Fənn: Həqiqi dəyşənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Ədəbiyyat siyahısı
Yüklə 0,8 Mb.
|
|
Kurs: IV Fənn: Həqiqi dəyşənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Ədəbiyyat siyahısı: 1. Колмогоров А.Н.Фомин С.Б.Элементы теории функии и функционального анализа, М, 1968 2. Люстерник А.А., Соболев Б.Н.Краткий курс функциоального анализа.Москва, 1982 3.Натансон И.П.Теория функций вещественной переменой,Москва,1982 4. Вулих Б.З.Введени в функциональный анализ М, <<Наука>>,1972 5. Aslanov H.İ Funksional analiz, Bakı ,2012 6.Həbibzadə Ə.S. Funksional analiz, Bakı 1978 7.Петров В.А, Виленкин Н.Я, Граев М.И.Элементы функционального анализа в задачах.М.,1978 Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu sahil.liyev.83@mail.ru Mövzu1:İnikas anlayışı.İnikasın növləri. Plan:
İnikasın tərifi,çoxluğun obrazı və proobrazı anlayışları. İnikasın növlərinin tərifi və misallar. İnikasın proobrazlarla bağlı xassələri,teoremləri və nəticələri. İnikasın obrazlarla bağlı xassələri,teremləri və nəticələri. Tutaq ki, X və Y çoxuqları istənilən təbiətli çoxluqlardır(xüsusi halda ədədi çoxluqlar ola bilər). Tərif: Əgər X çoxluğunun hər 1 x elementinə Y çoxluğunun yanlız və yalnız y elementi uyğun olarsa, onda bu uyğunluq Y çoxluğuna inikası adlanır.Belə inikas olunur yaxud y=f(x).İnikasın x elemtinə y elementinin qarşı qoyması isə ilə işarə olunur.Bəzən inikas termini əvəzinə funksiya terimini işlənir.X çoxluğu f inikasının təyin oblastı, f(x) qiymətlər küllüsi ilə inikasın qiymətlər oblastı adlanır.İnikasın təyin oblastı D(f), qiymətlər oblastı isə E(f) ilə işarə olunur.Əgər elementinə uyğun element olarsa onda elementini x elementinin obrazı adlanır. Obrazı elementi olan bütün elementləri küllüsi y elementinin proobrazı adlanır və simvolu ilə işarə olunur.
Tutaq ki, çoxluğu verilmişdir. elementlər küllüsi A çoxluğunun obrazı adlanır və belə işarə olunur f(A) çoxluğun proobrazı anlayışı daxil olunur.Obrazı çoxluğuna daxil olan bütün elementlər küllüsi B çoxluğunun proobrazı adlanır və simvolu ilə işarə olunur.Ola bilər ki, olsun. Tərif 1: Əgər elementinin proobrazı boş çoxluq yaxud 1 elementdən ibarət olarsa onda inikası intektiv inikas adlanır. Tərifdən göründüyü kimi f inyektiv inikas olduqda şərtini ödəyən , elementləri üçün olar. Tərif 2: Əgər elementinin proobrazı boş çoxluq deyilsə onda inikası suryektiv inikas adlanır. Tərif 3: Əgər inikası həm suryektiv,həm də inyektiv inikas olarsa onda f biyektiv inikas adlanır. Tərif 3-ə görə inikas biyektiv olduqda elementinin proobrazı yalnız və yalnız 1 elementdən ibarətdir. Belə nəticəyə gəlirik ki, inikası üçün aşağıdaki hallar mümkündür. İnikas həm inyektiv və suryektivdir və deməli biyektivdir. İnikas inyektivdir lakin suryektiv deyil. İnikas suryektivdir lakin inyektiv deyil. Misal 1: A=[1,3] , B=[1,9] olsun. Tutaq ki, , düsturu ilə verilmişdir. Onda f biyektiv inkas olar.Yəni f həm inyektiv,həm də suryektiv inikasıdır. Misal 2: A={1,2} , B={a,b,c} olsun.Tutaq ki, , inikası ele inikasdır ki, onda f suryektiv olmayan, inyektiv inikas olur.Çünki -dur. İnikasın əsas xassələrini nəzərdən keçirək. Fərz edək ki, inikası verilmişdir. Teorem 1: , çoxluqlarının birləşməsinin proobrazı bu çoxluqların proobrazlarının birləşməsinə bərabərdir. İsbatı: Tutaq ki, bu isə o deməkdir ki, . Yəni, f(x) elementi çoxluqlardan heç olmazsa birinə daxildir.Onda x elementi çoxluqlardan heç olmazsa birinə daxil olar.Deməli, . Tərsini göstərək Tutaq ki, onda x elementi çoxluqlarından heç olmazsa birinə daxildir.Bu isə o deməkdir ki, elementi çoxluqlardan heç olmazsa birinə daxildir.Yəni, buradan alınır ki, . Teorem 2: çoxluqlarının kəsişməsinin proobrazı bu çoxluqların proobrazlarının kəsişməsinə bərabərdir. İsbatı:Tutaq ki, olarsa onda . Deməli , üçün olar. Buradan alınır ki, .Tərsini göstərək. Əgər olarsa onda üçün olar.Deməli, . Başqa sözlə .Buradan alınır ki, . Teorem 3: çoxluqların birləşməsinin obrazı bu çoxluqların obrazlarının birləşməsinə bərabərdir. İsbatı: Tutaq ki, bu isə o deməkdir ki, y=f(x) və . Deməli, x elementi çoxluqlardan heç olmazsa birinə daxildir.Yəni y elementi çoxluqlarından heç olmazsa birinə daxildir.Beləliklə, alınır ki, . İndi isə olduğunu fərz edək. Onda y elementi çoxluqlarından heç olmazsa birinə daxil olar.Buradan isə alınır ki, y=f(x) və x elementi çoxluqlardan heç olmazsa birinə daxildir.Deməli, beləliklə alınır.Qeyd edək ki, 1,2,3 teoremləri çoxluqların sayı sonsuz olduğu halda da doğrudur.Çoxluqların kəsişməsinin obrazı ümumiyyətlə bu çoxluqların obrazlarının kəsişməsi ilə üst-üstə düşmür. Misal: , olsun. Tutaq ki, f inikası çoxluğun absis oxu üzərinə proyeksiyasıdır.Yəni aydındır ki, ,
