I bob. Matematika darslarida parametrli tenglamalar va parametrli tenglamalar sistemasini yechish metodikasining nazariy asoslari

Ishning maqsad va vazifalari.
Umumiy o‘rta ta‘lim maktablarida matematika darslarida parametrli tenglamalar va parametrli tenglamalar sistemasini yechishning o‘ziga hos tomonlarini ochib berish va takomillashtirish.
Ob’yekti va predmeti.
Umumiy o‘rta ta‘lim maktablarida matematika darslarida parametrli tenglamalar va parametrli tenglamalar sistemasini yechishning orqali misol va masalalar yechish ko‘nikmasini shakllantirishni usul va vositalarini o‘qitish jarayoni.
Amaliy ahamiyati.
Bitiruv ishi mavzusi talabalarga uslubiy qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin.
Ishning tuzilishi.
Bitiruv ishiga kirish, 2 bob, xulosa va adabiyotlar ro‘yxati berilgan.


I.BOB. MATEMATIKA DARSLARIDA MATEMATIK INDUKSIYAGA OID MASALALARNI YECHISHNING NAZARIY ASOSLARI.
1.1. Boʻlinuvchanlik masalalarini yechishda matematik induksiya usuli
Ma’lumki, talabalar matematik qobilyatlarini rivojlantirishda matematik masalalar muhim rol o’ynaydi. Ayniqsa, parametrli masalalar, shu jumladan, parametrli tenglama va tengsizliklarni tekshirish va ularning barcha yechimlarini topa olish ko’nikmalarini shakllantirish alohida ahamiyat kasb etadi. Shu bois quyida biz talabalarga parametrli chiziqli tenglamalar va ularga keltiriladigan tenglamalarni yechish usullariga o’rgatish xususiyatlariga to’xtalib o’tamiz.
Ta’rif. Ushbu Ax = B ko’rinishdagi tengma x ga nisbatan parametli chiziqli tenglama deb ataladi, bu yerda A va B — faqat parametrlarga bog’liq ifodalar, x — noma’lum.
Tenglamani yechish uchun uning Ax = B ko’rinishidan foydalanib, quyidagi hollarda tekshiriladi:
B

1. 
   A + 0 parametrning yo’l qo’yiladigan qiymatlar to’plamida yagona x =
   

A
yechimga ega bo’ladi.

2. 
   4 = 0 va B = 0 bo’lsa, tenglamaning yechimi x — ixtiyoriy son bo’lishligi takitlanadi.
   
3. 
   .4 = 0 va B ^ 0 da esa tenglamaning yechimlari mavjud emasligi kelib chiqadi.
   

Keyingi bosqichda o’quvchilarga misollar orqali parametrli chiziqli tenglamalarni yechishning umumiy algoritmidan foydalanish tushuntiriladi. Bunda tenglamalarni yechishning ma’lum algoritmida “murakkab ” parametrning “oddiy” ga aylanishi va uning chiziqli parametrli tenglamalarni yechishga o’rganishni osonlashtirishga katta yordam beradi.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi:

1. 
   Tenglama bosh koeffitsiyentining nolga tengligini tekshirish
   
2. 
   Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish yani tenglama qachon yagona yechimga, cheksiz ko’p yechimga, ildizga ega emasligini aniqlashdan iborat.
   
3. 
   Parametrning tayinlangan qiymatlarini hisobga olib javobni yozing,
   

1. 
   misol. ax = 7 tenglamani yeching.
   

Yechish. Yuqoridagi algoritm yordamida bu tenglama quyidagicha yechiladi.

1. 
   Tengalama Ax = B ko’rinishda berilgan
   
2. 
   Tenglamaning bosh koeffitsenti a = 0 nolga tengligini tekshiramiz, bunda bitta a = 0 parametr qiymati topiladi
   
3. 
   Endi x = 7 javobni birdan berish lozimdek tuyuladi. Lekin a = 0 da berilgan tenglama yechimga ega emas, chunki 0 • x = 7, bunda mavjud emas, agar a ^ 0 bo’lsa, u holda yagona yechim x = 7 dan iborat.
   
