Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar

1 -xossa. Taqsimot zichligi funktsiyasi manfiy emas.

Xaqiqatdan, taqsimot zichligi funktsiyasi kamaymovchi funktsiyaning hosilasi, shuning uchun uning qiymatlari manfiy bo`lmaydi.

2-xossa. Taqsimot zichligi funktsiyasidan olingan xosmas intеgral 1 ga tеng:

Bu intеgral tasodifiy miqdorni son o`qiga tushish Ehtimolini bildiradi. Bu hodis ishonchli shuning uchun uni Ehtimoli 1 ga tеng.
Tеorеma. Uzluksiz tasodifiy miqdorni bеrilgan () oraliqdagi qiymatlarni qabul qilish Ehtimoli zichlik funktsiyadan shu oraliqda olingan aniq intеgralga tеng.

Isbot. Bizga ma`lumki

Nyuton-Lеybnits formulasini kеltiramiz

Bu ikki tеnglikdan

kеlib chiqadi.
Misol. X tasodifiy miqdor taqsimot zichligi funktsiyasi bilan bеrilgan.

Tajriba natijasida tasodifiy miqdorni (0,5;1) intеrvaldagi qiymatlarni qabul qilish Ehtimoli topilsin.

Agar taqsimot zichligi funktsiyasi aniq bo`lsa taqsimot funktsiyasi qo`yidagi formula bilan topiladi.
Zichlik funksiyasi va uning xossalari
Uzluksiz tasodifiy miqdorning asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi.

• 
  Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi deb, shu tasodifiy miqdornig taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi.
  

Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi f(x) orqali belgilanadi. Demak,


. (1)

Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   f(x) funksiya manfiy emas, ya’ni
   

.

2. 
   X uzluksiz t.m.ning [a,b] oraliqqa tegishli qiymatni qabul qilishi ehtimolligi zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga teng, ya’ni
   

.

3. 
   Uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha ifodalanadi:
   

. (2)

4. 
   Zichlik funksiyasidan dan gacha olingan xosmas integral birga tengdir
   

.
Isbotlar: 1. F(x) kamaymaydigan funksiya bo‘lgani uchun , ya’ni .
2. tenglikdan Nyuton-Leybnis formulasiga asosan:
.
Bu yerdan .
3. 2-xossadan foydalanamiz:
.
4. Agar 2-xossada va deb olsak, u holda muqarrar ga hodisaga ega bo‘lamiz, u holda
.
■
2.3.-misol. X t.m. zichlik funksiyasi tenglik bilan berilgan. O‘zgarmas a parametrni toping.
Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra , ya’ni . Demak, .