Exercices sur les intégrales géNÉraliséES

Intégrales généralisées

Objectifs

- Comprendre la définition de la convergence d'une intégrale généralisée, et l'utiliser pour en calculer la valeur.

- Savoir étudier la convergence (absolue) d'une intégrale généralisée, à l'aide de comparaisons, et/ou des critères de Riemann.

- Savoir effectuer un changement de variable dans une intégrale généralisée.

- Savoir effectuer une IPP dans les intégrales généralisées.

- Voir quelques exemples d'intégrales semi-convergentes.

Exercice 1 En utilisant la définition d'une intégrale généralisée, étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes, et, lorsqu'elles convergent, calculer leur valeur.

I₁= I₂= I₃=

I₄= I₅= I₆=
Exercice 2 Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :

1- 9- 17-

2- 10- 18-

3- 11- 19-

4- 12- 20-

5- 13- 21-

6- 14- 22-

7- 15-

8- 16-
Exercice 3

1- Montrer que l'intégrale I = est convergente. Pour la suite, on admet que I = .

2 - On considère l'intégrale J = .

a- Montrer que J est convergente.

b- Utiliser, après l'avoir justifié, le changement de variable u = pour calculer la valeur de J.

3 - Pour  > 0, on considère l'intégrale K() = .

a- Pour quelles valeurs de  l'intégrale K() est-elle convergente ?

b- Calculer K.

Exercice 4

A l'aide d'une intégration par parties, montrer que est convergente.

Exercice 5

1- Soit f une fonction de classe , décroissante sur [a;+[ telle que soit nulle. En intégrant par parties, montrer que convergent.

2- Montrer que est divergente.

Indication : exprimer sin²x en fonction de cos(2x).

3- Montrer que sont convergentes. Sont-elles absolument convergentes ?

4- Soit a un réel strictement positif. Etudier la convergence de . Commenter.
Exercice 6

On définit la fonction f par f (x) = .

1- Quel est le domaine de définition de f ?

2 - Calculer f (0) et f (1).

3-a- Montrer que : x > 1, f (x) = f (x - 2).

(On pourra partir de f (x - 2) - f (x) et effectuer une intégration par parties)

b- En déduire la valeur de f (2) et de f (3).

4 - Montrer que la fonction f est positive et décroissante sur D_f.

5 - Prouver que : . En déduire la valeur de .
Exercice 7

1 - Pourquoi l'intégrale J = peut-elle être considérée comme une intégrale ordinaire ?

2-a- Montrer que pour tout x ]0,1[, .

b- En déduire que J = .

3 - Soit t]0,1[. Déterminer un encadrement de - ln(t) en intégrant les inégalités pour tout u[t, 1]..

4 - En déduire un encadrement de puis la valeur de J.

Exercice 8

1-a- Montrer que l'intégrale I = converge.

b- A l'aide d'un changement de variable, montrer que I = .

2 - En déduire la valeur de J = , où a est un réel strictement positif.

Exercice 9

Pour n, on définit I_n= et J_n=.

1- Justifier l'existence de ces intégrales.

2 - Montrer que pour tout n*, on a I_n – I_n-1 = 0. En déduire la valeur de I_n pour tout n.

3-a- On définit la fonction f sur [0,1] par f(x) = si x et f (0) = 0. Montrer que f est de classe C^l sur [0,1].

b- Donner la valeur de à l'aide d'une intégration par parties, puis celle de .

4- En déduire, à l'aide d'un changement de variable dans J_n, la valeur de .
Exercice 10

1 - Montrer la convergence de I = .

2 - Soit f la fonction définie sur  par f (x) = .

a- Montrer que = 0.

b- Montrer que f est dérivable sur  et que f(x) (on pourra appliquer le théorème de la moyenne à un taux d'accroissement de f).

3 - Pour x, on définit F(x) = f (x²) + .

Montrer que F est constante. En déduire la valeur de I.