4. 
   Parametrning yagona tayinlangan a = 0 qiymatini hisobga olib javobni yozamiz.
   

Javob. Agar a = 0 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas;
Agar a ^ 0 bo’lsa, u holda yagona x = 7 yechimga ega bo’ladi.
Endi shunga o’xshash murakkab ko’rinishda bo’lgan quyidagi tenglamalarni qarab chiqamiz.

2. 
   misol. (a² — 4)x = a + 2 tenglamani yeching.
   

Yechish. Berilgan tenglamani yechishda quyidagi qarash yetarli:
a² — 4 = 0, yani a = —2 va a = 2.
Agar a = 2 bo’lsa, u holda tenglama 0 • x = 4 ko’rinishni oladi demak, berilgan tenglama bu holatda yechimga ega emas;
Agar a = —2 bo’lsa, u holda 0 • x = 0 ga ega bo’lamiz, bundan ko’rinib turibdiki berilgan tenglama a = —2 bo’lganda x — o’zgaruvchining istalgan qiymati uchun yechimga ega yani tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’lar ekan.
Agar a A ±2 bo’lsa, u holda berilgan tenglama x = — ko’rinishidagi yagona _a_2
yechimga ega bo’lar ekan.
3-misol. x + 2 = ax tenglamani yeching.
Yechish. Avvalo tenglamaning ko’rinishini Ax = B shaklga keltiramiz:
x — ax = —2, (1 — a)x = —2.

1. 
   Agar 1 — a = 0 bo’lsa, ya’ni a = 1 bo’lsa, u holda tenglama 0 • x = —2 ko’rinishni oladi va yechimga ega emas;
   
2. 
   Agar a A 1 bo’lsa, u holda tenglama yagona x =-^ ildizga ega.
   

4-misol. (a² — 1)x = a² — 3a + 2 tenglamani yeching.
Yechish. Berilgan tenglama x ga nisbatan parametrli chiziqli tenglama.
Agar a² — 1 = 0 bo’lsa, ya’ni a = ±1 bo’lsa, tenglama quyidagi ko’rinishlarga ega bo’ladi:

1. 
   
   
   1 da 0 • x = 0, u holda x — ixtiyoriy son;
   —1 da 0 • x = 6 , u holda tenglama yechimga ega emas;
   d.² ■— 3fl+2 (fl_1)'(fl_2) u_2
   ^{1; 2 da} * = = «,_i).«,+i) = 777 ^{yagona yechimga ega}.
   a =
   
2. 
   a =
   
3. 
   a A
   

5-misol. ax = 3x — 7 tenglamani yeching.
Yechish. Avvalo tenglamaning ko’rinishini Ax = B shaklga keltiramiz: 3x — ax = 7, (3 — a)x = 7.

1. 
   Agar 3 — a = 0 bo’lsa, ya’ni a = 3 bo’lsa, u holda tenglama 0 • x = 7 ko’rinishni oladi va yechimga ega emas;
   
2. 
   Agar a A 3 bo’lsa, u holda tenglama yagona^ = ~^ ildizga ega.
   

7-misol. a(a — 2)x = a² — 5a + 6 tenglamani yeching.
Yechish. Bu tenglamani yechishda quyidagi hollar qaraladi
1) a(a — 2) = 0 , a = 0 yoki a = 2.
Agar a = 0 bo’sa, u holda tenglama 0 • x = 6 ko’rinishni oladi va yechimga ega emas.
Agar a = 2 bo’lsa, u holda 0 • x = 0 , tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.

2) Agar a A 0, a A 2 da x =
Q2 — 5Q+6 (q_2)‘(q_3) q—3
—-—— = -—/ ' = — yagona ildizga ega.
a(a_2) a(a^2) a
Demak, o’quvchini parametrik chiziqli tenglamalar va ularga keltiriladigan masalalarni yechishga o’rgatishda tenglamani umumiy ko’rinishga keltirish, keyin parametrning kritik qiymatlarida yechim ifodasini tekshirish, shu asosida uning qanday shartlarda yagona yechimga, cheksiz ko’p yechimga va yechimga ega bo’lmasligini aniqlash va javobni to’liq bayon etishni talab etadi. O’quvchi dastlab algoritm bilan keyinchalik esa parametning tayinlangan qiymatlari uchun yechimni topa olishlari va rasmiylashtirishlari, bu bilan parametrik chiziqli tenglamani to’liq yechish jarayonini amalga oshirishlari lozim.