Ekstremmumlar nazariyasining geometrya, mexanika va fizika masalalariga tadbiqlar

X

-1

1

0

Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun bu ta`rifga misollar ko`raylik.

1. ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu kesmaning chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati nolga teng; ichki nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut qiymati bo`yicha kamaygan sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 bo`lganda esa u o`zining eng katta qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi.

   
   

2. ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 bo`lganda nolga, demak ƒ(x) funksiyaning qiymati + ga intiladi. Ammo berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, ) yarim intervaldan iborat bo`lib, funksiyaning eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga u istalgancha katta miqdordir.

   
   

Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik qiymati 0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi.

5-ta`rif. Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning bir necha ichki nuqtasi:
1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta qiymati deyiladi.
2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi ƒ(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi.
Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi (a,b) intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi.
Ferma teorimasi. ƒ(x) funksiya biror (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bo`lib shu intervalning biror x<sub>o</sub> nuqtasida o`zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsin. Agar ƒ`(x<sub>o</sub>) hosila mavjud bo`lsa, u holda shu hosila nolga teng bo`ladi, ya`ni ƒ`(x<sub>o</sub>)=0.
Isboti. Aniqlik uchun ƒ(x)funksiya x<sub>o</sub> nuqtada o`zining eng katta qiymatiga erishsin deylik, ya`ni Bundan agar x<sub>o</sub> bo`lsa,

Agar x>x_o bo`lsa,

tengsizliklarni yozish mumkin. Teorimaning shartiga ko`ra, ƒ`(x_o) hosila mavjud. Shuning uchun (3) tengsizlikdan da ni (4) dan da ni hosil qilamiz. Bu ikki munosabatdan f`(x<sub>o</sub>)=0 ekani chiqadi. Teorima isbot bo`ldi.

Ekstremum mavjud bo`lishining zaruriy sharti

1-teorima. Agar x_o nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya uchun x_o nuqta ekstremum nuqta bo`lsa, u holda ƒ`(x_o) hosila yo nolga teng, yo mavjud emas.

Isboti: nuqtaning shunday atrofini olamizki, u atrofda ƒ(x) funksiyaning boshqa ekstremum nuqtasi bo`lmasin. Jumladan, biror δ>0 uchun ( ) interval shunday atrof xizmatini o`taydi. Shuning uchun, ( ) intervalning nuqtasida funksiya yo eng katta, yo eng kichik qiymatga erishadi; demak, Ferma teorimasiga ko`ra, agar mavjud bo`lsa, bo`ladi. Ammo nuqtada mavjud bo`lmasligi ham mumkin.

a

x₀

a

0

b

y

a-chizma

x₀

x