Doğuran funksiya

11. Doğuran və xarakteristik funksiyalar.

Doğuran funksiya

Fərz edək ki, təsadüfi kəmiyyəti mənfi olmayan tam qiymətlər alan təsadüfi kəmiyyətdir, yəni 0,1,2,... qiymətləri

Belə ki,

k=0,1,2,...

.

Tam qiymətli təsadüfi kəmiyyətlər ailəsinin ehtimal xassələrini öyrənmək üçün doğuran funksiya anlayışından istifadə edilir.

Tərif.

Kimi təyin olunan funksiyaya təsadüfi kəmiyyətinin paylanmasının doğuran funksiyası deyilir.

Aydındır ki, olduğuna görə (1) sırası -də mütləq yığılır və deməli, funksiyası kompleks müstəvidə vahid dairədə korrekt təyin olunub və olur.

Xassələri:

1.

2. işarə edək.

- təsadüfi kəmiyyətin k-ci faktorial momenti adlanır.

Əgər < törəməsi vardır və

(1)

Xüsusi halda k=1 olarsa bu xassədən istifadə etməklə riyazi gözləməni hesablamaq olar.

(1).

Bu xasssədən istifadə etməklə, həm də dispersiya və digər yüksək tərtibli momentləri də hesablamaq olar.

k=2 olduqda 2-ci factorial moment

Digər tərəfdən,

Buradan (1) + .

Beləliklə, dispersiya üçün aşağıdakı düsturu yaza bilərik:

(1) + .

3.Əgər asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdirsə, onda

,

yəni asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərin cəminin doğuran funksiyası doğuran funksiyaların hasilinınə bərabərdir.

4.Doğuran funksiyalar ilə paylanmalar arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq vardır:

Əgər doğuran funksiyanın k-tərtib törəməsi varsa, , onda

, k=0,1,2,…,

burada .

Tapşırıq. Keçdiyimiz bütün diskret paylanmaların doğuran funksiyalarını hesablayın.

1) Bernulli paylanması

Asanlıqla görmək olar ki,

2) Binomial paylanmanın doğuran funksiyasını hesablayaq.

Doğuran funksiyanın tərifinə görə

Binomial paylanmanın doğuran funksiyasını Bernulli paylanmasının doğuran funksiyasının köməyi ilə də əldə etmək mümkündür (tapşırıq).

3) Puasson paylanmasının doğuran funksiyasını hesablayaq.