«amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Matematik fizika va differensial tenglamalar» fanidan kurs ishi

2.4. Chiziqli o’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar.
tenglamada matritsa o’zgarmas bo’lsin. Bu holda biz ushbu

chiziqli o’zgarmas koeffitsientli bir jinsli vektor –matritsali tenglamaga egamiz. Agar , operatordan foydalansak, tenglamani ushbu

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda -birlik matritsa. Ravshanki,

va bu operator ga nisbatan tartibli matritsadan iborat. Uni koordinatalarda yozamiz:

Demak, ni yana

ko’rinishda yozish mumkin. Endi deb belgilaymiz. Shu determinant yordamida tuzilgan tenglama tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

Chiziqli differensial tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini quyidagicha izlaymiz.:

son matritsaning xos qiymatlaridan iborat bo’ladi,bunda quyidagicha hollar bo’lishi mumkin.

1) matritsaning xos qiymatlari har xil,u holda har bir xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlarni ustun bo’yicha joylashtirsak hosil bo’lgan

2) Agar matritsaning biror ildizi karrali bo’lsa,u holda ildizga mos keluvchi xos vektorlar soni ta bo’lib, ta xos vektorlarga mos xos vektorlar soni topiladi va qolgan tasi

bu yerda , koeffitsient yechimlarni berilgan sistemaga qo’yib,o’xshash hadlarni oldingi koeffitsientlarga ko’paytirib, hosil bo’lgan sistemadan topiladi.
3) komoleks ildizga ega bo’lsin. U holda ildizga mos keluvchi chiziqli, erkli yechimlar

ko’rinishda izlanadi, bu yerda , lar noma’lum koeffitsiyentlar bo’lib, bu koeffitsiyentlarni yuqoridagi sistemani ga etib qo’yish orqali topila

1. Misol.
sistemani yeching.
1-usul.

Javob:
2-usul sistemani yeching.

Javob:
2.5. Chiziqli o’zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo’lmagan sistemalar.
Chiziqli bir jinsli bo’lmagan sistemalarda a matritsa o’zgarmas bo’lgan holni alohida ko’ramiz. Bizga ushbu
,
chiziqli o’zgarmas koeffitsientli (o’zgarmas matritsali) vektor matritsali tenglama berilgan bo’lsin. Unda

vektor funksiya biror intervalda aniqlangan va uzluksiz funksiya. Bu holda sistemaga mos bir jinsli sistemaning umumiy yechimiga ko’ra Lagranjning o’zgarmasni variatsiyalash usuli yordamida bir jinsli bo’lmagan sistemaning umumiy yechimini toppish mumkin. Qolaversa, sistemani integrallash uchun Koshi formulasini qo’llash mumkin.

Agar bir jinsli bo’lmagan sistemada vektor funksya ixtiyoriy bo’lmay,uning har bir koordinatasi kvaziko’phaddan iborat bo’lsa, u holda bir
jinsli bo’lmagan sistemaning xususiy yechimini toppish va umumiy yechim haqidagi 2.4-teoremadan foydalanib, umumiy yechimni toppish mumkin.
Endi b(x) vektor funksiyaning har bir koordinatasi kvaziko’phad bo’lsin,ya’ni

bunda lar o’zaro har xil haqiqiy yoki kompleks sonlar, biror ko’phad.

Xususiy vektor yechimning ko’rinishini yozish uchun

deylik.
1) son mos bir jinsli sistemaning matritsasi uchun xos son emas,ya’ni

bu holda xususiy yechim quyidagi

ko’rinishda izlanadi. Noma’lum kophadning koeffitsientlari noma’lum koeffitsientlar usuli bilan topiladi.

2) son mos bir jinsli sistemaning xarakteristik tenglamasi uchun s karrali ildiz.
Xususiy yechim ushbu

ko’rinishda izlanadi.