Differensial hisobning asosiy teoremalari

11-ma’ruza
Mavzu. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Egri chiziqqa urinma va normal tenglamasi. Lopital qoidasi. Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari. Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, burilish nuqtalari, asimtotalari. Funksiyani to‘la tekshirish. Differensial hisobning amaliy masalalarda qo‘llanilishi.

Differensial hisobning asosiy teoremalari.
Ushbu mavzuda biz differensial hisobning asosiy teoremalarini keltiramiz. Bu teremalar funksiyalarni tekshirishda muhim rol uynaydi.
1-teorema. (Ferma teoremasi (1601-1665, fransuz matematigi)).
funksiya biror oraliqda aniqlangan va Xning biror ichki nuqtasida eng katta (eng kichik) qiymatga ega bo’lsa va shu nuqtada chekli hosilasi mavjud bo’lsa, u holda bo’lishi zarurdir.
2-teorema. (Roll teoremasi (1652-1719, fransuz matematigi)).
funksiya da aniqlangan, uzluksiz va da differensiallanuvchi bo’lib, bo’lsa, da uning hosilasi nolga teng bo’ladigan kamida bitta nuqta mavjud bo’ladi (ya’ni ).
Roll teoremasida quyidagi uchta asosiy shart berilgan:

1. 
   funksiya da uzluksiz;
   
2. 
   funksiya hech bo’lmaganda da differensiallanuvchi;
   
3. 
   kesma uchlarida . U holda bo’ladi.
   

3-teorema. (Lagranj teoremasi (1736-1813, fransuz matematigi)).
funksiya da aniqlangan, uzluksiz va da differensiallanuvchi bo’lsa, da kamida bitta shunday nuqta mavjud bo’ladiki, ushbu tengsizlik o’rinli bo’ladi:
(1)
va bu formula Lagranj formulasi deyiladi.
Lagranj formulasini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:


(2)
Logranj formulasining qulaylik tomoni shundadi, u differemsiallanuvchi funksiyaning chekli orttirmasi uchun taqribiy emas, aniq ifoda beradi. Lekin bu formulaning bitta noqulay joyi shundaki, bu aniq formulada no’malim bo’ladi. Lekin bu keyinchalik unchalik ahamiyatga ega emas.