Differensial hisobning asosiy teoremalari

5. Funksiya grafigining asimptotalari
Differensiallanuvchi funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma urinish nuqtasining lokal (yetarli kichik) atrofida funksiya grafigiga “ yaqin “ joylashgan. Bundan biz funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashda foydalangan edik. Ba’zi amaliy masalalrda uchraydigan funksiyalar grafiklari argument x biror a (chekli yoki cheksiz son) ga yaqinlashganda biror to‘g‘ri chiziqqa global yaqinlashishi mumkin.
Masalan, 1) y = arctg x funksiya grafigi x→+∞ da y =π/2 to‘g‘ri chiziqqa, x→-∞ da y=-π/2 to‘g‘ri chiziqqa yaqinlashib boradi:


6-Ta’rif. Agar biror l to‘g‘ri chiziq uchun

(bu yerda |f(x) – l| funksiya grafigidagi nuqta bilan l to‘g‘ri chiziq orasidagi masofa) tenglik bajarilsa, l to‘g‘ri chiziq f(x) funksiya uchun asimptota deyiladi.
Odatda y = c to‘g‘ri chiziqlar gorizontal, x = c to‘g‘ri chiziqlar vertikal, y=kx+b (k≠ 0) to‘g‘ri chiziqlar og‘ma to‘g‘ri chiziqlar deyiladi.
Ularga mos ravishda asimptotalar ham vertikal, gorizontal va og‘ma asimptotalar deyiladi.
Qanday shartlar bajarilganda asimptotalar mavjud bo‘ladi? Masalan, y = x² parabola, y = sin x sinusoidlar uchun hech qanday asimptota mavjud emas.
4-teorema. Agar

bo‘lsa u holda y = kx + b to‘g‘ri chiziq f(x) funksiya grafigining og‘ma asimptotasi bo‘ladi.
Misol. Ushbu

funksiya grafigining og‘ma asimptotasi topilsin.
Yuqoridagi 1-teoremadan foydalanib topamiz:

Demak, og‘ma asimptota y = 2x + 3 bo‘ladi.

6. Funksiya grafigini yasash
Ma’lumki, funksiyalar turli jarayonlarning matematik modellarini ifodalaydi. Jarayonlarning qanday kechishini aniqlashda, ya’ni funksiyalarning o‘zgarish xarakterini tasavvur qilishda ularning grafiklarini bilish muhimdir.
Funksiya grafigini yasash uchun, umuman aytganda quyidagi ma’lumotlarga ega bo‘lish kerak bo‘ladi:
1). Funksiyaning aniqlanish sohasi.
2). Funksiyaning juft, toq hamda davriyligi.
3). Funksiyaning o‘suvchi, kamayuvchi oraliqlari hamda ekstremumi.
4). Funksiya grafigining qavariqligi va botiqlik oraliqlari hamda egilish
nuqtasi.
5). Asimptotalari.
Misol. Ushbu

funksiya grafigini yasalsin.
1). Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi (- ∞;+∞) dan iborat.
2). f(x) funksiya juft funksiya bo‘ladi, chunki,

Demak, berilgan funksiyaning grafigi Oy o‘qiga nisbatan simmetrik joylashgan bo‘ladi. Shuning uchun funksiya grafigini [0;+ ∞) da aniqlash yetarli.
3). Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:

Ravshanki,

Demak, x=0 berilgan funksiyaning statsionar nuqtasi va f’’(0)= 4>0 bo‘lgani uchun x=0 da funksiya minimumga erishib, min f(x)=-1 bo‘ladi. Ayni paytda da

bo‘ladi. Bundan, berilgan funksiyaning [0;+ ∞) da o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi.
4). Ravshanki,



munosabatlardan y = 1 to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi ekanini topamiz. Yuqorida keltirilgan ma’lumotlardan foydalanib berilgan funksiya grafigini chizamiz: