Centrul de excelenţĂ pentru tineri capabili de performanţĂ iaşi anul şcolar 2010 2011
Yüklə 138,65 Kb.
|
|
CENTRUL DE EXCELENŢĂ PENTRU TINERI CAPABILI DE PERFORMANŢĂ IAŞI Anul şcolar 2010 - 2011 Probleme de geometrie rezolvate vectorial Clasa a IX-a Prof. Iurea Gheorghe Prof. Munteanu Daniela 1. Considerăm în plan punctele M şi N şi triunghiul ABC. Dacă şi , demonstraţi că A, M, N sunt coliniare dacă şi numai dacă Soluţie: ; A, M, N coliniare 2. Fie triunghiul ABC cu laturile a, b, c, iar I centrul cercului înscris, M şi N astfel încât Să se arate că M, I, N sunt coliniare dacă şi numai dacă mb + nc = a. Soluţie: . M, I, N coliniare Observaţie: Folosind teorema transversalei, M, I, N coliniare 3. Fie Demonstraţi că , pentru orice punct P din plan. 4. Fie ABC un triunghi, iar P şi Q mijloacele laturilor (MN) şi (BC). Dacă PQ este paralelă cu bisectoarea unghiului A, arătaţi că Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC şi BM = x, CN = y. ; PQ || AD x = y. 5. Fie triunghiul ABC şi centrele O, I ale cercurilor circumscris, respectiv înscris. Să se arate că dacă are loc relaţia atunci Soluţie: . Cum , rezultă deci şi 6. Fie triunghiul ABC, M mijlocul lui (AC), astfel încât şi Arătaţi că punctele A, N, P sunt coliniare. Soluţie: deci 7. Fie , , vectori nenuli astfel încât + , - , +2 + 3 sunt coliniari. Arătaţi că , , sunt coliniari. Soluţie: + = x ; - = y , + 2 + 3 = z , x, y, z numere reale, iar direcţia comună. Rezultă: . 8. În triunghiul ABC considerăm . Fie , Dacă , determinaţi . Soluţie: ; ; . coliniari , deci . 9. O mulţime are 2010 vectori cu lungimi ce formează mulţimea {1, 2, ..., 2010} şi au direcţiile paralele cu două drepte concurente date. Demonstraţi că suma acestor vectori este nenulă indiferent de direcţiile şi sensurile lor. Soluţie: Fie şi vectorii daţi. . Din ceea ce este fals. 10. Considerăm triunghiul ABC şi AD, BF, CE bisectoarele unghiurilor triunghiului. Dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral. Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului. Atunci condiţia dată impune: , deci 11. Fie ABC un triunghi şi M un punct din planul său. Notăm cu simetricele punctului M faţă de mijloacele laturilor BC, CA, AB. Demonstraţi că sunt concurente. Soluţie: Fie mijloacele laturilor BC, CA, AB. Notăm cu vectorul de poziţie al punctului X faţă de un punct oarecare O din plan. Rezultă . Căutăm care să se exprime simetric în funcţie de . , alegem Va rezulta şi . 12. Fie A, B distincte în plan şi M arbitrar în plan. Arătaţi că . Soluţie: coliniari 13. Fie H ortocentrul triunghiului ABC, M, N, P mijloacele laturilor BC, CA respectiv AB, iar astfel încât Să se arate că sunt concurente. Soluţie: Notăm cu vectorul de poziţie al punctului X faţă de O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC şi . Atunci şi Căutăm un punct astfel încât să se exprime simetric în funcţie de . alegem x astfel încât deci Atunci Rezultă şi Prin urmare, dreptele sunt concurente în Q. 14. Fie ABCD un dreptunghi înscris în cercul C(O, R), M un punct de pe cerc şi ortocentrele triunghiurilor MAB, MCD. Demonstraţi că M este mijlocul lui Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris dreptunghiului. Atunci avem: , . Cum . 