I bob. Matematika darslarida parametrli tenglamalar va parametrli tenglamalar sistemasini yechish metodikasining nazariy asoslari

1.2. Parametr nima va uni yechish usullari.

a parametrining qaysi qiymatlari uchun()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 tengsizligi kamida bitta yechimga ega?

Yechim

Bu tengsizliknix^2 uchun ijobiy koeffitsientga tushiramiz:
()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \to'rt \Chapga o'q \to'rtlik x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .
Diskriminantni hisoblang:D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a. Bu tengsizlik yechimga ega bo'lishi uchun parabolaning kamida bitta nuqtasix o'qi ostida bo'lishi kerak. Parabola shoxlari yuqoriga yo'naltirilganligi sababli, bu tengsizlikning chap tomonidagi kvadrat uchburchakning ikkita ildizga ega bo'lishini talab qiladi, ya'ni uning diskriminanti musbat bo'ladi. Biza^2 - 28a > 0 kvadrat tengsizlikni yechish zaruratiga keldik.a^2 - 28a kvadrat trinomi ikkita ildizga ega:a_1 = 0,a_2 = 28. Demak,a^2 - 28a > 0 tengsizlika \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty) oraliqlari bilan qanoatlantiriladi.
Javob.a \in (-\infty; 0) \kupa (28; + \infty).
a parametrining qaysi qiymatlari uchun(a-2)x^2-2ax+a+3=0 tenglama kamida bitta ildizga ega va barcha ildizlari musbat?

Yechim

a=2 boʻlsin. Keyin tenglama() - 4x +5 = 0 ko'rinishini oladi, shundan bizx=\dfrac(5)(4) musbat ildiz ekanligini olamiz.
Endia\ne 2 bo'lsin. Kvadrat tenglama chiqadi. Avvala parametrining qaysi qiymatlari uchun berilgan tenglamaning ildizlari borligini aniqlaymiz. Uning diskriminanti salbiy bo'lmasligi kerak. Ya'ni:
D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\ a\leqslant 6.
Shartlar bo'yicha ildizlar ijobiy bo'lishi kerak, shuning uchun Viet teoremasidan biz tizimni olamiz:
x_1 + x_2 = (2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = (a + 3)(a - 2)> 0, 6 (holatlar) \to'rt boshlang'ich(holatlar)a\in(- \infty;0)\kupa(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\chashka(
Biz javoblarni birlashtiramiz, biz kerakli to'plamni olamiz:a\in(-\infty;-3)\cup.
Javob.a\in(-\infty;-3)\kupa.
a parametrining qaysi qiymatlari uchunax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0 tengsizligi yechimga ega emas?

Yechim

1. 
   Agara = 0 bo'lsa, bu tengsizlik hech qanday yechimga ega bo'lmagan5 \leqslant 0 tengsizlikka aylanadi. Demak,a = 0 qiymati masala shartini qanoatlantiradi.
   
2. 
   Agara > 0 bo'lsa, u holda tengsizlikning chap tomonidagi kvadrat trinomialning grafigi shoxlari yuqoriga qaragan parabola bo'ladi. Biz\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a ni hisoblaymiz. Agar parabola x o'qi ustida joylashgan bo'lsa, ya'ni kvadrat uchburchakning ildizi bo'lmasa (D) tengsizlikning yechimi yo'q.< 0). 4a^2 - 5a < 0.
   
3. 
   4a^2 - 5a 1 = 0 va a_2 = {5}{4}, поэтомуD < 0 при0 < a < {5}{4}. Agar a< 0,
   
4. 
   Javob. a ildizlar orasida joylashgan, shuning uchun ikkita ildiz bo'lishi kerak (shuning uchuna\ne 0). Agary = ax^2 + (a + 3)x - 3a parabolaning shoxlari yuqoriga qarasa,y(-1)< 0 иy(1) < 0;
   

(-1) >0 va y(1) > 0.
I holat.a > 0 boʻlsin. Keyin
y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 a>-1 \\ a>3 a>0 a>3.
Ya'ni, bu holda barchaa > 3 mos keladi.
II holat.a bo'lsin< 0. Тогда
y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 a<0 } a<-1 a<3 a<0 a<-1.
Ya'ni, bu holda, hammaa ekanligi ma'lum bo'ladi< -1.
Javob.a-1
a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglamalar tizimi
x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1
aniq ikkita yechimga ega.

Yechim

Birinchisidan ikkinchisini ayiring:(x-y)^2 = 1. Keyin
(l) x-y = 1, x-y = -1 (l) x = y+1, x = y-1.
Olingan ifodalarni sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtirib, ikkita kvadrat tenglamani olamiz:2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0 va2y^2 - 2y - 2a + 1 =0. Ularning har birining diskriminanti D = 16a-4 ga teng.
E'tibor bering, birinchi kvadrat tenglamaning ildizlari juftligi ikkinchi kvadrat tenglamaning juft ildizlari bilan mos kelishi mumkin emas, chunki birinchisining ildizlari yig'indisi-1 ga, ikkinchisi esa 1.
Bu shuni anglatadiki, bu tenglamalarning har biri bitta ildizga ega bo'lishi kerak, keyin dastlabki tizim ikkita echimga ega bo'ladi. Ya'ni D = 16a - 4 = 0.
Javob.a (1)(4)
4x-|3x-|x+a||=9|x-3| tenglamasi ikkita ildizga ega bo'lgan har biri uchuna parametrining barcha qiymatlarini toping.

