Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari

Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil- xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda , boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi:
.
Yuqoridagiga oʻxshash 2-, 3-xil xom ashyolar uchun


tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi:



3.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.

Determinantlarni chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga tatbiqi bo‘lgan Kramer(determinant) usuli bilan tanishamiz. Aytaylik, bizga ta noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

(6)
Bu yerda noma’lumlar, koeffitsientlar, ozod sonlar.


Teorema 1.6. Agar (1.4.1)- tenglamalar sistemasining asosiy determinanti ( ) noldan farqli bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va u quyidagi formulalardan topiladi .
(7)
Bu Kramer formulasidan iborat. Bu yerda ga bosh determinant, larga yordamchi determinantlar deyiladi. Soddalik uchun uch noma’lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(8) (1.4.3)
uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda dastlab bosh (asosiy) determinant
(9)
topiladi. bo‘lsin. Undan so‘ng yordamchi determinantlar hisoblanadi (bunda bosh determinantning ustun elementlari mos ravsihda ozod hadlar bilan almashtiriladi):
(10)
Noma’lumlar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
(11)
7-misol.
Ushbu sistemani Kramer usulida yeching:

►Quyidagi determinantlarni tuzamiz va hisoblaymiz:
; ;


; .
Bundan, ◄

Agar bosh determinant nolga teng bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lmaydi yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Ya’ni,

1) bo‘lib, lardan kamida bittasi nolga teng bo‘lmasa, (8) tengamalar sistemasi yechimga ega bo‘lmaydi,
2) bo‘lib, bo‘lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.


8-misol.
Ushbu sistemani Kramer usulida yeching:

► Bosh determinantini hisoblaymiz:
.
Yordamchi determinantlarni hisoblaymiz:
.
bo‘lib, bo‘lgani uchun berilgan tenglamalar sistemasi yechimga ega emas.◄

9-misol.
Ushbu sistemani Kramer usulida yeching:

►Quyidagi determinantlarni tuzamiz va hisoblaymiz:
,
,
,
.
bo‘lib, bo‘lgani uchun sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.
Bu holda 2 ta tenglamani qoldirib, erkli noma’lum, masalan, deb, uni tenglikning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz:

Hosil bo‘lgan ikki noma’lumli tenglamalar sistemasini yana Kramer usulida yechamiz.
, , .
Demak,
tenglamalar sistemasining umumiy yechimi: .◄