II BOB. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENLAMALARNING NORMAL SISTEMASI 2.1. Chiziqli operator va uning xossalari
Ushbu
sistema chiziqli differensial tenglamalarning normal sistemasi deyiladi. Bunda funksiyalar sistemaning koeffitsientlari, funksiyalar esa ozod hadlari deyiladi.
Barcha funksiyalar biror intervalda aniqlangan va uzluksiz.
Agar bo’lsa, u holda sistema chiziqli o’zgarmas koeffitsientli deb yuritiladi.
Qulaylik uchun ushbu belgilashlarni kiritamiz :
Shu matritsa va ustun vektor yordamida
sistema
ko’rinishda yoziladi. Agar sistema shu ko’rinishda berilgan bo’lsa, u vektor matritsa ko’rinishda berilgan deyiladi.
1. Ta’rif. Agar munosabat berilgan bo’lsa, tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi.
Ushbu
tenglama esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamaga mos bir jinsli tenglama deyiladi.
yordamida operatorni kiritamiz. Agar va birlik matritsa bo’lsa, ni yana ushbu
ko’rinishda yozish mumkin. Kiritilgan operator yordamida tenglama ushbu sodda:
yoki
ko’rinishda yoziladi.
operatorning xossalari.
1-xossa. Agar -ixtiyoriy o’zgarmas son bo’lsa,
o’rinli.
2-xossa. Agar - ixtiyoriy o’zgarmas sonlar bo’lsa,
ayniyat o’rinli. Bunda - biror vektor funksiyalar.
2. 2. Chiziqli bir jinsli sistemalar.
1. Teorema. Agar vektor funksiyalarning har biri biror intervalda tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham yechim bo’ladi.
Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra shuning uchun 2-xossadan foydalansak:
.
Teorema isbot bo’ldi.
2. Teorema. Agar vektor funksiya tenglamaning biror intervalda aniqlangan va boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimi bo’lsa,u holda intervalda .
Isbot. tenglamaning trivial yechimi mavjud. Ammo teoremaning shartiga qayd qilingan yechim shu trivial yechim bilan bir xil boshlang’ich qiymatlarga ega. Shuning uchun chiziqli sistemalar uchun mavjudlik va yagonalik teoremasiga ko’ra yechim trivial yechim bilan ustma-ust tushadi, ya’ni . Teorema isbot bo’ldi.
Dostları ilə paylaş: |