15. Fie un triunghi înscris în cercul C(O, R). Notăm ortocentrele triunghiurilor , unde M este un punct de pe cerc. Să se arate că sunt concurente. Soluţie: Dreptele sunt concurente în mijlocul segmentului MH, H ortocentrul triunghiului . 16. Se consideră rombul ABCD şi M (AB), N (BC) şi P (DC). Să se arate că centrul de greutate al triunghiului MNP se află pe dreapta AC AM + DP = BN. Soluţie: Alegem reperul cu originea în O, intersecţia diagonalelor rombului. Rezultă: si , unde l = AB, x = AM, y = BN, z = DP. Atunci G AC există u R astfel încât x – y + z = 0. 17. Se consideră triunghiul ABC şi punctele Să se arate că mijloacele segmentelor (AB), (AC) şi (DE) sunt coliniare dacă şi numai dacă Soluţie: Fie Notăm cu M mijlocul lui (AB), P mijlocul lui (AC) şi N mijlocul lui (DE). Avem: . M, N, P coliniare . Rezultă că 18. În paralelogramul ABCD se dau : AB = 4, BD = 3, BC = 2. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABD, I centrul cercului înscris în triunghiul BCD şi cu . Să se arate că G, I şi M sunt coliniare şi IG = 2IM. Soluţie: Faţă de un punct arbitrar O, si deci 19. Fie ABCX şi DEFX paralelograme. Arătaţi că triunghiurile ACE şi BDF au acelaşi centru de greutate. Soluţie: 20. Fie ABCDE pentagon şi M, N, P, Q punctele de intersecţie ale segmentelor ce unesc mijloacele laturilor opuse în patrulaterele BCDE, CDEA, EABD şi ABCE. Demonstraţi că MNPQ este paralelogram dacă şi numai dacă ABCD este paralelogram. Soluţie: În raport cu un punct O, şi analoagele. MNPQ este paralelogram . 21. Fie ABCD un patrulater inscriptibil, iar M, N, P, Q mijloacele laturilor (AB), (BC), (CD), (DA). Arătaţi că perpendicularele din M pe CD, din N pe DA, din P pe AB şi din Q pe BC sunt concurente. Soluţie: Notăm cu O centrul cercului circumscris patrulaterului ABCD, E intersecţia perpendicularelor din M pe CD şi din P pe CD, iar F intersecţia perpendicularelor din Q pe BC şi din N pe AD. MOPE şi OQFN sunt paralelograme. Rezultă 22. Se consideră un triunghi ABC şi punctele M (AB), N (AC). Demonstraţi că dreapta MN conţine centrul de greutate al triunghiului dacă şi numai dacă Soluţie: Fie . Faţă de un punct oarecare O, şi 23. Fie ABCDEF un hexagon regulat şi M (AC), N (CE) astfel încât Determinaţi k astfel încât punctele B, N, M să fie coliniare. Soluţie: În raport cu un punct O, ; . Dacă Q este centrul hexagonului, atunci şi , deci . B, N, M sunt coliniare dacă există x R astfel încât ; rezultă 1 – k = 2(1 – x) k; 0 = x – 3(1 – x) k, k = (1 – x)(1 – k) + 2(1 – x) k. Deducem . 24. Fie ABC un triunghi. Să se arate că IG || BC dacă şi numai dacă AB + AC = 2BC. Soluţie: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC. IG || BC 25. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral. Soluţie: Fie , deci ON = OM = OP. Din teorema lui Stewart avem: Rezultă a = b = c. 26. Fie triunghiul ABC şi L, M astfel încât , iar . Să se arate că A, M, L sunt coliniare. Soluţie: , deci 27. Se consideră punctele A, B, C, D coplanare, oricare trei necoliniare şi R, S ortocentrele triunghiurilor ABC, respectiv ABD. Să se arate că A, B, C, D sunt conciclice dacă şi numai dacă . Soluţie: Fie centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC şi ABD. Faţă de un punct O, avem: , deci . Astfel, 28. Fie ABC un triunghi, . a) Demonstraţi că AD < kAB + (1 - k)AC; b) Dacă (AD este bisectoarea unghiului A, demonstraţi că .
