptohorov theorem. Limit theorems proved with bare hands: Applications of the reflection principle to random walks: Paul Lévy’s arcsine laws, limit theorems for the maximum, local time and hitting times of random walks. Limit theorems for maxima of i.i.d. random variables, extremal distributions. Limit theorems for the coupon collector problem. Proof of limit theorem with method of momenta. Limit theorem proved by the method of characteristic function. Lindeberg’s theorem and its applications: Erdős–Kac theorem: CLT for the number of prime factors. Stable distributions. Stable limit law of normed sums of i.i.d. random variables. Characterization of the characteristic function of symmetric stable laws. Weak convergence to symmetric stable laws. Applications. Characterization of characteristic function of general (non-symmetric) stable distributions, skewness. Weak convergence in non-symmetric case. Infinitely divisible distributions:. Lévy–Hinchin formula and Lévy measure. Lévy measure of stable distributions, self-similarity. Poisson point processes and infinitely divisible laws. Infinitely divisible distributions as weak limits for triangular arrays. Applications. Introduction to Lévy processes: Lévy–Hinchin formula and decomposition of Lévy processes. Construction with Poisson point processes (a la Ito). Subordinators and Lévy processes with finite total variation, examples. Stable processes. Examples and applications. Part II.: Large deviation theorems: Introduction: Rare events and large deviations. Large deviation principle. Computation of large deviation probabilities with bare hands: application of Stirling’s formula. Combinatorial methods: The method of types. Sanov’s theorem for finite alphabet. Large deviations in finite dimension: Bernstein’s inequality, Chernoff’s bound, Cramer’s theorem. Elements of convex analysis, convex conjugation in finite dimension, Cramer’s theorem in R^d. Gartner–Ellis theorem. Applications: large deviation theorems for random walks, empirical distribution of the trajectories of finite state Markov chains, statistical applications. The general theory: general large deviation principles. The contraction principle and Varadhan’s lemma. large deviations in topological vector spaces and function spaces. Elements of abstract convex analysis. Applications: Schilder’s theorem, Gibbs conditional measures, elements of statistical physics. References: A. Dembo, O. Zeitouni: Large deviation techniques and application. Springer, 1998 R. Durrett: Probability: theory and examples. Second edition. Duxbury, 1996 B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov: Limit theorems for sums of independent random variables, 1951 W. Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol.2. Wiley, 1970 D.W. Stroock: An introduction to the theory of large deviations. Springer, 1984 S.R.S. Varadhan: Large deviations and application . SIAM Publications, 1984 D. Williams: Probability with martingales. Cambridge UP, 1990 research papers, lecture notes
További oktatók: Fritz József, Szász Domokos, Tóth Bálint Csatolásos módszerek (sztochasztikus dominancia, val.változók és folyamatok csatolásai, példák: átjárhatóság duális gráffal, optimalizálási problémák, kombinatorikus valószínűségi feladatok) Perkoláció (definíciók, korrelációs egyenlőtlenségek, dualitás, kontúr módszerek) Erősen függő perkoláció: Winkler perkoláció, kompatibilis 0-1 sorozatok Statisztikus fizika alapjai (Gibbs mérték, néhány alapmodell) Kártyakeverések (teljesen kevert pakli, hányszor kell egy paklit megkeverni?) Véletlen gráfmodellek (Erdős–Rényi, Barabási–Albert; alapjelenségek) Bolyongások változatai: scenery reconstruction, self-avoiding és self-repelling bolyongás, loop-erased bolyongás, bolyongás véletlen közegben Sorbanállási modellek és azok alaptulajdonságai; stacionárius eloszlás és reverzibilitás, Burke-tétel; sorbanállási rendszerek Kölcsönható részecskerendszerek (simple exclusion tóruszon és végtelen rácson, egyensúlyi eloszlás, Palm-eloszlások, csatolások, egyéb rendszerek) Folytonos idejű Markov-folyamatok grafikus konstrukciója (Yule modell, Hammersley folyamat, részecskerendszerek) Önszervező kritikusság: homokszem-modellek (konstrukció kérdései, a dinamika kommutatív tulajdonsága, egyensúly véges térfogatban, korreláció hatványlecsengése) Stacionárius folyamatok lineáris elmélete: erősen és gyengén stacionárius folyamatok, spektrális tulajdonságok, autoregressziós és mozgó átlag folyamatok. Idősorok elemzése, hosszúmemóriájú folyamatok. Kockázati folyamatok modelljei.
