Doğuran funksiya

Xarakteristik funksiyanın xassələri

1.

Başqa sözlə, xarakteristik funksiya həmişə var.

Doğrudan da

Deməli .

2. .

3.

4. Əgər asılı olmayan kəmiyyətlərdirsə, onda

.

Xüsusi halda təsadüfi kəmiyyətlər həm də eyni qanunla paylanmışdırsa, onda

.

5) Əgər təsadüfi kəmiyyətinin -cı tərtibdən mütləq momenti sonludursa, yəni

olarsa, onda xarakteristik funksiyanın -cı tərtibdən törəməsinin 0 nöqtəsindəki qiyməti aşağıdakı düsturla verilir:

.

Bu xassə, riyazi gözləmə, dispersiyanın və digər momentlərin hesablanmasında böyük rol oynayır.

6) = , burada xətt kompleks qoşmanı göstərir.

xarakteristik funksiyası yalnız və yalnız o vaxt həqiqi olur ki, o, cüt funksiya olsun.

xarakteristik funksiyasının həqiqi olması üçün zəruri və kafi şərt uyğun paylanma funksiyasının simmetrik olmasıdır, yəni və ya uyğun sıxlıq funksiyasının (əgər, varsa) cüt funksiya olmasıdır .

7) Xarakteristik funksiya müntəzəm kəsilməz funksiyadır.

8) əgər və xarakteristik funksiyalar olarsa, onda , ödəyən ixtiyari ədədləri üçün

funksiyası da xarakteristik funksiyadır.

9) Əgər xarakteristik funksiya olarsa, onda funksiyası da xarakteristik funksiyadır.

Doğurdan da,

münasibətindən və 4)-cü xassədən alırıq ki, xarakteristik funksiyadır.

10) əgər xarakteristik funksiya olarsa, onda həqiqi hissəsi, yəni də xarakteristik funksiyadır.

Doğurdan da,

bərabərliyində olduğunu nəzərə alsaq və səkkizincı xassəsində götürsək, onda bu xassənin doğruluğunu alarıq.

11) Əgər olarsa, onda . Qeyd edək ki, bu xassə tək tərtibli törəmələr üçün ödənilmir.

12) Əgər onda t olduqda

.

Verilən funksiyanın xarakteristik funksiya olub-olmadığını yoxlamaq üçün bu xassələrin ödənildiyini yoxlamaq lazımdır, başqa sözlə, bu xassələr zəruri şərtlərdir. Verilmiş funksiya bu şərtlər hər hansı birini ödəməzsə, o, xarakteristik funksiya deyil. Məsələn,

funksiyası xarakteristik funksiya deyil. Çünki şərti ödənmir.

Bəzi paylanmaların xarakteristik funksiyalarını tapaq:

1) Bernulli paylanması:

2) Binomial paylanma:

3) Puasson paylanması:

4) -də müntəzəm paylanma funksiyasının xarakteristik funksiyası

Xüsusi halda olarsa,

5) parametrli normal paylanmanın xarakteristik funksiyasını tapaq:

parametrli normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətinin xarakteristik funksiyasını tapaq:



(evdə hesablayın)

6) parametrli üstlü paylanmanın xarakteristik funksiyasını tapaq:

.

İndi isə xarakteristik funksiyalar üçün çevirmə düsturunu verək.

Xarakteristik funksiyalar haqqında teoremlər.

Xarakteristik funksiyanın tərifindən görürük ki, hər bir paylanma funksiyasına bir xarakteristik funksiya uyğun gəlir. Aşağıdakı çevirmə düsturu göstərir ki, hər bir xarakteristik funksiyanın uyğun paylanma funksiyası var. Başqa sözlə desək, paylanma funksiyalar çoxluğu ilə xarakteristik funksiyalar çoxluğu arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq var. Bu faktı göstərmək üçün əvvəlcə fərz edək ki, paylanma funksiyası mütləq kəsilməzdir, yəni, onun sıxlıq funksiyası var. Xarakteristik funksiyanın tərifinə görə

(1)

olur.

Furye çevirmələr nəzəriyyəsinə görə, (1) göstərir ki, xarakteristik funksiyası sıxlıq funksiyasının Furye çevirməsidir. Əgər olarsa, onda Furye çevirmələr nəzəriyyəsindən məlumdur ki, (1) çevirməsinin tərsi var və

. (2)

(2) göstərir ki, mütləq kəsilməz paylanmalar sinfində xarakteristik funksiya paylanma funksiyasını birqiymətli təyin edir. Bu faktın istənilən paylanma funksiyası üçün doğru olması aşağıdakı teoremdən (isbatsız) alınır.