b) 29. Pe laturile (BC) şi (CD) ale patrulaterului convex ABCD, se consideră punctele M şi N astfel încât Fie Dacă arătaţi că ABCD este paralelogram. Soluţie: Fie , a şi b numere reale. Rezultă: şi deci ABCD paralelogram. 30. Fie ABC un triunghi, D mijlocul lui BC, M, N puncte pe BC astfel încât BM = CN. Arătaţi că Soluţie: Fie . Atunci deci şi 31. Fie ABCD un patrulater înscris într-un cerc de centru O şi X un punct în planul său. Se notează cu , respectiv simetricele punctului X faţă de ortocentrele, respectiv centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Să se arate că: a) Dreptele sunt concurente într-un punct H. b) Dreptele sunt concurente într-un punct G. c) Punctele Y, H, G sunt coliniare, Y simetricul lui X faţă de O. Soluţie: Alegem un reper cu originea în O. a) Avem: , deci Căutăm a R astfel încât să se exprime simetric în funcţie de Cum alegem Obţinem:
găsim 32. Fie ABCD un patrulater inscris în cercul C(O, R). Notăm ortocentrele triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Arătaţi că sunt concurente. Soluţie: În raport cu un reper cu originea în O, . Căutăm care se exprimă simetric în . Alegem 33. Pe laturile AB, BC, CD, DA ale paralelogramului ABCD se consideră M, N, P, Q astfel încât unde l, m, n, p > 0 şi . Arătaţi că dreptele QN, PM şi AC sunt concurente. Soluţie: şi analoagele. Relaţia dată devine: , deci m = l şi k = p. Rezultă AM = CP şi BN = DQ. Din paralelogramele AMCP, BNDQ şi ABCD rezultă concurenţa cerută. 34. Fie ABCD, CEFG, FHAI paralelograme. Daca M, N sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BEF şi DIG, atunci centrul de greutate al triunghiului ACF este mijlocul lui (MN). Soluţie: Folosim: “Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi UVW, atunci şi dacă XYZT este paralelogram, atunci . 35. Triunghiurile ABC şi A’B’C’ au acelaşi centru de greutate. Demonstraţi ca AA’, BB’, CC’ pot fi laturile unui triunghi. Soluţie: , deci AA’, BB’, CC’ pot fi laturile unui triunghi. 36. Fie ABCD un patrulater convex, G centrul de greutate al triunghiului BCD şi H ortocentrul triunghiului ACD. Demonstraţi că ABGH este paralelogram dacă şi numai dacă G coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului ACD. Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ACD. În raport cu O, ABGH este paralelogram dacă şi numai dacă , deci 37. Fie ABCDE un pentagon şi M, N, P, Q, R, S mijloacele segmentelor AB, BC, CD, DE, MP şi NQ. Arătaţi că . Soluţie: şi analoagele. Deducem şi , deci . 38. Fie ABCDE pentagon inscriptibil, iar ortocentrele triunghiurilor ABC, BCD, CDE, DEA, EAB şi mijloacele segmentelor DE, EA, AB, BC, CD. Demonstraţi că dreptele sunt concurente. Soluţie: Fie O centrul cercului circumscris pentagonului. Faţă de O, Căutăm un punct care sa aibă simetric în . . Considerăm si . Rezultă . 39. Arătaţi că într-un triunghi dreptunghic IG nu poate fi paralelă cu ipotenuza, însă poate fi paralelă cu una dintre catete. Soluţie: Fie triunghiul ABC dreptunghic în A. IG || BC , în raport cu un punct oarecare O. Rezultă , b + c = 2a. Cum , imposibil. IG || AB este echivalent cu a = 5k, b = 3k, c = 4k. 40. Fie (AB), (CD) două coarde perpendiculare ale unui cerc de centru O şi fie P punctul de intersecţie al dreptelor AB şi CD. Să se arate că . Soluţie: Fie M mijlocul lui (AB), iar N mijlocul lui (CD). Atunci şi . 