Grimmett, G.: Percolation. Springer-Verlag, Berlin, 1999. Liggett, T.: Interacting Particle Systems. Springer-Verlag, Berlin, 2005. Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Thorisson, H.: Coupling, Stationarity, and Regeneration. Springer-Verlag, New York, 2000. Walrand, J.: An Introduction to Queueing Networks. Prentice Hall 1988 Werner, W.: Lectures on Two-dimensional Critical Percolation, http://arxiv.org/abs/0710.0856 Werner, W.: Random Planar Curves and Schramm–Loewner Evolutions, http://arxiv.org/abs/math/0303354 Zeitouni, O.: Lecture Notes on Random Walks in Random Environment, XXXI summer school in probability, St Flour, France, Volume 1837 of Springer's Lecture notes in Mathematics Stochastic models 2/0/0/f/2 Course coordinator: Márton Balázs Other instructors: József Fritz, Domokos Szász, Imre Péter Tóth, Bálint Tóth Coupling methods (stochastic dominance, coupling random variables and stochastic processes, examples: connectivity using dual graphs, optimization problems, combinatorial probability problems) Percolation (definitions, correlation inequalities, duality, contour methods) Strongly dependent percolation: Winkler percolation, compatible 0-1 sequences Basics of statistical physics (Gibbs measure, a few basic models) Card shuffling (completely shuffled deck, how many times should one shuffle?) Random graph models (Erdős–Rényi, Barabási–Albert; basic phenomena) Variants of random walks: scenery reconstruction, self-avoiding és self-repelling walks, loop-erased walks, random walk in random environment) Queueing models and basic behavior; stationary distribution and reversibility, Burke Theorem; systems of queues Interacting particle systems (simple exclusion on the torus and on the infinite lattice, stationary distribution, Palm distributions, couplings, other models) Graphical construction of continuous time Markov processes (Yule model, Hammersley's process, particle systems) Self organized criticality: sandpile models (questions of construction, commutative dynamics, stationary distribution in finite volume, power law decay of correlations) Linear theory of stationary processes: strongly and weakly stationary processes, spectral properties, autoregressive and moving average processes. Analysis of time series, long memory processes. Models of risk processes.
Liggett, T.: Interacting Particle Systems. Springer-Verlag, Berlin, 2005. Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Thorisson, H.: Coupling, Stationarity, and Regeneration. Springer-Verlag, New York, 2000. Walrand, J.: An Introduction to Queueing Networks. Prentice Hall 1988 Werner, W.: Lectures on Two-dimensional Critical Percolation, http://arxiv.org/abs/0710.0856 Werner, W.: Random Planar Curves and Schramm–Loewner Evolutions, http://arxiv.org/abs/math/0303354 Zeitouni, O.: Lecture Notes on Random Walks in Random Environment, XXXI summer school in probability, St Flour, France, Volume 1837 of Springer's Lecture notes in Mathematics
További oktatók: Bálint Péter Mértéktartó leképezések. Példák. Poincaré rekurrencia tétele. Ergodikus leképezések. Példák. Stacionárius sorozatok mint dinamikai rendszerek. Bernoulli sorozatok. Kinetikai és keverés. A tórusz algebrai automorfizmusai. Keverésük feltétele. Hopf geometriai módszere. Invariáns mérték létezése: Krylov–Bogolyubov tétel. Markov-leképezések: invariáns sűrűség létezése. Kolmogorov–Arnold–Moser tétel. A homológikus egyenlet. Az invariáns tórusz formális egyenletei. Feladatok. Irodalom: D. Szász: Ergodelmélet és dinamikai rendszerek, előadás-jegyzet: http://www.math.bme.hu/~szasz/ R. Mane: Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer, 1983 J. Moser: Lectures on Hamiltonian systems. Memoires of the American Mathematical Society.Vol. 81, 1968 Ergodic theory and dynamical systems 2/0/0/f/2 Course coordinator: Domokos Szász Other instructors: Péter Bálint Measure-preserving transformations. Examples. Poincaré recurrence theorem. Ergodic maps. Examples. Stationary sequences as dynamical systems. Bernoulli-sequences. Kinetics and mixing. Algebraic automorphisms of the torus. Condition of mixing. Hopf’s geometric method. Existence of invariant measures: Krylov–Bogolyubov theorem. Markov-maps: existence of invariant density. Kolmogorov–Arnold–Moser theorem. The homological equation. Formal equations for the invariant torus. Exercises.