Teorem 4: inikasında çoxluğu üçün İsbatı: elementini götürək. Onda f(x) Y\A olar.Yəni, və .Deməli, və Buradan alınır ki, Tərsini göstərək. İndi isə olsun.Onda olar.Buradan alınır ki, və yəni f(x) Y\A. Deməli olar. inikasının xassələrini ifadə edən teoremdən aşağıdaki nətəcələr alınır. Nəticə 1: çoxluqları üçün (A\B)= Doğurdan da olduğunu nəzərə alsaq,alarıq ki,
Nəticə 2: çoxluqları üçün Doğurdan da, . Kurs: IV
Fənn: Həqiqi dəyşənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Ədəbiyyat siyahısı: 1. Колмогоров А.Н.Фомин С.Б.Элементы теории функии и функционального анализа, М, 1968 2. Люстерник А.А., Соболев Б.Н.Краткий курс функциоального анализа.Москва, 1982 3.Натансон И.П.Теория функций вещественной переменой,Москва,1982 4. Вулих Б.З.Введени в функциональный анализ М, <<Наука>>,1972 5. Aslanov H.İ Funksional analiz, Bakı ,2012 6.Həbibzadə Ə.S. Funksional analiz, Bakı 1978 7.Петров В.А, Виленкин Н.Я, Граев М.И.Элементы функционального анализа в задачах.М.,1978 Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu sahil.liyev.83@mail.ru Mövzu 2: Sonlu və sonsuz çoxluqlar.Çoxluqlar üzərində əməllər və onların xassələri ilə bağlı teoremlər. Plan:
Sonlu və sonsuz çoxluqlar. Çoxluqlar üzərində birləşmə və kəsişmə əməlləri. Çoxluqlar üzərində fərq və simmetrik fərq əməlləri. Çoxluqlar üzərində ikili prinsip Çoxluqların xarakteristik funksiyaları və onlar arasında münasibətlər. Çoxluq elementlərinin sayından asılı olaraq sonlu və sonsuz ola bilər.Elementlərinin sayı sonlu olan çoxluq sonlu çoxluq adlanır. Məs: Qrupdaki tələbələr çoxluğu,aditoriyadaki stullar çoxluğu.Sonsuz sayda elementlərdən ibarət çoxluq sonsuz çoxluq adlanır. Məs: Natural ədədlər çoxluğu,müstəvi üzərindəki düz xəttlər çoxluğu,düz xəttin nöqtələri çoxluğu və.s iki sonlu çoxluğu onların elementlərinin sayına görə müqaisə etmək olar. Qeyd edək ki, 2 sonlu çoxluğu həmin çoxluqların elementləri arasında biyektiv inikas qurmaqlada müqaisə etmək olar. Məs: Qrupdaki tələbələrin sayı ilə atudoriyadaki stulların sayının bərabər olmasını bilmək üçün hər bir stulda bir tələbə əyləşdirmək lazımdır.Əgər tələbələrin hamısı əyləşmişsə və boş stul yoxdursa deməli,bu çoxluqlar arasında biyektiv inikas qurulmuşdur.Yəni, qrupdaki tələbələrin sayı stulların sayını bərabərdir. Aydındır ki, 2 sonlu çoxluq arasında o halda biyektiv inikas qurmaq olar ki, bu çoxluq elementləri sayına bərabər olsun. Çoxluqlar üzərində əməllər A və B istənilən çoxluqlar olsun. A və B çoxluqlarının birləşməsi elə C çoxluğuna deyilir ki, C çoxluğunun hər bir elementi A və B çoxluqlardan heç olmazsa birinə daxil olsun və Anoloji qayda ilə istənilən sonlu və sonsuz sayda çoxluqların birləşməsi müəyyən olunur Məs: , olduqda sonsuz sayda çoxluqlardır.İstənilən sayda çoxluqların cəmi elementləri bu çoxluqlardan heç olmazsa birinə daxil olan çoxluğa deyilir və simvolu ilə işarə edilir ( diskret yaxud kəsilməz qiymətlər alan indeksdir).Deməli, Çoxluqların birləşməsinin təsviri aşağıdaki kimdir. A və B çoxluqlarının hər birinə daxil olan elementlərdən ibarət C çoxluğu bu çoxluqların kəsişməsi adlanır və belə işarə olunur . Çoxluqların kəsişməsinin təsviri aşağıdaki kimdir. İstənilən sayda çoxluqlarının kəsişməsi istənilən elementi bu çoxluqların hər birinə daxil olan çoxluğa deyilir və belə işarə olunur. . Deməli, . Təriflərdən göründüyü kimi çoxluqlarının birləşməsi və kəsişməsi əməlləri kommutativ və assosyativlik xassələrinə malikdir, yəni Çoxluqların birləşməsi və kəsişməsi əməlləri qarşılıqlı distributivlik xassələrinidə ödəyir: (1) Bu bərabərliklərdən birincisinin doğruluğunu yoxlayaq.Tutaq ki, x elementi (1) bərabərliyinin sol tərəfindəki çoxluğa daxildir,yəni Bu isə o deməkdir ki, x elementi C çoxluğuna daxildir və bundan əlavə A və B çoxluqlarından heç olmazsa birinə daxildir. Onda x elementi çoxluqlarından heç olmazsa birinə daxil olur. Buradan isə alınır ki, . Tərsini göstərək. Tutaq ki, x elementi (1) bərabərliyinin sağ tərəfindəki çoxluğa daxildir onda , . Münasibətlərindən biri doğrudur.Deməli, və digər tərəfdən x elementi A və B çoxluqlarından heç olmazsada birinə daxildir. Yəni Beləliklə, bərabərlik isbat olundu. Anoloji qaydada (2) bərabərliyinin doğruluğu isbat olunur. A və B çoxluğunun fərqi elə C çoxluğuna deyilir ki, C çoxluğunun hər bir elementi A çoxluğuna daxildir. B çoxluğuna isə daxil deyil.