41. Fie ABCD un patrulater convex, E mijlocul lui (AC), iar F mijlocul lui (BD). Dacă , , atunci ABCD este paralelogram. Soluţie: . Rezultă . Cum , deci ABCD este paralelogram. 42. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC, iar centrele de greutate ale triunghiurilor GBC, GCA, GAB. Arătaţi că . Soluţie: Fie O un punct oarecare al planului. Atunci avem: . 43. Fie vectorii de poziţie corespunzători vârfurilor triunghiului ABC, iar a, b, c lungimile laturilor BC, CA, AB. Să se arate că dacă , atunci triunghiul ABC este echilateral. Soluţie: Avem relaţia dată în forma: , deci triunghiul ABC este echilateral. 44. Să se arate că I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC dacă şi numai dacă , unde a = BC, b = AC, c = AB. Soluţie: Fie I centrul cercului inscris în triunghiul ABC şi AD bisectoarea unghiului A. Atunci: . Rezultă . Reciproc, fie I’ centrul cercului inscris. Avem:
a) EF || AC; b) E, F, G sunt coliniare.
De asemenea, (din AFC’G paralelogram), deci . În concluzie, E, F, G sunt coliniare. 46. Fie ABC un triunghi, D un punct pe (AB), E un punct pe (AC) astfel încât . Paralela prin E la BC taie AB în F. Arătaţi că: a) (AB) şi (DF) au acelaşi mijloc; b) mijloacele segmentelor (AB), (AC) şi (DE) sunt coliniare.
a) Dacă M’ este mijlocul lui DF, iar M este mijlocul lui (AB), atunci , deci M’ = M. b) Fie M, N, P mijloacele segmentelor (AB), (AC), (DE). De aici, .
a) este paralelogram; b) .
Avem: . Analog Deci În concluzie, este paralelogram. b)
a) triunghiurile ABC şi DEF au acelaşi centru de greutate; b) pentru orice punct X al planului, avem : .
b) Deci (inegalitatea este strictă deoarece un sunt coliniari). 49. Spunem că o mulţime A de vectori nenuli din plan are proprietatea (S) dacă are cel puţin trei elemente şi . a) Arătaţi că pentru orice , există o mulţime de vectori nenuli, care are proprietatea (S). b) Demonstraţi că o orice mulţime finită de vectori nenuli, care are proprietatea (S), are cel puţin 6 elemente.
sunt din A, cum sunt distincţi, diferiţi de , rezultă: , de unde urmează că , fals. Prin urmare, există astfel încât , multimea (cu (n + 1) elemente) are prorietatea (S). b) Fie . Alegem două axe, de versori , neparalele cu nici unul dintre vectorii . Rezultă: . Mulţimea M = are aceeaşi proprietate cu (S). Fie , cel mai mic element. Atunci există b, c diferite, b, c < 0 astfel încât a = b + c (dacă b > 0 sau c > 0, a nu poate fi cel mai mic element). Rezultă că M conţine cel puţin trei numere negative. Considerând cel mai mare element din M, găsim cel puţin trei numere pozitive în M. Rezultă . 50. Fie ABC un triunghi nedreptunghic, H ortocentrul său şi respectiv mijloacele laturilor BC, CA, AB. Fie simetricele lui H faţă de , iar ortocentrele triunghiurilor , şi . Demonstraţi că: a) triunghiurile ABC şi au acelaşi centru de greutate; b) centrele de greutate ale triunghiurilor , şi formează un triunghi asemenea cu triunghiul dat.
Din rezultă că , deci este simetricul lui A faţă de O. Rezultă că . a) Fie centrul de greutate al triunghiului şi G centrul de greutate al triunghiului ABC. Atunci avem: . . (am folosit etc.). Rezultă b) Fie centrul de greutate al triunghiului . Atunci şi analoagele. Rezultă asemanarea de raport .
|