D. Szász: Lecture notes: http://www.math.bme.hu/~szasz/ R. Mane: Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer, 1983 J. Moser: Lectures on Hamiltonian systems. Memoires of the American Mathematical Society.Vol. 81, 1968 Témalabor 1,2 0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4 Tárgyfelelős: Lángné Lázi Márta A tárgy keretében a hallgató külső témavezető által meghirdetett, alkalmazás orientált sztochasztikus matematikát alkalmazó témán dolgozik, a témavezető irányításával. Minden félév végén beszámolót készít a hallgató az eredményeiről, melyet előadás formájában a társainak bemutat. A tárgy során begyakorolandó tevékenységek: irodalmazás, modellezés, számítógéppel segített feladatmegoldás, matematikai problémamegoldás. Individual projects 1,2 0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4 Course coordinator: Márta Lángné Lázi Within the framework of the subject the student is working on an application oriented research subject based on stochastic mathematics lead by an external supervisor. At the end of each semester the student writes a report about his results which will be also presented by him to the other students in a lecture. The activities to be exercised: literature research, modelling, computer aided problem solving, mathematical problem solving. Matematikai modellalkotás szeminárium 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1 Tárgyfelelős: Szász Domokos A szeminárium célja rendszeres fórumot biztosítani alkalmazott matematikai eredmények, modellek és problémák bemutatására, és ezzel elősegíteni (i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését; (ii) fejleszteni egyfelől a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést. A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél. Általában két típusú előadó van: matematikus, aki alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről, és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján: www.math.bme.hu/~molnar/amsz). A II-III. éves hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását, hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól. A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára, akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról. Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után könnyebben jussanak álláslehetőséghez. Mathematical modelling seminar 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1 Course coordinator: Domokos Szász The aim of the seminar to present case studies on results, methods and problems from applied mathematics for promoting
The speakers talk about problems arising in their work. They are either applied mathematicians or non-mathematicians, during whose work the mathematical problems arise. An additional aim of this course to make it possible for interested students to get involved in the works presented for also promoting their long-range carrier by building contacts that can lead for finding appropriate jobs after finishing the university. (D) Választható tárgyak Optional courses Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása e = előadások heti óraszáma, g = gyakorlatok heti óraszáma, l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma, t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy), k = kreditszám. Notation: Meaning of notation e/g/l/t/k appearing in the description of each course: e = lecture hours per week g = in-class exercise hours per week l = laboratory work hours per weak t = type of examination = „v” stands for oral or written exam, „f” stands for final mark given on basis of midterm exams and home works k = number of credits Szabadon választható szakmai tárgyak összesen: 8/0/0/8 Nincs előre rögzítve. Optional professional courses total: 8/0/0/8 Not specified in advance. Szabadon választható gazd./társ. tudományi tárgy 2/0/0/2 Nincs előre rögzítve. Optional course of social or economic science 2/0/0/2 Not specified in advance. (E) Diplomamunka Diploma thesis Jelölés: E tárgy leírásában megjelentetett e/g/l/k jelölés feloldása e = előadások heti óraszáma, g = gyakorlatok heti óraszáma, l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma, k = kreditszám.
e = lecture hours per week g = in-class exercise hours per week l = laboratory work hours per weak k = number of credits
