Funksiya differensiali. Differensial hisobning asosiy teoremalari

Yechilishi: f (x) = In x;
~ - , • , p , , / , x . Ax
0 < x < +» funksiya uchun (3) formula ln(x + Ax) = Inx + x
ko’rinishni oladi. Bunga x + Ax = 1,1 yoki x= 1, Ax = 0,1 ni qo’ysak ln1,1 = ln1 + ^ 0,1 = 0,1.
Jadvaldan: ln1,1 = 0,0953.
4-misol
sin45⁰06' hisoblansin.
Yechilishi: f (x) = sinx, x g R funksiyani qaraymiz.

2. 
   formula sin(x + Ax) * sinx + cosx • Ax ko’rinishni oladi. Bu yerda x + Ax = 45⁰ deb olamiz.
   

Eslatma:
1⁰ = —; 1' = ^П .
180 180•60








Natijada:

sin45⁰06'

П П П

sin—+ cos

4 4 1800

2 2 3,14
V + • 1800

0,7083.


d² y d² f (x)
y"= f "(x) yoki ~TT = —— deb belgilanadi. Ikkinchi hosilaning hosilasi uchinchi hosila dx dx
deyiladi va h.k.
Induksiya yordamida n - tartibli hosila (n–1) - tartibli hosilaning hosilasi deb aniqlanadi.
dny dⁿf (x)


.
y⁽ⁿ⁾ = f (n) (_x) yo_ki = > ya'ni (y⁽n-i)) / = y (n)
dxⁿ dxⁿ
Shunga o’xshash ravishda yuqori tartibli differensiallar tushunchasi kiritiladi.
Masalan, x erkli o’zgaruvchi dy = y'dx bo’lganda:
d²y = d(dy) = y " dx² ;
d³y = d(d² y) = y'" dx² ;
dⁿy = d(d^n-1 y) = yⁿ dxⁿ .
Shuni ta’kidlash zarurki, yuqori tartibli differnsial invariantlik xususiyatiga ega emas.
1-misol
y = a^x; y⁽ⁿ) - topilsin.
Yechilishi:
x x 2 (n) x n
y = a - In a; y = a • In a; ...; y^v - a - In a.
2-misol
y = x^a; y⁽ⁿ) - topilsin.
Yechilishi:
y’ = ax^a-1; y" = a(a -1)x^a-²; y"'= a(a - 1)(a - 2)x^a-3;
y⁽ⁿ) = a(a - 1)(a - 2)...(a - n +1)x^a-n.
3-misol
y = sin x; y⁽ⁿ) - topilsin.
Yechilishi:


...
I ,^п I ⁿ '
y = cosx = sinl x + -I; y =-sinx = sin(n + 2 - —); y = sin(x + 3 - y);



( n )
^y

= sin(x + n - —).


4. Differensial hisobning asosiy teoremalari
Funksiya xossalarini tekshirishda, eng muhim tadbiqlar asosida Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari yotadi. Bu teoremalar odatda differensial hisobning asosiy teoremalari deyiladi.

1. 
   Ferma teoremasi
   

Teorema: f(x) funksiya ]a,b[ oraliqda aniqlangan, uning ichki x = c nuqtasida eng katta (eng kichik) qiymatini qabul qilsin. Agar bu c nuqtada chekli f (x) hosila mavjud bo’lsa, u holda f ( c ) = 0 bo’ladi.
Isboti: M=sup{ f (x)}, m=inf{(x)} , x e ]a, b[ bulsin. f (c)=Mdeb faraz qilaylik, ya’ni Vx e ]a, b[ uchun f (x)< f (c) bo’lsin.
Hosila ta’rifiga ko’ra

f '(c) = lim f-x)—f-c)-, (bunda x=xo+Ax, xo = c deb olingan) Ax ^ c x ^c








bunda: V xe]c, b[,
V xe ]a, c[,

f (x) - f (c )
x - c
f ( x ) - f ( c)
x - c

- ⁰ ^ lim
Ax ч c

f (x) - f (c) _- 0;

- ⁰ ^ lim
Ax ^c

x-c
f (x) - f (c) _{- 0;}

x - c

x^c + 0 va x^c - 0 limitlarni takkoslab f ’(c ) = 0 degan xulosaga kelamiz. Teorema f (c)=m bo’lgan holda ham shunga o’xshash isbotlanadi.
Teorema geometrik ma’nosi
f (c)=0 tenglik, funksiya grafigiga M(c, f ( c )) nuqtadan o’tkazilgan urinma Ox o’qiga parallel ekanini bildiradi. (5-shakl)

5-shakl
Izoh: Teorema faqat funksiya oraliqning ichki nuqtasida eng katta (kichik) qiymatga erishgan
hol uchun qo’llaniladi.
1-misol




y = x² funksiya Ferma teoremasi shartini

^0;2

kesmada qanoatlantiradimi?