A və B çoxluqlarının fərqi belə işarə olunur A və B çoxluqlarının fərqi anlayışı daxil edilərkən ümumiyyətlə olması şərti tələb olunmur. A və B çoxluqlarının simmetrik fərqi çoxluqlarının birləşməsindən ibarət çoxluğa deyilir və belə işarə olunur. Yaxud
Təsviri:
Tərifdən alınır ki, A və B çoxluqlarının simmetrik fərqi kommutativlik və assosyativlik xassələrinə daxildir. Tutaq ki, hər hansı S əsas çoxluğu və alt çoxluğu verilmişdir.Bu halda S\A fərqi A çoxluğunun tamamlayıcı çoxluğu adlanır və ilə işarə olunur.Deməli, Məs: İkilik prinsipi adlanan aşağıdaki təklif çoxluqlar nəzəriyyəsində və bu çoxluqların tətbiqində mühüm rol oynayır.
İxtiyari sayda çoxluqların birləşməsinin tamamlayıcısı bu çoxluqların tamamlayıcılarının kəsişməsinə bərabərdir. (3) İxtiyari sayda çoxluqların kəsişməsinin tamamlayıcısı bu çoxluqların tamamlayıcılarının birləşməsinə bərabərdir. (4) İsbatı: Göstərək ki, (3) münasibəti doğrudur.Fərz edək ki, onda . Deməli, üçün və Yəni İndi isə göstərək ki, (3) bərabərliyinin sağ tərəfindəki çoxluğa daxil plan hər bir element həm də bərabərliyin sol tərəfindəki çoxluğa daxildir.Əgər olarsa onda üçün və . Deməli, buradan isə alınır ki, beləliklə, (3) bərabərliyi isbat olundu. Anoliji qaydada (4) münasibəti isbat olundu. Tutaq ki, çoxluğu S çoxluğunun alt çoxluğudur. S çoxluğunda təyin olunmuşdur.
Funksiyası A alt çoxluğunun xarakteristik funksiyası adlanır və xarakteristik funksiyasının qrafikinin təsviri göstərilmişdir. olduqda olar. çoxluqlarının xarakteristik funksiyaları ilə , çoxluqlarının xarakteristik funksiyaları arasında aşağıdaki münasibətlər doğrudur: Bu bərabərliklərdən birincisinin doğruluğunu göstərək, xarakteristik funksiyasının tərifinə görə Aydındır ki, Bu isə 1. bərabərliyinin doğruluğu deməkdir. İndi isə 4 bərabərliyinin doğruluğunu göstərək. Xarakterstik funksiyasının tərifinə, Bərabərliyinə və 2 və 3 bərabərliyinə əsasən aşağıdaki bərabərlik alınır: Aydındır ki, Beləliklə, 4 bərabərliyi isbat olundu. Qeyd edək ki, 1-4 bərabərliyinin doğruluğu xarakteristik funksiyaların qrafik təsvirlərdən alınır. Kurs: IV
Fənn: Həqiqi dəyşənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Ədəbiyyat siyahısı: 1. Колмогоров А.Н.Фомин С.Б.Элементы теории функии и функционального анализа, М, 1968 2. Люстерник А.А., Соболев Б.Н.Краткий курс функциоального анализа.Москва, 1982 3.Натансон И.П.Теория функций вещественной переменой,Москва,1982 4. Вулих Б.З.Введени в функциональный анализ М, <<Наука>>,1972 5. Aslanov H.İ Funksional analiz, Bakı ,2012 6.Həbibzadə Ə.S. Funksional analiz, Bakı 1978 7.Петров В.А, Виленкин Н.Я, Граев М.И.Элементы функционального анализа в задачах.М.,1978 Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu sahil.liyev.83@mail.ru Mövzu 3: Çoxluğun gücü anlayışı.Eyni güclülük əlamətləri. Plan:
Eyni güclü çoxluqlar. Kardinal ədadlər. Çoxluqların eyni güclülüyü haqqında teoremlər. Tutaq ki, n elementdən ibarət olan sonlu A , m elementdən ibarət olan sonlu B çoxluqları verilib. Onlar arasındaki 3 münasibətdən biri doğrudur. Aydın məsələdir ki, bu münasibətlərdən hamısının doğru olduğunu yoxlamaq üçün ya onların elementlərini saymaqla ya da elementlər arasında qarşılıqlı bir qiymətli uyğunluq yaratmaqla bilmək olar. Əgər iki sonsuz A və B çoxluqları verilibsə onda onların elementlərinin sayı haqqında hecnə demək olmaz.Deməli, onların elementlərinin sayına görə müqaisə etmək olmaz.Ancaq bu iki çoxluğun elementlərinə qarşı qoyma əməlinə əsasən müqaisə etmək mümkündür. Tərif: Əgər A çoxluğunun hər bir elementinə hər hansı 1 qanuna uyğunluqla B çoxluğunun ancaq və ancaq bir b elementi qarşı qoyulubsa və əgər B çoxluğunun hər bir elementi A-dan ancaq və ancaq elementinə uyğundursa onda deyirlər ki, A və B çoxluqlarının elementlərinin arasında qarşılıqlı bir qiymətli uyğunluq vardır. Əgər A və B çoxluqlarının elementləri arasında qarşılıqlı bir qiymətli uyğunluq varsa bu çoxluqlara ekvivalent ( eynigüclü) çoxluqlar deyilir və kimi işarə edilir. Asanlıqla görünür ki, ekvivalentliyin aşağıdaki xassələri var.