A diplomamunkának arról kell tanúskodnia, hogy a hallgató az egyetemi tanulmányai során szerzett matematikai ismereteit, képességeit a gyakorlati életben vagy az elméleti kutatásokban egy több hónapra kiterjedő munka folyamán önállóan tudja alkalmazni oly módon, hogy a megoldandó problémát felismeri, a megoldáshoz vezető út nehézségeivel megbirkózik, a megfelelő színvonalú megoldást megtalálja, és azt mások számára érthetően leírja. A dolgozat legyen tömör, de a témában nem járatos matematikus olvasó számára is érthető. Master's thesis 0/10/0/20 Course coordinator: Béla Barabás A master's thesis should reveal the candidate is able to work, leading by the student’s supervisor, in a scholarly manner and is acquainted with the principal works published on the subject of the thesis. As far as possible it should be an original contribution based on the subjects of master courses. The primary goal of the thesis is to prove that the candidate can aggregate many details and data and related work, abstract and conceptualize the content, and then present concise concepts to the reader. The thesis at the end must be easy to read, and accurately present the relevant information. 3. Kompetenciák elsajátíttatása Mutassák be a mesterszak kimeneti céljául kitűzött általános és szakmai kompetenciák elsajátíttatásának, illetve elmélyítésének konkrét megvalósulását. (Az adott kompetenciák megszerzését biztosító tantárgyak, valamint oktatási módszereik és gyakorlatuk.) Az eddigi működésünk színvonala, elismert módszertani érettsége garanciát ad arra, hogy az új típusú képzés keretei között is hatékonyan tudjuk átadni hallgatóinknak a szükséges szakmai kompetenciákat. Idézet a KKK-ból: „A képzés célja olyan tudományos kutatási szintet elérő szakmai felkészültséggel rendelkező szakemberek képzése, akik magas szintű matematikai ismereteik és modellezési tapasztalataik birtokában képesek alkotó módon a gyakorlatban felmerülő matematikai problémák megoldására. Nyitottak szakterületük és a rokon területek új tudományos eredményeinek kritikus befogadására. Felkészültségük alapján képesek a gyakorlati problémák modellezésére, megoldására és a megoldások gyakorlati kivitelezésének irányítására. Megfelelő ismeretekkel rendelkeznek tanulmányaik doktori képzés keretében történő folytatásához.” Az alábbiakban konkrét tantárgyak, illetve tantárgycsoportok megnevezésével mutatunk rá, hogy mi biztosítja a BME Alkalmazott matematikus szakán a szakmai kompetenciák elsajátítását. „a) A mesterképzési szakon végzettek ismerik: – az algoritmuselmélet, az alkalmazott analízis, a diszkrét matematika, az operációkutatás, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapvető eredményeit, – a matematika különböző alkalmazási területeit, – az alkalmazott matematikai modellek megalkotásához és szimulálásához szükséges
– ismereteik önálló továbbfejlesztésére, – a matematika alkalmazási területein alkotó módon kombinálni és felhasználni
– a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő bonyolult rendszerek áttekintésére, matematikai elemzésére és modellezésére, döntési folyamatok előkészítésére, – a számítástechnika eszközeinek felhasználásával a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő számítási feladatok elvégzésére, – sztochasztikus jelenségek, folyamatok modellezésére, – a nagy számításigényű, illetve nagy tárkapacitású feladatok felismerésére, alternatív
– a problémák belső törvényszerűségeinek megértésére, feladatok megtervezésére és magas szintű végrehajtására, – az idegen nyelvű szakmai kommunikációra, – az informatikai lehetőségek alkotó módon történő alkalmazására.”
Matematikai modellalkotás c. tantárgy során hallgatóink olyan kutatókkal találkoznak, akik műszaki, gazdasági, pénzügyi vagy más alkalmazott területen dolgozva matematika modelleket építenek, és magas szinten alkalmaznak saját problémáik megoldására. A fenti célok elérését szolgálják a kötelező és választható gazdasági és informatikai tárgyak is.
– absztrakciós, modellalkotó és problémamegoldó képesség, – térszemlélet, – kritikai attitűd, – rendszerszerű gondolkodás, – kreativitás, – szakmai felelősségvállalás, – önálló döntéshozatali képesség, – szakmai együttműködő készség, – jó kommunikációs készség, – csoportmunkában való részvétel képessége, – a kapcsolódó tudományos problémáknak a nem szakemberek számára is érthető megfogalmazási képessége, – idegen nyelvű szakmai kommunikációs készség.” A korábban említett Témalabor 1, 2 tantárgyakon túl több szeminárium jellegű foglalkozás, valamint a diplomamunka elkészítése segíti a fenti célok elérését. A szakirányokon továbbá elsajátítandó szakmai kompetenciák: „Alkalmazott analízis szakirányon végzettek: – ismerik a matematikai analízis természettudományos, ipari és üzleti szférában történő alkalmazásait, – alkalmasak az adott területen felmerülő problémák közönséges és parciális differenciálegyenletekkel történő matematikai modellezésére és a modellek önálló matematikai vizsgálatára, – ismerik a matematikai modellezéshez szükséges fontosabb matematikai programcsomagokat.” A fenti célok megvalósítását szolgálják a törzstárgyak közül különösen az Elméleti számítástudomány, Dinamikai rendszerek, Parciális differenciálegyenletek 2, Statisztika és információelmélet tárgyak, valamint a szakiránytárgyak közül a Numerikus módszerek 2, Matematikai kémia, Biomatematika, Wavelet