Aritmetica în sistemele de calcul Sisteme de numeraţie
Yüklə 138,44 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2. Reprezentarea numerelor întregi
- Valoare (hexa) Cod binar Cod Gray
- 3. Operaţii cu numere reprezentate în virgulă fixă 3.1. Adunarea şi scăderea în complement faţă de doi
- 3.2. Înmulţirea numerelor fără semn
- 3.3. Împărţirea numerelor fără semn
- 3.4. Înmulţirea numerelor în complement faţă de 2. Metoda lui Booth
- 3.5. Împărţirea numerelor în complement faţă de doi. Algoritmul cu restaurare.
- 4. Reprezentarea cifrelor zecimale
- Cifra Cod BCD
- 4.1. Conversia din binar în BCD
- 4.2. Conversia din BCD în binar
- 5. Reprezentarea numerelor reale
- 5.1. Operaţii cu numere reprezentate în virgulă mobilă
- 5.1.2. Înmulţirea numerelor în virgulă mobilă
|
Aritmetica în sistemele de calcul 1. Sisteme de numeraţie Un sistem de numeraţie este reprezentat prin totalitatea regulilor de reprezentare a numerelor, cu ajutorul unor simboluri numite cifre. Cifra este un simbol care reprezintă o cantitate întreagă. Baza (rădăcina) sistemului de numeraţie este numărul de simboluri diferite permise pentru reprezentarea numerelor. În sistemele de calcul se utilizează sistemul de numeraţie binar, B2 = {0,1}, acesta prezentând o serie de avantaje:
Conversia unui număr dintr-o bază de numeraţie α într-o nouă bază de numeraţie β se face examinând separat partea întreagă şi partea fracţionară. Să luăm, de exemplu, numărul 121,45 în zecimal. Se doreşte transformarea acestuia în baza 2. Pentru a putea realiza acest lucru, vom privi numărul dat ca două numere distincte: partea întreagă 121 şi partea fracţionară 0,45. Prima dată vom transforma numărul 121 în binar, prin împărţiri succesive la 2 şi prin luarea resturilor obţinute la împărţiri în ordinea inversă a obţinerii. 12110 = 11110012 Pentru a transforma partea fracţionară 0,45 în binar va trebui să efectuăm înmulţiri succesive cu 2 şi să preluăm partea întreagă a rezultatelor. 0,45 * 2 = 0,9 -> 0 0,9 * 2 = 1,8 -> 1 0,8 * 2 = 1,6 -> 1 0,6 * 2 = 1,2 -> 1 … Algoritmul se opreşte în momentul în care partea fracţionară devine 0 sau s-a atins precizia dorită (numărul de cifre pentru reprezentarea rezultatului). 0,4510 = 0,011100112 Prin concatenarea rezultatelor parţiale se obţine rezultatul final al conversiei. Astfel: 121,4510 = 1111001,011100112
10110101,01101012 = 1*27 + 0*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 + 1*2-3 + 0*2-4 + 1*2-5 + 0*2-6 + 1*2-7 ≈ 181,414 2. Reprezentarea numerelor întregi Numerele întregi se reprezintă în calculator în formatul cu virgulă fixă. Numărul de biţi utilizaţi pentru reprezentare (n), determină numărul de valori distincte reprezentabile (2n). Pentru reprezentarea în calculator a numerelor întregi fără semn se utilizează următoarele coduri:
Ex.: 1101 => 13
În multe aplicaţii se lucrează însă cu numere întregi cu semn (numere algebrice), deci este necesară reprezentarea unui astfel de număr, folosind bitul de semn. Numerele algebrice pozitive se reprezintă întotdeauna prin valoare (mărime), având bitul de semn egal cu 0. Numerele negative se pot reprezenta în calculator utilizând diferite coduri. Dintre aceste coduri de reprezentare fac parte:
Numerele întregi se reprezintă prin mărime (valoare absolută) şi semn. Pentru numerele negative, bitul cel mai semnificativ (de semn) este 1, iar celalţi n-1 biţi servesc pentru reprezentarea valorii absolute a numărului. Ex.: N = -5 pe 8 biţi => 10000101
