Nuyuton hisob jarayoni (1.1.2) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa ni hisoblash zarurati noqulaylik tug’diradi.
Agar matritsa izlanayotgan yechimning atrofida uzluksiz va boshlang’ich yaqinlashish izlanayotgan yechimga yetarlicha yaqin bo’lsa, u holda taqriban ushbu
tenglikni o’rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni kamaytirib, quyidagi takomillash-tirilgan Nyuton usuli formulasini vujudga keltiradi:
1.1.5 chizma Nyuton usuli modifikatsiyasining algoritmi.
, , (1.1.13)
Shuni ta’kidlaymizki, (1.1.12) va (1.1.13) jarayonlar uchun dastlabki yaqinlashishlar va o’zaro mos keladi, ya’ni .
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 1.1.5 -chizmada tasvirlangan):
1. boshlang’ich yaqinlashish aniqlanadi.
2. matritsani hisoblaymiz.
3. (1.1.13) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz
4. Agar (1.1.12) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo’ladi va (1.1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 3-qadamga o’tiladi.
Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo’l bilan hisoblash mumkin bo’lmasa, u holda Nyuton usulini qo’llash murakkablashadi. Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib, xususiy hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan, nuqtada chap ayirma bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi quyidagicha yoziladi:
Ana shu yo’l bilan hisoblangan hosila qiymatlarini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini hisoblashga qo’llab,iteratsion jarayonlar hisobini oson-lashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matritsasi yomon shartlangan bo’lib qolishi ehtimolligi mavjud.
Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matritsasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi.