Yechim

Tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.
f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| funksiyasini ko'rib chiqaylik.
x\geqslant 3 uchun birinchi modul ortiqcha belgisi bilan kengaytiriladi va funksiya quyidagicha bo'ladi:f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||. Ko'rinib turibdiki, modullarning har qanday kengayishi bilan, natijadak\geqslant 5-3-1=1>0 koeffitsientli chiziqli funktsiya olinadi, ya'ni bu funktsiya shu oraliqda cheksiz o'sadi.
Endi x oralig'ini ko'rib chiqing <3. Shunday qilib, bizx=3 bu funktsiyaning minimal nuqtasi ekanligini tushundik. Va bu shuni anglatadiki, dastlabki tenglama ikkita yechimga ega bo'lishi uchun funktsiyaning minimal nuqtadagi qiymati noldan kichik bo'lishi kerak. Ya'ni, tengsizlik sodir bo'ladi:f(3)<0.
12-|9-|3+a||>0 \to'rt \Chapga o'q \to'rt |9-|3+a||< 12 \ -12 < 9-|3+a| < 12
|3+a|< 21 \ - 21 < 3+a < 21 \
-24Javob.a \da (-24; 18)
5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0 tenglamaa parametrining qaysi qiymatlari uchun bitta ildizga ega?

Yechim

Keling, o'zgartirish kiritamiz:t = 5^x > 0. Keyin asl tenglama kvadrat tenglama ko'rinishini oladi:t^2-3t+a-1 =0. Dastlabki tenglama bitta ildizga ega bo'ladi, agar bu tenglama bitta musbat ildiz yoki ikkita ildizga ega bo'lsa, ulardan biri musbat, ikkinchisi salbiy.
Tenglamaning diskriminanti:D = 13-4a. Bu tenglama bitta ildizga ega bo'ladi, agar natijada olingan diskriminant nolga teng bo'lsa, ya'ni a =4 uchun. Bu holda ildiz t=(2) > 0, shuning uchun berilgana qiymati mos keladi.
Agar ikkita ildiz, biri musbat va biri nomusbat bo'lsa, D = 13-4a > 0,x_1+x_2 = 3 > 0 vax_1x_2 = a - 1 \leqslant 0 bo'ladi.
Ya'ni,a\in(-\infty;1]
Javob.a\in(-\infty;1]\kupa\chap\(\dfrac(13)(4)\o'ng\)
Tizim uchuna parametrining barcha qiymatlarini toping
log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x
aniq ikkita yechimga ega.

Yechim

Tizimni quyidagi shaklga aylantiramiz:
log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2.
a parametri logarifm negizida joylashganligi uchun unga quyidagi cheklovlar qo'yiladi: a>0,a \ne 1.y o'zgaruvchisi logarifmning argumenti bo'lgani uchuny > 0 bo'ladi.
Tizimning ikkala tenglamasini birlashtirib, biz tenglamaga o'tamiz: log_a y = y^2.a parametri qanday qiymatlarni olishiga qarab, ikkita holat mumkin:

1. 
   0 bo'lsin< a < 1. f(y) = \log_a
   
2. 
   a > 1 boʻlsin. Bundaf(y)=\log_a y \leqslant 0 funksiyasiy uchun< 1, а функцияg(y) = y^2 >Xuddi shuy uchun 0. Bu shuni anglatadiki, agar echimlar mavjud bo'lsa, u holda faqaty > 1 uchun, lekin tizimning ikkinchi tenglamasi yechimga ega bo'lmaydi, chunkix^2 - 2x + y = 0 tenglamaning diskriminantiy > uchun. 1 salbiy.
   

Javob.a(0;1)
a > 1 bo'lgan holatni ko'rib chiqing.t ning katta qiymatlari uchunf(t) = a^t funksiya grafigig(t) = t toʻgʻri chiziq ustida joylashganligi sababli yagona umumiy nuqta faqat aloqa nuqtasi boʻlishi mumkin. .
t_0 teginish nuqtasi bo'lsin. Bu vaqtdaf(t) = a^t hosilasi bittaga teng (tangens qiyaligi tangensi), bundan tashqari, ikkala funktsiyaning qiymatlari bir xil, ya'ni tizimi sodir bo'ladi:
\begin(holatlar) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(holatlar) \quad \Chapga o'q \to'rt \begin(holatlar) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(holatlar)
Qayerdant_0 = \dfrac(1)(\ln a).
a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \to'rtta \Chapga o'q \to'rt a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \to'rt \chap o'ng \to'rt a = e ^ (\ frac (1) (e)).
Shu bilan birga, to'g'ridan-to'g'ri va eksponensial funktsiyalarning boshqa umumiy nuqtalari yo'qligi aniq.