Pentru numerele negative, bitul de semn este 1, ceilalţi n-1 biţi servind pentru reprezentarea valorii absolute negate a numărului. Negarea se realizează la nivel de bit: biţii 0 devin 1 şi biţii 1 devin 0. Ex.: N = -5 pe 8 biţi => 11111010
Pentru reprezentarea numerelor negative se aplică următoarea regulă de complementare: se reprezintă numărul în valoare absolută, apoi se inversează bit cu bit, inclusiv bitul de semn (care devine 1) şi se adună 1 la rezultatul obţinut. Deci, complementul faţă de 2 se obţine din complementul faţă de 1, la care se adaugă 1. Ex.: N = -5 pe 8 biţi se reprezintă astfel: |N| = 5, adică 00000101 prin inversare devine 11111010+
11111011
Această codificare constă în adunarea unei valori constante la fiecare număr întreg (pozitiv sau negativ) care se reprezintă. Valoarea constantă notată E care se adună, este de regulă 2n-1, cu n numărul de biţi ai reprezentării. Matematic, un număr întreg N se reprezintă în cod exces E prin: E + N. Ex.: Numerele N1 = 5 şi N2 = -5 se reprezintă pe n = 8 biţi, în exces 27 = 128, prin: 128 + 5 = 133 respectiv 128 + (-5) = 123 E 10000000 10000000 N 00000101 11111011 10000101 01111011
Deci, codul în exces poate transforma un domeniu de numere algebrice într-un domeniu de numere aritmetice. Avantajul este că operaţiile cu numere aritmetice se implementează mai simplu (în hardware sau în software) decât operaţiile cu numere algebrice. 3. Operaţii cu numere reprezentate în virgulă fixă 3.1. Adunarea şi scăderea în complement faţă de doi Operaţiile de adunare şi scădere se reduc la operaţia de adunare a numerelor reprezentate în cod complementar. Se adună cei doi operanzi bit cu bit, inclusiv biţii de semn, iar eventualul transport care rezultă de la bitul de semn se va neglija. Rezultatul este obţinut în cod complementar. Exemple:
00001001+ 9 + 5 = 14 00000101 00001110
Mai întâi vom reprezenta -5 în complement faţă de doi: -5 => 11111011 După care realizăm adunarea: 00001001+ 9 - 5 = 4 11111011 00000100
y = -9 în complement faţă de 2 va fi: -9 => 11110111 00000101+ 5 – 9 = -4 11110111 11111100
Prin inversare se obţine: 00000011+
00000100 = 4 3.2. Înmulţirea numerelor fără semn Regulile de înmulţire binară sunt prezentate mai jos:
Prezentăm mai jos înmulţirea a două numere binare de câte 4 biţi: deînmulţitul 1011 11 înmulţitorul 1101 13 1011 0000
1011 1011 produs 10001111 143 Rezultatul se obţine pe lungime dublă, realizându-se trunchierea acestuia la lungimea simplă, dacă este necesar. Pentru operaţia de înmulţire pot fi stabilite următoarele reguli:
3.3. Împărţirea numerelor fără semn Operaţia de împărţire poate fi privită ca o scădere repetată a împărţitorului din deîmpărţit. Numărul care arată de câte ori se poate aplica scăderea formează câtul, iar reziduul rămas după ultima scădere formează restul.  1101 10 13:2 => cât 6, rest 1
 10 110
10
10 01
00 01
Înmulţirea a două numere binare cu semn utilizând deplasarea şi adunarea produselor parţiale ridică unele probleme complicate privind testarea semnelor şi execuţia corecţiilor necesare. O metodă alternativă ar consta în salvarea semnelorcelor două numere, conversia numerelor negative în numere pozitive şi apoi realizarea operaţiei de înmulţire conform algoritmului descris mai sus. Dacă semnele operanzilor sunt diferite, rezultatul este negativ şi produsul se va converti înapoi în complement faţă de 2. Complicaţiile metodelor descrise anterior pot fi înlăturate folosind metoda lui Booth unde, deasemenea, procedura nu ţine cont de semnul înmulţitorului. În această metodă cifrele înmulţitorului sunt examinate în perechi, începând cu cea mai puţin semnificativă pereche; deînmulţitul este adunat sau scăzut din produsul parţial acumulat, în funcţie de informaţia obţinută în urma comparaţiei biţilor înmulţitorului. Algoritmul pentru această metodă poate fi enunţat astfel:
Obs.: La deplasarea la dreapta a unui număr, se repetă bitul de semn în partea stângă. Pentru prima comparaţie se plasează un 0 după bitul LSB, prima comparaţie făcându-se între acest bit şi bitul LSB. Ex.: D = +12 = 0,1100 │ bitul de semn │ I = -14 = 1,0010 -14 este scris în complement faţă de doi deînmulţitul 0,1100 +12 înmulţitorul 1,0010[0] -14 0,000000000 00 => depl. dreapta 0,000000000 primul produs parţial 10 => scădere 1,0100 1,010000000 al doilea produs partial depl. dreapta 1,101000000 01 => adunare 0,1100 ignoră carry 0,011000000 al treilea produs partial depl. dreapta 0,001100000 00 => depl.dreapta 0,000110000 al patrulea prod. partial 10 => scădere 1,0100 1,010110000 depl. dreapta 1,101011000 rezultatul înmulţirii Rezultatul este negativ => complementare faţă de doi: 0,010100111 inversare rezultat 1 adună 1 0,010101000 = 168 Deci, 12*(-14) = -168. Obs.: Înainte de începerea înmulţirii, numerele negative se complementează faţă de doi. 3.5. Împărţirea numerelor în complement faţă de doi. Algoritmul cu restaurare. Iniţial se examinează semnul deîmpărţitului şi al împărţitorului, pentru a determina semnele câtului şi restului. Deîmpărţit Împărţitor Cât Rest > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 > 0
Metoda utilizată mai jos se numeşte algoritmul cu restaurare. El poate fi sintetizat astfel:
Obs.: La deplasarea împărţitorului la dreapta se repetă bitul de semn. Exemplu: D = 179 = 0,10110011 Î = 12 = 0,1100 => complement faţă de doi = 1,0100 0,10110011 1,0100 scade împărţitorul (adună compl. faţă de doi) 1,11110011 rezultat negativ =>restaurare deîmpărţit preia 0 pentru cât 0,10110011 1,10100 depl. dreapta împărţitor şi scade ignoră carry 0,01010011 rezultat pozitiv => preia 1 pentru cât 1,110100 depl. dreapta împărţitor şi scade ignoră carry 0,00100011 rezultat pozitiv => preia 1 pentru cât 1,1110100 depl. dreapta împărţitor şi scade ignoră carry 0,00001011 rezultat pozitiv => preia 1 pentru cât 1,11110100 depl. dreapta împărţitor şi scade 1,11111111 rezultat negaitv =>restaurare deîmpărţit preia 0 pentru cât restul 0,00001011 deîmpărţit restaurat Deci, câtul = 0,1110 = 14 restul = 0,00001011 = 11 4. Reprezentarea cifrelor zecimale Numerele zecimale, alcătuite din cifrele 0-9, se reprezintă în diferite coduri. Aceste coduri sunt utilizate mai ales de sisteme sau de dispozitive pe 4 biţi. Cel mai utilizat cod este codul zecimal codificat binar, BCD (Binary Coded Decimal). Cifrele de la 0 la 9 sunt reprezentate prin valori binare echivalente, pe câte 4 biţi, conform tabelului următor:
Avantajul acestei codificări este corespondenţa directă între cifra zecimală şi valoarea sa. O altă modalitate de reprezentare a cifrelor zecimale este codul BCD în exces 3. Cifrele zecimale sunt reprezentate pe câte 4 biţi, prin valorile cuprinse între 3 (0011) şi 12 (1100). Pentru sistemele cu dispozitive care utilizează numere în cod BCD, este necesară o operaţie de conversie din binar în BCD şi invers.