refleksiv onda simmetriklik , onda tranzitivlik Sonlu çoxluqlarda eyni güclülük anlayışı onların elementlərinin sayına bərabər olması kimi başa düşülür. Beləliklə, çoxluğun gücü anlayışı onların elementlərinin sayının ümumiləşməsidir. Ekvivalent çoxluqlara misal göstərək: Misal 1: Bütün natural ədədlər çoxluğu bütün cüt ədədlər çoxluğuna ekvivalentdir. Çünki hər bir natural n ədədinə uyğun olaraq 1,2 n cüt ədədi və hər bir cüt ədədə qarşı onun yarısına bərabər olan natural n ədədi uyğundur. Misal 2: Bütün natural ədədlər çoxluğu, bütün tam ədədlər çoxluğuna ekvivalentdir. Bu uyğunluq aşağıdaki münasibətlə verilir. burada x- bütün natural ədədlər çoxluğu elementi, y-bütün tam ədədlər çoxluğu elementi, isə ədədinin tam hissəsidir. Misal 3: seqmentinin x nöqtələr çoxluğu ixtiyari parçasının y elementləri çoxluğuna ekvivalentdir. Bu uyğunluq
Münasibəti ilə verilir. Tutaq ki, hər hansı A çoxluğu verilib. A çoxluğu ilə yanaşı ona ekvivalent olan bütün mümükün çoxluqlara baxaq. Bu şəkildə ekvivalent çoxluqların küllüyatının öz aralarında ekvivalent olan çoxluqlar sinifi adlandıraq. Bu ekvivalent çoxluqların hər bir sinifinə bir M simvolunu qarşı qoyaq. Ona kardinal ədəd və ya baxılan sinifdən olan istənilən çoxluğun gücü deyirlər. Çoxluqların elementləri arasında qarşılıqlı bir qiymətli uyğunluq yaratmaq üçün obların elementləri sayı məlum olmalıdır. Bu saya o çoxluqların gücü deyilir. Çoxluqların elementini saymaq mümkündürsə belə çoxluqlara sonlu çoxluqlar deyilir. Çoxluğun elementlərini saymaq mümkün deyilsə belə çoxluqlara sonsuz çoxluq deyilir. Sonlu çoxluğun elementləri sayı o çoxluğun gücüdür.Sonsuz çoxluqlar üçün bu fikri söyləmək olmaz.Saymq ancaq sonlu çoxluqlara aiddir. Müqaisə isə hər iki çoxluğa aiddir. Aydın məsəslədir ki, sonlu və sonsuz çoxluqların kardina ədadlərnən müqaisədə onların müəyyən edilməsində aşağıdaki ümumi bir qayda bar Tutaq ki, çoxluqlar sinifindən ibarət olan çoxluqlardan biridir və onların hər birinin gücünə uyğun olaraq kardinal ədədi qarşı qoyulur. B-də həmin sinifə daxil olan çoxluqlardan biridir və onun gücünə qarşı uyğun olaraq kardinal ədədi qarşı qoyulur. Onda: isə . A B-ə ekvivalent deyil, lakin A-da elə məxsusi hissə var ki, o B-ə ekvivalentdir Əgər A B-ə ekvivalent deyilsə, lakin B-nin elə məxsusi hissəsi var ki, A-ya ekvivalentdir. Onda Kardinal ədədlərin bərabərsizliyi üçün tranzitivlik xassəsini isbat etmək olar, yəni . Burada istənilən kardinal ədədlərdir. Doğurdanda tutaq ki, kardinal ədədləri olan çoxluqlar uyğun olaraq A, B, C-dir. Onda görərik ki, A C-ə ekvivalent deyil( əks halda olardı və buradanda alardıq bu isə mümkün deyil) və A B-nin hər hansı məxsusi hissəsinə ekvivalentdir.Bu hissəni -la işarə edək.B və çoxluqlarının elementləri arasında qarşılıqlı bir qiymətli uyğunluq yaradaq. Burada C-nin məxsusi hissəsidir və B-yə ekvivalentdir. Biz eyni zamanda ekvivalentdir münasibətinidı qurmuş oluruq. Burada -un məxsusi hissəsidir. Özüdə C-nin məxsusi hissəsidir. Beləliklə, A-C-yə ekvivalent deyil. Lakin onun hər hansı məxsusi hissəsinə ekvivalentdir. Buradan da alırıq. Teorem (Aralıq çoxluğun gücü): Tutaq ki, və onda başqa sözlə əgər kənar çoxluqların gücü eynidirsə onda aralıq yaxud orta çoxluğun gücü də kənar çoxluqların gücünə bərabərdir. İsabatı: A və çoxluqlarının elementləri arasında qarşılıqlı bir qiymətli uyğunluq yaradaq. Tutaq ki, qəbul olunmuş qanuna uyğunluqla A çoxluqlarının məxsusi hissəsinə -nin hər hansı məxsusi hissəsi uyğundur. Onu ilə işarə edək. Beləliklə, , burada , eyni zamanda həmin qanuna uyğunluq çoxluğuna . Başqa sözlə burada . Prosesi bu qayda ilə sonsuz davam etdirsək bir-birinin daxilində yerləşən çoxluqlar alırıq Buradan hər birindən sonra gələn çoxluq özündən əvvəlkinin məxsusi hissəsidir. Beləliklə, , , , ... bundan başqa qəbul olunmuş qanuna uyğunluğa əsasən
.............................................. Yəni hər bir çoxluq özünə qonşu olana ekvivalentdir. D ilə çoxluqlarının ümumi hissəsinə işarə edək çoxluqlarının bir-birilə kəsişməyən çoxluqlarının cəmi şəklində göstərək (2) Burada (3). (1) və (2) eynilikləri doğrudur. Onlardan (2)-nin isbatını verək. Tutaq ki, burada X D-yə daxil olada bilər, olmayada bilər.