analízis, Inverz szórási feladatok, továbbá a Témalabor 1-2 és Matematikai modellalkotás 1-2. „Sztochasztika szakirányon végzettek: – alkalmasak az alapvető természeti jelenségekben megnyilvánuló sztochasztikus, véletlenszerű törvényszerűségek felismerésére, e jelenségek tudományos igényű kísérleti tanulmányozására és elméleti értelmezésére, – magas színvonalon képesek használni statisztikus törvények elemzésére alkalmas programcsomagokat, – alkalmasak önálló és irányító munkaköröket betölteni a sztochasztika tudományos eredményeit vagy módszereit felhasználó egyéb területeken (szakigazgatás, környezetvédelem stb.).” A fenti célok megvalósítását szolgálják a törzstárgyak közül különösen a Sztochasztikus analízis és alkalmazásai, Statisztika és információelmélet valamint a szakiránytárgyak közül a Statisztika blokk és Sztochasztikus analízis blokk, továbbá a Témalabor 1 és 2. „Operációkutatási szakirányon végzettek: – alkalmasak különféle (ipari, kereskedelmi, pénzügyi, mezőgazdasági, kommunikációs) rendszerek irányítási, működtetési és optimalizálási problémáinak matematikai modellezésére és számítógépes megoldására, – képesek operációkutatási algoritmusok, és ezek matematikai hátterének kidolgozására, a hatékonyság vizsgálatára.” A fenti célok megvalósítását szolgálják a törzstárgyak közül különösen a Globális optimalizálás és Lineáris programozás tárgyak, valamint a szakiránytárgyak közül az Operációkutatási programrendszerek, Irányítási rendszerek tárgyak, továbbá a Témalabor 1 és 2. Fontos értéket jelentenek itt a vezető oktatóink tapasztalatai a gyakorlati operációkutatási problémák megoldásában. „Pénzügy-matematika szakirányon végzettek: – mikro- és makroökonómiai, valamint pénzügyi alapismeretekkel rendelkeznek, – ismerik a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének
– alkalmasak sztochasztikus jelenségek, folyamatok modellezésére, – ismerik a sztochasztikus és pénzügyi folyamatok, a kockázati folyamatok, az
– alkalmasak pénzügyi folyamatok, biztosítási kérdések matematikai elemzésére, modellezésére, – ismerik legalább két statisztikai programcsomag használatát, tudják a kapott eredményeket értelmezni, elemezni.” A fenti célok megvalósítását szolgálják a törzstárgyak közül különösen a Sztochasztikus analízis és alkalmazásai, Statisztika és információelmélet valamint a szakiránytárgyak közül a Pénzügyi folyamatok, Biztosításmatematika 2, Többváltozós statisztika gazdasági alkalmazásokkal tárgyak, továbbá a Témalabor 1 és 2 tárgyak, ahol a téma választása irányítottan pénzügyi alkalmazások. Külön, dedikált tárgy fogalkozik a fontosabb statisztikai programcsomagokkal, és használatukkal. 4. A képzési és kimeneti követelményekben előírt idegen nyelvi követelmények teljesítésének intézményi elősegítése, feltételei. A mesterszintű diploma feltétele középfokú C típusú állami nyelvvizsga angol nyelvből. A BME hallgatóinak nyelvtanulását biztosítja a Idegennyelvi központ. A BME az államilag finanszírozott nappali hallgatói számára különböző nyelvekből, négy különböző szinten 2 féléven át heti négy órás képzésben térítésmentesen nyelvoktatást biztosít. A nyelvi képzést a költségtérítéses képzésben résztvevő hallgatók is igénybe vehetik. 5. A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása a szakra való belépés tekintetében (előzményként elfogadott alapszakok, kritérium ismeretkörök és kreditértékek)
Matematika alapszak teljes kreditértékkel.
A mesterképzésbe való felvétel feltétele, hogy az alább felsorolt ismeretkörökből legalább 65 kredittel rendelkezzen a hallgató: algebra, analízis, geometria, halmazelmélet, kombinatorika, matematikai logika, operációkutatás, számelmélet, valószínűségszámítás.
A hiányzó ismeretek pótlására az első két félévben a megfelelő alapozó tárgyak felvétele ad lehetőséget. c) Tanárszak indítását nem tervezzük. 6. Az értékelési és ellenőrzési módszerek, eljárások és szabályok bemutatása, a (289/2005. Korm. rend. 11.§ (3) bb) bekezdése szerinti) tájékoztató kiadvány internetes elérhetősége. A tanulmányi munka értékelése és ellenőrzése a félév közben és a félév végén történik félévközi jeggyel, illetve vizsgajeggyel. Tájékoztató: http://www.ttk.bme.hu/ A záróvizsga két részből áll: 1. A hallgató a záróvizsga első részében ismerteti diplomamunkáját, válaszol a témavezető, a bíráló, illetve a Záróvizsga Bizottság által feltett kérdésekre, kifogásokra, hozzászólásokra. A diplomamunka osztályzatát a témavezető és a bíráló javaslata alapján, valamint a vizsgán elhangzottak figyelembevételével a Záróvizsga Bizottság állapítja meg. 2. A záróvizsga második részében a hallgató szóbeli vizsgát tesz az általa választott záróvizsga témakörökből, amelyek megfelelnek a matematika nagy szakterületeinek. Ezek tematikáját a Matematikus Szakbizottság hagyja jóvá.
Yüklə 3,22 Mb. Dostları ilə paylaş:
|