Fie N2 = 10101101
Rezultatul este NBCD = 173 4.2. Conversia din BCD în binar Regula de conversie este următoarea: se deplasează numărul BCD spre dreapta, cu câte o poziţie, începând cu bitul cel mai puţin semnificativ. După deplasare se scade 3 din acele decade care conţin un număr mai mare sau egal cu 8. Fie NBCD = 173
Rezultatul este N2 = 101011012 = 17310 5. Reprezentarea numerelor reale Numerele care intervin în calcule sunt numere nu neapărat întregi, unele sunt foarte mari, altele foarte mici, şi eventual cu multe cifre semnificative. De aceea este necesară o reprezentare a lor în care să se facă distincţie între ordinul de mărime şi precizie (numărul de cifre semnificative). În notaţia ştiinţifică, un număr este reprezentat astfel: N = M * 10E, unde E este exponentul, un număr întreg pozitiv sau negativ, ce determină ordinul de mărime al numărului, iar M este mantisa, un număr fracţionar, ce determină precizia numărului. Echivalentul în calculator al acestei notaţii este formatul cu virgulă mobilă, folosit pentru reprezentarea numerelor reale din matematică. Nu există o corespondenţă biunivocă între numerele reale şi numerele în virgulă mobilă. Astfel, numerele 0,998*109 şi 0,999*109 sunt consecutive în formatul în virgulă mobilă, dar în realitate între ele există o infinitate de numere reale. Cele mai importante diferenţe între numerele reale din matematică şi numerele reprezentate în virgulă mobilă sunt domeniul finit şi mulţimea discretă de valori. Domeniul finit şi discret este determinat de capacitatea fizică limitată a memoriei calculatorului. Numerele se reprezintă în formatul cu virgulă mobilă prin bitul de semn al numărului, exponent şi mantisă: n-1 0
e biţi m biţi În continuare vom folosi următoarele notaţii: b – baza de reprezentare a numărului; bm – baza de reprezentare a mantisei; e – numărul de biţi pe care se reprezintă exponentul; m – numărul de cifre ale mantisei; p – numărul de cifre ale părţii fracţionare a mantisei. De remarcat faptul că informaţia care nu se modifică nu se reprezintă. Astfel avem baza de numeraţie şi virgula, a cărei poziţie a fost stabilită prin convenţie (de exemplu, în stânga bitului cel mai semnificativ al mantisei, adică m = p). Mantisa se reprezintă, de regulă, în valoare absolută (prin mărime), baza de reprezentare bm fiind 2, 4, 8 sau 16. Corespunzător, mantisa este o succesiune de cifre în baza 2, 4, 8 sau 16, fiecare cifră fiind reprezentată în memoria calculatorului pe 1, 2, 3 şi respectiv 4 biţi. Condiţia de normalizare, care asigură unicitatea reprezentării numărului real în calculator, stabileşte numărul de cifre ale părţii fracţionare a mantisei. Considerând mantisa subunitară, având prima cifră după virgulă semnificativă, vom avea următoarea condiţie de normalizare: 0,1bm <= mantisa < 1. Dacă bm este 2, bitul cel mai semnificativ al mantisei este întotdeauna 1. Acest bit, în general, nu se reprezintă în memoria calculatorului (se numeşte bit ascuns), efectul fiind acela de a dubla numărul de mantise distincte ce se pot reprezenta. Observaţie: Tehnica bitului ascuns se referă doar la reprezentarea numerelor în memoria calculatorului, nu şi la operaţiile efectuate de unitatea aritmetico-logică. Pentru a creşte precizia reprezentării, trebuie mărit numărul de cifre ale mantisei. De regulă, acest număr se dublează, de unde rezultă şi denumirea de reprezentare în dublă precizie. Numărul total de mantise ce se pot reprezenta este: Nmantise = (b – 1) * bm-1. Pentru reprezentarea exponentului pe e biţi, care este întotdeauna un număr întreg pozitiv sau negativ, se utilizează, în general, un cod în exces (2e-1). Avantajul este acela de a lucra numai cu numere întregi fără semn, deci operaţiile sunt mai simple. De regulă, e = 7 sau 8 biţi. Prin reprezentarea în cod exces 2e-1, domeniul de valori al exponentului D = [-(2e-1-1), (2e-1-1)] se transformă în D’ = [1, 2e – 1]. Această convenţie se mai numeşte şi notaţie polarizată, polarizarea fiind numărul care trebuie scăzut din reprezentarea normală, fără semn, pentru a se obţine valoarea reală a exponentului. Valoarea 0 a exponentului în cod exces este rezervată pentru reprezentarea numărului 0. Pentru a mări domeniul de reprezentare, se alege baza numărului 4, 8 sau 16. Baza numărului (b) şi baza mantisei (bm) sunt, de regulă, egale.