Tutaq ki, onda -ya k=(1,2,...) X (2)-nin sağ tərəfinə daxildir. Tutaq ki, onda . Deməli, X sağ tərəfdəki toplananlardan birinə daxildir. , X-in daxil olmadığı birinci çoxluğu -la işarə etmişik. Deməli, X toplananlardan birinə daxildirsə,onda o cəmə daxildir. İndi isə əksini gğtürək. Tutaq ki, X (2)-nin sağ tərəfinə daxildir. olduqda olur. Bu halda sağa daxil olan element sola daxildir. , onda sağa daxil olan hər bir element sola daxildir. Deməli, sağ solun, solda sağın hissəsidir, yəni (2) bərabətliyi doğrudur. İndi isə (1) və (2)-nin elementləri arasında uyğunluq yaradaq , ... toplanların hər iki bərabərlikdə eynidir. Nəticədə T.İ.O : Əgər verilmiş iki çoxluqdan hər biri digərinin hər hansə hissəsinə ekvivalentdirsə, onda verilmiş çoxluqlar ekvivalentdirlər. Yəni, , İsbatı: Əgər və ya olsaydı, onda isbata ehdiyac olmazdı. Teoremi A-nın düzgün hissəsi ödəyir. Tutaq ki, ilə və A ilə B arasında uyğunluq yaradılıb. -ə uyğun, -dəki elementləri ilə işarə edək.
Kurs: IV
Fənn: Həqiqi dəyşənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Ədəbiyyat siyahısı: 1. Колмогоров А.Н.Фомин С.Б.Элементы теории функии и функционального анализа, М, 1968 2. Люстерник А.А., Соболев Б.Н.Краткий курс функциоального анализа.Москва, 1982 3.Натансон И.П.Теория функций вещественной переменой,Москва,1982 4. Вулих Б.З.Введени в функциональный анализ М, <<Наука>>,1972 5. Aslanov H.İ Funksional analiz, Bakı ,2012 6.Həbibzadə Ə.S. Funksional analiz, Bakı 1978 7.Петров В.А, Виленкин Н.Я, Граев М.И.Элементы функционального анализа в задачах.М.,1978 Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu sahil.liyev.83@mail.ru Mövzu 4: Hesabi coxluqlar və onlara aid əsas təkliflər Plan:
Hesabi çoxluğun tərifi, teorem 1. Hesabi çoxluğun xassələrinə aid teorem 2 və teorem 3. Hesabi çoxluğun xassələrinə aid teorem 4 və teorem 5. Hesabi çoxluğun xassələrinə aid teorem 6 və teorem 7. Hesabi çoxluğun xassələrinə aid teoremlərdən çıxan nəticələr. Bilirik ki, ən böyük gücə malik olan çoxluq yoxdur. Təbii olaraq belə bir sual meydana çıxır: ən kiçik gücə malik olan sonsuz çoxluq varmı? kimi bütün natural ədədlər sırası şəklində çoxluğa baxaq. Onun gücünə işarə edək. İndi isə ixtiyari sonsuz M çoxluğuna baxaq. Ondan bir element götürək və onu -lə işarə edək, sonra -dən fərqli elementini götürək və.s. M-in sonsuz çoxluq olmasına əsasən bu prosesi sonsuz davam etdirmək olar. Nəticədə sonsuz M çoxluğundan elə alt çoxluğu ayırmaq olar ki, onun elementini nömrələmək mümkündür. Onda ekvivalent çoxluqların tərifinə görə olar. ilə M-in gücünə işarə etsək, onda kardinal ədədlərin müqaisəsinə əsasən . Buradan, hər hansı sonsuz çoxluğun gücünün bütün natural ədədlər sırası çoxluğunun gücündən böyük-bərabər olduğu alınır. Tərif: Natural ədədlər çoxluğuna ekvivalent olan çoxluğa hesabi çoxluq deyilir. Tutaq ki, N bütün natural ədədlər çoxluğudur. olarsa, A hesabi çoxluqdur. Sonlu çoxluq hesabi çoxluq ola bilməz. Teorem 1: A çoxluğunun hesabi çoxluq olması üçün zəruri və kafi şərt A-nın elementinin natural ədədlərlə nömrələnə bilməsidir. Yəni, (1) Şəklində göstərilə bilməsidir. İsbatı: (zərurilik). Tutaq ki, , olarsa ) münasibəti A çoxluğu ilə N çoxluğu arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaradar və
Kafilik : ) belə qarşı qoyma natural ədədlərlə A çoxluğunun elementi arasında qoyulub. Deməli, A çoxluğunu (1) şəklində vermək olar. Teorem isbat olundu. Teorem 2: İxtiyari sonsuz çoxluqları elə hesabi çoxluq ayırmaq olar ki, qalan çoxluq sonsuz çoxluq olsun. İsbatı : Tutaq ki, E sonsuz çoxluqdur. Bu çoxluqdan ixtiyari iki götürək { } . müxtəlif elementlərdir. -i E-dən çıxaq. Yerdə qalan E-{ } çoxluğu sonsuz çoxluqdur. Bu sonsuz çoxluqdan yenə ixtiyari iki { } elementi götürək. E-{ } çoxluğu da sonsuz çoxluq olar. elementi - dən fərqlidir. Yenidən iki { } elementi götürək E-{ } prosesi bu qayda ilə sonsuz olaraq davam etdirsək E-{ ,.., } alarıq. olsun və A-hesabi çoxluğu E-dən çıxıb E-A sonsuz çoxluğunu almış olarıq. Çünki B çoxluğu (E-A)-nin içərsindədir. T.İ.O Teorem 3: İstənilən hesabi çoxluğa sonlu və ya hesabi çoxluq əlavə etsək həmin çoxluğun gücü dəyişməz. İsbatı: Tutaq ki, A verilimiş hesabi çoxluq , ( D isə hər hansı sonlu və ya hesabi çoxluqdur. Göstərək ki, . Tutaq ki, D sonludur, yəni
