Bisadze-Likov tenglamasi uchun bitta siljishli chegaraviy shartli masala haqida

Mamayusupov.J.SH. Bisadze-Likov tenglamasi uchun bitta siljishli chegaraviy shartli masala haqida
Mamayusupov.J.SH. About the single-shift boundary conditional issue for the Bisadze-Likov equation
Мамаюсупов.Ж.Ш О проблеме условной границы с одним сдвигом для уравнения Бицадзе-Ликова
Bisadze-Likov tenglamasi uchun bitta siljishli chegaraviy shartli masala haqida
J.SH.Mamayusupov.
Farg’ona politexnika instituti
ANNOTATSIYA
Tabiatdadagi tebranish jarayonlari differensial tenglamalar bilan tafsiflanadi. Keyingi tadqiqotlar shuni ko’rsatmoqdagi, ko’plab biologik jarayonlar kasr tartibli differensial tenglamalarga keltirilar ekan. Shuning uchun bunday tenglamalarni va ularga qo’yilgan masalalarni o’rganish muhim nazariy va amaliy axamiyatga ega. Bu va bunga o’xshash masalalar bo’yicha A.V.Bisadze, A.V. Likov, А.М.Нахушев, A.B.Pcxu, A.A.Kilbas, B.Qodirqulov va dunyoning yetuk olimlari ilmiy tadqiqot ishlarini olib borishgan. Biz bu maqolada Bisadze-Likov tenglamasi uchun bitta siljishli chegaraviy shartli masala haqida gaplashamiz va yechimini topamiz.
Kalit so’zlar: Mellin integral almashtirishi, Dirixle formulasi, Bisadze-Likov tenglamasi, Volterraning 2-tur integrali.
Аннотация
Колебательные процессы в природе описываются дифференциальными уравнениями. Дальнейшие исследования показывают, что многие биологические процессы сводятся к дифференциальным уравнениям дробного порядка. Поэтому изучение таких уравнений и поставленных перед ними задач имеет важное теоретическое и практическое значение. По этим и подобным вопросам А.V.Бисадзе, А.V. Егоров, А.М.Нахушев, А.B.Pcxu, A.A.Килбас, Б.Кадыркулов и ведущие ученые мира провели научно-исследовательскую работу. В этой статье мы поговорим о задаче с одним смещенным граничным условием для уравнения бисадзе-Ланова и найдем решение.
Ключевые слова: интегральная подстановка меллина, формула Дирихле, уравнение бисадзе-Ланова, Интеграл Вольтерры 2-го рода.
ANNOTATION
Vibrational processes in nature are interpreted by differential equations. Further research suggests that many biological processes are brought to fractional order differential equations. Therefore, the study of such equations and the issues posed to them has an important theoretical and practical relevance. On this and similar issues A.V.Bisadze, A.V. Likov, A.M.Nakhushev, A.B.Pcxu, A.A.Kilbas, B.Kadyrkulov and mature scientists of the world conducted scientific research. We will talk in this article about the single-shift boundary conditional issue for the Bisadze-Likov equation and find the solution.
Keywords: Mellin integral substitution, Dirixle formula, Bisadze-Likov equation, Volterra's type 2 integral.

Ushbu
(1)

Bisadze-Likov tenglamasini sohada ko’ramiz . Bu yerda soha to’g’ri chiziq kesmasi va yarim tekislikda yotuvchi (1) tenglamaning

xarakteristikalari bilan chegaralangan chekli bir bog’lamli soha.
Masala. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin:
1) ;
2) sohada (1) tenglamaning regulyar yechimi;
3) soha chegarasida
(2)
(3)
Bu yerda o’zgarmas son; berilgan funksiyalar, (1) tenglamaning nuqtasidan chiquvchi xarakteristikasining xarakteristika bilan kesishish nuqtasining koordinatalari; kasr tartibli integro- differensial operator .
Teorema: Agar bo’lsa, u holda (1)-(3) masalaning yechimi mavjud va yagona bo’ladi.
Isbot: (1)-(3) tenglama uchun sohada (2) va shart bilan berilgan Koshi masalasining yechimi

(4)
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda

-Eylerning gamma funksiyasi .
Qo’yilgan masalaning yechimini (4) ko’rinishda qidiramiz. Bunda (2) shartda berilgan funksiya, -esa noma’lum funksiya.
Noma’lum -funksiyani shunday tanlaymizki, (4) funksiya (3) shartni ham qanoatlantirsin. Shu maqsadda ni hisoblaymiz:
(5)
Bu yerda

(5) tenglikni (3) shartga qo’yib, quyidagi tenglikka kelamiz:
(6)
Bu yerda ,
(7) (8)
(7) va (8) ifodalarni hisoblash uchun Mellin integral almashtirishi
(9)
dan foydalanamiz . Ko’rsatish mumkinki, quyidagi
(10)

, (11)
tengliklar o’rinli bo’ladi. Agar
formuladan foydalansak, (10) va (11) tengliklarga ko’ra (6) ifoda Volterning 2-tur integral tenglamasi bo’ladi.
Bundan kelib chiqadiki teoremani shartlari va Integral tenglamalar nazariyasiga asosan qo’yilgan masala bir qiymatli yechimga ega bo’ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Samko S.G, Kilbas A.A, Marichev O.I, “Интегралы и производные дробного порядка и их приложения.”Минск:Наука и техника,1987.702с.
   
2. 
   O’rinov A.Q. Maxsus funksiyalar va maxsus operatorlar. Farg’ona: “Farg’ona” nashryoti, 2012.-112 b.
   
3. 
   Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальних функций. Минск: “Наука”, 1978.-312 c.