Funksiya differensiali. Differensial hisobning asosiy teoremalari

MA’RUZA
FUNKSIYA DIFFERENSIALI. DIFFERENSIAL HISOBNING ASOSIY TEOREMALARI
Ma’ruza rejasi

1. 
   Funksiyaning differensiali.
   
2. 
   Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi.
   
3. 
   Differensial hisobning asosiy teoremalari
   

Tayanch so’z va iboralar: differensial, yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning differensiali, differensial hisobning asosiy teoremalari.

1. 
   Funksiyaning differensiali
   

Differensial ham hosila kabi, qaysi o’zgaruvchi bo’yicha hisoblanishidan bog’lik bo’ladi. Qaysi o’zgaruvchi bo’yicha differensial hisoblanayotgan bo’lsa, bu o’zgaruvchi erkli o’zgaruvchi deyiladi. Differensialning qaysi o’zgaruvchi bo’yicha hisoblanayotganini ko’rsatish o’rniga, qaysi o’zgaruvchi erkli deb, tanlanganini aytish qabul qilingan.
Masalan, y = f (u), u = ^(x) murakkab funksiya berilgan bo’lsin, x ni erkli o’zgaruvchi deb tanlash mumkin, biroq agar bizni fakat y ning u dan bog’lanishi qiziqtirsa, erkli o’zgaruvchi deb u ni olish mumkin.
Biz differensiallaymiz, differensiallash qoidalari, formulalari va hokazo iboralarni tez-tez ishlatgan edik, lekin qanday funksiya differensiallanuvchi deyiladi?, degan savolga hanuzgacha javob berganimiz yo’q.
Ta’rif: Erkli o’zgaruvchi bo’yicha funksiya hosilasining erkli o’zgaruvchining ixtiyoriy orttirmasiga ko’paytmasi funksiyaning differensiali deyiladi.
Funksiya differensiali dy yoki df(x) bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar x erkli o’zgaruvchi bo’lsa dy = y’ ∆x (yoki d f (x) = f ’(x) ∆x).
x ning tayinlangan qiymatini qaraymiz, ∆x asosiy cheksiz kichik bulsin. ∆y bilan dy orasida munosabat o’rnatamiz:









yoki

,. Ay — dy
lim
^Ax >⁰ Ax

= lim Ay — f(x)Ax

Ax >1' Ax

Ax

= Fm Ty ^{- f Xx}= ^f ’x)^{- f} ’x)^⁰ ^
Ax >0 Ax

Ay - dy = o(Ax) ^ Ay = dy + o(Ax)

(1)

Ay = f ’(x)Ax + o(Ax);


o (Ax ) = a
Ax
bu yerda
o (Ax )
lim ——- ^
Ax >0 Ax
cheksiz kichik
o(Ax) = a Ax .
Shunday qilib Ay= f ’(x)Ax+aAx. Bunda f ’(x)Ax qo’shiluvchi funksiya orttirmasining bosh
chiziqli qismi deyiladi. Demak, funksiyaning differensiali funksiya orttirmasining bosh chiziqli qismi ekan.
Ax ning yetarlicha kichik qiymatlarida (1) dan


(2)
Ay = dy
taqribiy tenglik hosil bo’ladi.

. . • , • , ^а-Ax а-Ах 1
Xato аДх ga teng, nisbiy xato esa = =
, dy f'(x) -Ax f'(x)
Bundan ko’rinadiki Дх ning kichik qiymatlarida (2) - taqribiy tenglikning nisbiy xatosi Дх >0 da kichikdir.

dy=dx=x'Дх = 1 ■ Дх = Дх ; dx = Дх
Ta’rif: Erkli o’zgaruvchining differensiali deb, y=x funksiyaning differensialiga aytiladi.
(2*)
Shunga asosan funksiya diffferensiali
dy = f (х) dx
ko’rinishni oladi. Bundan
dy = f ^,(x)
dx
ya’ni, funksiya hosilasi funksiya differensialining argument differensialiga nisbatiga teng. dy - ni « y mikdorning elementi » deb aytiladi.
Elementar funksiyalarning differensiali jadvali

1. 
   d(xn) = nx^n-1 dx (x > 0) ;
   
2. 
   d(ax) = ax Inadx (a > 0,a ^ 1);
   
3. 
   d(log_a x) = — log_a e dx (x > 0,a > 0,a ^ 1) ; x
   
4. 
   d (Inx) = —dx;
   

x

5. 
   d (sin x) = cos xdx;
   
6. 
   d (cosx) = - sin xdx;
   
7. 
   d (tgx) = —X— dx;
   

cos² x

,. Ay — dy 1
= Fm Ty ^{- f Xx}= ^f ’x)^{- f} ’x)^⁰ ^ 1
Ishdan olingan hosila ta’sir etuvchi kuchga teng 4
d(u+v– w)=du+dv–dw 4
d(Cv)=Cdv, dC = 0 4
vdu - udv 5
v 5
Yechilishi: 6
1.Ferma teoremasi 7
- ⁰ ^ lim 8
- ⁰ ^ lim 8
Teorema geometrik ma’nosi 8
5-shakl 8
^0;2 8
2.Roll teoremasi 8
Teoremaning geometrik ma’nosi 9
3.Lagranj teoremasi 9
7-shakl 9
4.Koshi teoremasi 9

1 + x²