Beləliklə, -nin elementi nömrələnmiş olur. Yəni -çoxluğu hesabidir. İndi tutaq ki, D-hesabi çoxluqdur , yəni , Bu element çoxluğunu cədvəl şəklində yazaq. ... -nin elementi nömrələnə biir. Ona görə də o hesabidir. Teorem 4: Sonlu sayda cüt-cüt kəsişməyən hesabi çoxluqların birləşməsi hesabidir. hesabi çoxluqlardırsa , onda hesabidir. İsbatı: Bu çoxluqlar aşağıdakı şəkildə olsunlar
--------------------------------------- Onları cədvəl şəklində yazaq: --------------------------- Beləliklə, bu cədvəldəki bütün ünsürlər nömrələnmiş olur. Deməli, o hesabidir. Bunu güc vasitəsi ilə belə yazamaq olar:
Sonlu sayda hesabi çoxluqların birləşməsi hesabidir. Teorem 5: Hesabi çoxluqların hesabi birləşməsi (cəmi) hesabi çoxluqdur. İsbatı əvvəlki teoremə analojidi. Onun isbatını oxuculara tapşırırıq. Tərif: Hesabi olmayan sonsuz çoxluğa qeyri hesabi çoxluq deyilir Teorem 6: Qeyri-hesabi çoxluqdan ixtiyari hesabi çoxluq ayırdıqda yerdə qalan çoxluq əvvəlki çoxluğa ekvivalentdir. İsbatı: A hesabi çoxluq, E qeyri-hesabi olduqda E-A da qeyri-hesabidir. Doğurdan da E-A+A=E olsaydı E hesabi olardı. Bu isə şərtə ziddir. Yəni E-A qeyri-hesabidir. E-A dan B hesabi çoxluğu ayıraq, onda E-A-B çoxluğu qeyri-hesabi olar. A-hesabi, B-hesabi, onda hesabi olduğundan ekvivalentdir . Deməli, . Teorem isbat olar. Teorem 7: Əgər A çoxluğunun ünsürləri indeksdəki ədədləri ilə bir-birindən fərqlənirsə, . -lərin hər birinin aldığı qiymətləri çoxluğu hesabidirsə, onda A çoxluğu hesabidir. İsbatı: Teoremi riyazi induksiya metodu ilə isbat edək. n=1 olsa -in aldığı qiymətlər çoxluğu hesabidir. qarşı qoysaq, onda belə ünsürlər çoxluğu da hesabidir. Faktın n üçün doğruluğunu qəbul edək, n+1 üçün isabt edək.
Ona görə də ------------------------------ Çoxluqlarının hər biri hesabidir. Onda onların birləşməsi hesabidir. olduğundan B hesabidir. Teorem isbat olar. Bu teoremdə aşağıdaki nəticələr alınır. Nəticə 1: Bütün rasional ədədlər çoxluğu hesabidir. İsbatı: Bilirik ki, p istənilən tam ədəd , q-natural ədəd olduqda şəklində olan ədədlər çoxluğu rasional ədəddir. bütün müsbət rasional ədədlər , bütün mənfi rasional ədədlər olduqda =Q rasional ədədlər çoxluğudur. Əgər biz hesabi olduğunu göstərsək , hesabi olacaq. Deməli, Q-də hesabi olar. (p,q-hesabidir) belə ədədlərin çoxluğu isbat etdiyimiz teoremə görə hesabidir. Deməli, Q rasional ədədlər çoxluğu hesabidir. Tam əmsallı çoxhədlinin kökü olan ədədə cəbri ədəd deyilir. Cəbri olmayan ədədə transendent ədəd deyilir. Nəticə 2: Cəbri ədədlər çoxluğu hesabidir. İsbatı: -lər tam ədədlər olduqda + cəminə tam əmsallı çoxhədli , olarsa buna n dərəcəli tam əmsallı çoxhədli deyilir Biz bu çoxhədlini a ilə işarə etsək: + = Alarıq ( . Tam ədədlər çoxluğu hesabi çoxluqdur. Onda belə çoxhədlilər çoxluğun hesabi çoxluqdur. İndekslərin aldığı qiymətlər hesabidir. Hər bir çoxhədlinin kökü sonlu saydadır. Onda belə köklərin çoxluğu hesabidir. Kurs: IV Fənn: Həqiqi dəyşənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Ədəbiyyat siyahısı: 1. Колмогоров А.Н.Фомин С.Б.Элементы теории функии и функционального анализа, М, 1968 2. Люстерник А.А., Соболев Б.Н.Краткий курс функциоального анализа.Москва, 1982 3.Натансон И.П.Теория функций вещественной переменой,Москва,1982 4. Вулих Б.З.Введени в функциональный анализ М, <<Наука>>,1972 5. Aslanov H.İ Funksional analiz, Bakı ,2012 6.Həbibzadə Ə.S. Funksional analiz, Bakı 1978 7.Петров В.А, Виленкин Н.Я, Граев М.И.Элементы функционального анализа в задачах.М.,1978 Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu sahil.liyev.83@mail.ru Mövzu 5: Güclərin müqaysəsi. Kontinyum güc və onunla bağlı əsas təkliflər. Kifayət qədər böyük güclərin varlığı. Plan:
