Compléments sur les complexes

Compléments sur les complexes

Commentaires : Les objectifs sont :

1. 
   Aisance dans la manipulation des écritures algébrique et exponentielle, et dans les calculs
   
2. 
   Manipulation des racines n^ième d’un nombre complexes
   
3. 
   Résolution des équation du second degré à coefficients complexes
   

1- Ecritures algébrique et exponentielle
Exercice 1

1- Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

z₁=, z₂=, z₃=.

2- Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : z₁ = −1−i ; z₂ = −9i ; z₃ = 2−2i et z₄ = −7.

3- Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : et .

4- Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :

z₁=1+e^i, z₂= e^i+ e^i

où (,)².

5- Calculer le module et l’argument de z₁= et de z₂=1+i. En déduire le module et l’argument de . Que valent et de  ?

Exercice 2 Soit x.

1. 
   Exprimer sin(5x) et cos(5x) en fonction de sin(x) et cos(x).
   
2. 
   Linéariser cos⁴(x) et cos³(x)sin²(x).
   

Exercice 3 Soit  et n.

1. 
   Calculer C = , S=.
   
2. 
   Calculer B=.
   

2- Racines n^ième

Exercice 4 Soit j = .

1. 
   Ecrire j sous forme exponentielle et représenter dans le plan j et j².
   
2. 
   Calculer 1 + j + j².
   
3. 
   Calculer jⁿ pour n (on pourra distinguer plusieurs cas).
   
4. 
   Soient a, b, c trois complexes donnés. Résoudre le système suivant :
   

Exercice 5 Racines d’un nombre complexe

1. 
   Déterminer les racines cinquièmes de . Les tracer dans le plan complexe.
   
2. 
   Déterminer les racines n^ièmes de .
   

Exercice 6 Pour z, on pose : P(z) = (z + 1)⁵ − (z − 1)⁵.

1- Développer P(z) puis résoudre l'équation P(z) = 0.

2- Résoudre d'une autre façon l'équation P(z) = 0. On pourra pour cela utiliser les racines de l'unité.

3- En déduire la valeur de tan en fonction de radicaux.

Exercice 7 (exercice assez dur)

Soient les nombres complexes : , Z₁=+^+⁴ et Z₂=^+^+⁶.

1- Montrer que Z₁ et Z₂ sont conjugués. Calculer Z₁ + Z₂ et en déduire la partie réelle de Z₁.

2- Calculer Z₁Z₂, puis la partie imaginaire de Z₁. En déduire la valeur de .

3- Equation du second degré à coefficients complexes

Exercice 8 Résoudre dans  les équations suivantes :

1. 
   z²=4-3i
   
2. 
   2iz² + (1 + 2i)z + 1 = 0
   
3. 
   z² − (1 + 2i)z + (1 + 7i) = 0
   
4. 
   z² + 2iz + 2 − 4i = 0