1,000…002 <= mantisă <=1,111…112 Deoarece partea întreagă a mantisei este întotdeauna 1, aceasta nu se mai reprezintă în calculator. Se vor reprezenta doar cifrele de la dreapta virgulei, în total 23 de biţi. Precizia reprezentării este de 6 cifre zecimale. 31 30 23 22 0
În dublă precizie, un număr se reprezintă pe 64 de biţi, cu m = 53 de biţi, p = 52 de biţi, e = 11 biţi, iar exponentul este în cod exces 1023 (210-1). Se poate observa că domeniul de reprezentare este mult mai mare decât în simplă precizie, iar precizia a crescut la 15 cifre zecimale exacte. 31 30 20 19 0
31 0
5.1. Operaţii cu numere reprezentate în virgulă mobilă În cadrul acestui paragraf se vor considera numerele reale reprezentate în virgulă mobilă în formatul standard IEEE, simplă precizie. 5.1.1. Adunarea numerelor în virgulă mobilă La adunarea a două numere reprezentate în virgulă mobilă, A+B=C, se parcurg următoarele etape: a) Se compară exponenţii celor doi operanzi şi, în cazul în care diferă, se va deplasa mantisa operandului mai mic spre dreapta, cu un număr de poziţii egal cu diferenţa exponenţilor. Dacă această diferenţă este mai mare decât numărul de biţi pe care se reprezintă mantisa, rezultatul operaţiei de adunare este mai mare în modul. b) Se adună mantisele conform regulilor de adunare în virgulă fixă. c) Dacă la pasul b), a avut loc adunarea efectivă a modulelor mantiselor, iar rezultatul generează depăşire, Mc se deplasează cu o poziţie spre dreapta şi Ec se incrementează. Dacă Ec are valoare maximă şi nu se poate incrementa, atunci se poziţionează indicatorul de depăşire superioară (eof – exponent overflow). Dacă la pasul b) a avut loc scăderea efectivă a modulelor mantiselor, se vor avea în vedere două situaţii:
Dacă la un moment dat exponentul a ajuns la valoarea minimă şi nu se mai poate decrementa, se poziţionează indicatorul de depăşire inferioară (euf – exponent underflow). Exemplu: Să se adune în virgulă mobilă numerele 3,78 şi 0,43. În primul rând vom transforma cele două numere în binar, în formatul virgulă mobilă standard. Dacă este necesar, se va face normalizarea şi egalizarea exponenţilor. 3,7810 = 11,11000112 = 1,11100011 * 21 0,4310 = 0,011011102 = 1,101110 * 2-2 = 0,001101110 * 21 1,11100011+ 0,00110111 10,00011010 Deci rezultatul adunării este 10,00011010 * 21. Prin normalizarea mantisei se obţine: 1,00001101 * 22. Pentru reprezentarea rezultatului în formatul standard IEEE 754 simplă precizie va trebui să realizăm polarizarea exponentului (adunarea lui cu 127).
5.1.2. Înmulţirea numerelor în virgulă mobilă Iniţial se testează dacă este nul cel puţin unul dintre operanzi, caz în care rezultatul înmulţirii este, de asemenea, nul. Operaţia de înmulţire în virgulă mobilă constă în adunarea exponenţilor şi înmulţirea mantiselor. La adunarea exponenţilor este posibil să apară depăşire superioară (prin înmulţirea a două numere foarte mari în modul) sau depăşire inferioară (prin înmulţirea a două numere foarte mici în modul). În aceste cazuri se vor poziţiona în mod corespunzător indicatorii de depăşire superioară (eof) sau depăşire inferioară (euf). Dacă la înmulţirea mantiselor rezultatul nu este normalizat, în cazul în care exponentul Ec nu este minim, se va face o deplasare a mantisei Mc cu o poziţie spre stânga, cu decrementarea exponentului. La operaţia de refacere a exponentului Ec, se ţine cont că prin adunarea exponenţilor s-au adunat două deplasamente (2nr_biţi_exponent-1-1), deci se va scădea din exponentul rezultatului obţinut un deplasament. Exemplu: Să se înmulţească în virgulă mobilă numerele 8,36 şi 2,74. În primul rând vom transforma cele două numere în binar, în formatul virgulă mobilă standard. Dacă este necesar, se va face normalizarea şi egalizarea exponenţilor. 8,3610 = 1000,01012 = 1,0000101 * 23 2,7410 = 10,1011112 = 1,0101111 * 21 1,0000101*
10000101
10000101 10000101
10000101 00000000
10000101 00000000
10000101 . 1,01101011101011 Deci rezultatul final al înmulţirii este 1,01101011101011 * 24. Pentru reprezentarea rezultatului în formatul standard IEEE 754 simplă precizie va trebui să realizăm polarizarea exponentului (adunarea lui cu 127):
Yüklə 138,44 Kb. Dostları ilə paylaş:
|