Güclərin müqaysəsi. Güclərin üzərində əməllər Alt çoxluqlar çoxluğu haqqında seqmentinin qeyri hesabi olmasının isbatı Kontinyum güclü çoxluğun tərifi, teorem 2 və nəticə 1, nəticə 2 Kontinyum güclü çoxluq haqqında teorem 3 Kontinyum güclü çoxluğun xassələri: xassə 1 , 2 Güclərin müqaysəsi. Bilirik ki, A çoxluğu sonlu çoxluqdursa, onun gücü elementlərinin sayına deyilir. Əgər A çoxluğu n elementidirsə, onun gücü kimi yazılır. İki çoxluqlarının gücləri , olarsa, onda aşağıdaki hallardan biri mümkündür:
, 2) , 3) Bu hallardan birinin mümkünlüyü qalan ikisinin inkar edir. Tutaq ki, A və B çoxluqları verilib , A-nın gücü B-nin gücündən böyükdür. Əlavə şərt olaraq , , onda . Biz aralıq güc haqqında teoremdən birlirik ki ,
Onda və , Kantor-Bernşteyn teoreminə görə Əgər və işarə etsək , isə onda olar. Deməli, güc üçün : , , hallarından biri varsa digər ikisi ola bilməz. Çoxluq sonlu olduqda bu fikri həmişə söyləmək olar. İxtiyari sonsuz çoxluğun gücü sonlu ç oxluğun gücündən böyükdür. Güclər çoxluğu (kardinal ədədlər çoxluğu) saylar çoxluğunun genişlənməsidir. Say mənfi olmayan tam ədəddir. Güclər çoxluğu mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğunun genişlənməsidir. Güclərin üzərində əməllər Güclər üzərində toplama və vurma əməlləri yerinə yetirmək olar. Toplama: və : , işarə edək . C-nin gücünə A çoxluğu ilə B çoxluğunun güclərinin cəmi deyilir. . Burada yerdəyişmə və qruplaşdırma qanunu doğrudur. Vurma: olduqda şəklində mümkün olan cütlərin çoxluğunu M ilə işarə edək . M-in gücünə A ilə B çoxluqlarının güclərinin hasili deyilir. , : Göstərmək olar ki, burada da vurmanın qruplaşdırma və yerdəyişmə qanunları doğrudur. Alt çoxluqlar çoxluğu haqqında Bilirik ki, boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. İxtiyari çoxluğun alt çoxluqlar çoxluğunun heç olmazsa bir elementi var. O , boş çoxluqdur. İndi isə sonlu çoxluqların aıt çoxluqları çoxluğuna baxaq. Bu çoxluğun elementlərinin sayı aşağıdaki cəmə bərabərdir. Bu cəm Binom əmsalları cəmidir. Burada alt çoxluqların sayı -dir. Tutaq ki, A sonlu çoxluq deyil və . -isə A-nın bütün mümükün olan alt çoxluqları çoxluğudur. Onda = Biz göstərək ki, Teorem : İxtiyari çoxluğun alt çoxluqlarının gücü onun özünün gücündən böyükdür. İsbatı: Tutaq ki, M ixtitari çoxluqdur. M-in bütün alt çoxluqları çoxluğu - dir. Göstərməliyik ki, çoxluqlarının elementləri M çoxluğunun bütün hissələridir: xüsusi halda M-in özü , boş çoxluq və M-in bütün bir elementli alt çoxluqları. Tutaq ki, M boş deyil. M-in bir elementi alt çoxluqları çoxluğu -dir. Hər bir alt çoxluğu bir elementə qarşı qoysaq onda Göstərməliyik ki, Əksini fərz edək. Fərz edək ki, . Tutaq ki, onların elementi arasında qarşılıqlı bir qiymətli uyğunluq yaradılıb . Yəni,
Əgər olarsa onda belə x-ə yaxşı element deyək. , , olduqda isə x-ə pis element deyək. Bütün pis elementin çoxluğunu -lə işarə edək. onda . Onda -ə qarşı M-də element var y-pis element kimi -ə daxildir, digər tərəfdən y -a daxil olmalıdır. Deməli, y nə pis, nə də yaxşı elementdir. Bu isə ziddiyətdir, fırziyəmiz doğru deyil. Yəni,
Kontinyum güclü çoxluğun tərifi, teorem 2 və nəticə 1, nəticə 2 Bütün sonsuz çoxluqların hesabi çoxluq olduğunu söyləmək doğru deyil. Teorem 1: seqmenti qeyri hesabidir. İsbatı: Əksini fərz etmə metodu ilə teoremi isbat edək. Fərz edək ki, U hesabi çoxluqdur. Onda onun bütün nöqtələrini
Ardıcıllığı şəklində yaza bilərik. Tutaq ki, bu fikir doğrudur, yəni hər bir nöqtəsi (1)-də yerləşir. U-nu 3 bərabər hissəyə bölək,
Aydın məsələdir ki, nöqtəsi bu seqmentlərin hər üçündə eyni zamanda yerləşə bilməz. Və heç olmazsa bu seqmentlərdən biri bu nöqtəni, yəni nöqtəsini öz daxilində saxlamır. Onda -lə işarə edək. İndi isə -i üç bərabər hissəyə bölək və nöqtəsinin özündə saxlamayan seqmenti -lə işarə edək (əgər belə seqment ikidirsə onda onlardan birini -lə işarə edək). Sonra -ni üç bərabər hissəyə bölüb nöqtəsini daxilində saxlamayan seqmenti -ilə işarə edək və.s. Prosesi bu qayda ilə davam etdirsək biz bir-birinin daxilində yerləşən xassəsini ödəyən seqmentlər ardıcıllığını almış olarıq. seqmentinin uzuluğunu -ə bərabərdir və n-in artması ilə o sıfıra yaxınlaşır. Limitlər haqqında məlum teoremə əsasən nöqtəsi var ki, . Ona görə də nöqtəsi (1) ardıcıllığına götürürüksə-götürək , burada , başqa sözlə (1) ardıcıllığının heç bir nöqtəsi ilə üst-üstə düşə bilməz. Alınan ziddiyyət teoremin isbat olduğunu göstərək. Tərif: -da yerləşən həqiqi ədədlər çoxluğuna ekvivalent olan çoxluğa kontinium güclü çoxluq, yaxud sadəcə olaraq C güclü çoxluq deyilir. Əgər A çoxluğu U= seqmentinə ekvivalentdirsə, . A çoxluğu kontinium güclüdür, yaxud C güclüdür deyirlər. Teorem 2: İxtiyari seqmenti, (a,b) intervalı və ixtiyari (a, , yaxud [a,b) yarımseqmentinin gücü C-dir. Yəni, [a,b] (a,b) . İsbatı: Tutaq ki, , y=a+(b-a)x düsturu və çoxluqları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaradır və nəticədə A-nın kontinium güclü olduğu alınır. Bilirik ki, sonsuz çoxluqdan bir, iki element çıxdıqda, əlavə etdikdə alınan çoxluq əvvəlkinə ekvivalent olar, onda (a,b) , , aralıqlarının gücü ilə [a,b]-nin gücünün eyni olduğu alınır, yəni onlar da C güclüdür. T.İ.O Nəticə 1: Bütün R-həqiqi ədədlər çoxluğu kontinium güclüdür. Doğurdan da , Nəticə 2: Bütün irrasional ədədlər çoxluğu kontinium güclüdür. Teorem 3: Bütün natural ədədlər ardıcıllığı çoxluğu kontinium güclüdür. İsbatı: Q çoxluğu ilə (0,1)- intervalının bütün irrasional ədədləri arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaradaq. Bu uyğunluğun mümkünlüyünü nəzərə alsaq, onda x irrasional ədədi aşağıdakı şəkildə kəsilməz kəsrlərə ayrılar.
Bu həmişə mümkündür, teorem isbat olundu. İndi isə ikinci isbat üsulunu verək. Bəzi lazım olan faktları yada salaq:
İkilik kəsrləri dedikdə cəmi başa düşülür. Bu cəm, Simvolu ilə işarə olunur. ədədi şəklində göstərilir. Bu cür verilmə kəsri şəklində olmadıqda yeganədir. 0,1 ədədləri (yeganə şəkildə) 0=0,000,..., 1=0,111,..., şəklində kəsrlərə ayrılır. Əgər olarsa, onda x-in iki ayrılışı olar. Bu ayrılışlarda işarələri üst-üstə düşür, -in işarəsi bir dəfə 1-ə, digərində isə 0-a bərabərdir. Qalan bütün hallarda birinci ayrılışda işarələr sıfırdı. Məsələn: (1)-nin hər hansı ikilik kəsri -dən hər hansı x ədədinə bərabərdir. Əgər dövrdə bu kəsr 0 və 1 ədədlərinə malikdirsə, onda x ədədi , nəticədə verilənlər bərabər x-in ikinci ayrılışı olar. Əgər (1)-kəsri dövrdə 0 və 1 ədədlərinə malik deyilsə, onda və x-in digər 2-lik ayrılışı yoxdur. Bunları qeyd edib, indi teoremin isbatına keçək: Dövründə 1 saxlamayan kəsrlərdən istifadə etməyi şərtləşək. Onda [0,1) seqmentindən olan hər bir ədəd kimi yeganə ayrılışa malikdir olar. Həm də götürürüksə-götürək tapmaq olar ki, , . Əksinə (1)-in ixtiyari kəsrinə [0,1)-dən nöqtə uyğun olur. Ancaq (1) kəsrini vermək üçün - nı göstərmək lazımdır ki, onun üçün Burada k-artan natural ədədlər ardıcıllığı, artan
Ardıcıllığın verir. Hər bir belə ardıcıllığa (1) kəsri uyğundur. Deməli, (2)-nin H çoxluğu C güclüdür. Ancaq H və Q çoxluqları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq olar. Onun üçün (2) ardıcıllığını Q-dən olan və , şərtini ödəyən ( ardıcıllığa uyğun qarşı qoymaq lazımdır. T.İ.O Xassə 1: Sonlu sayda kontinium güclü çoxluqların birləşməsi kontinium güclüdür. İsbatı: Tutaq ki, çoxluqlarının hər biri kontinium güclüdür. . Göstərək ki, kontinium güclüdür. -parçasını n hissəyə bölək, [0, Bu yarım seqmentlərin hər birinin gücü C-dir. Ona görə də çoxluğu ilə alınan yarım-seqment arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq olar.
-------------------- Nəticədə, Xassə isbat olundu. Xassə 2: Fərz edək ki, və şərtə görə . Həqiqi ədədlər çoxluğunu isə Kimi işarə edək. Deməli, (n=1,2,...) və nəticədə olar. Yəni , hesabi sayda kontinium güclü çoxluqların birləşməsi kontinium güclüdür. Yüklə 0,8 Mb. Dostları ilə paylaş:
|