Interrogation écrite Novembre 2001

Interrogation écrite Novembre 2001

ELECTROMAGNETISME 2^e année (sans document, ni calculette)

I - Interaction magnétique entre un fil et un tore (sur 14.5 points)

Sur un tore de révolution d’axe z’z défini sur la figure ci-contre sont bobinées N spires circulaires jointives parcourues par un courant I (I > 0). Un fil infini confondu avec l’axe (z'z) est parcouru par un courant I’ dans le sens descendant (I’ > 0). On se propose de calculer le champ magnétique en tout point de l'espace.

1. 
   Fil seul (2 points)
   

Déterminer le champ magnétique créé par le fil infini dans tout l’espace. Ce calcul se fera par la « loi » de Biot-Savart, après avoir étudié les invariances et les symétries du système.

Plans passant par le point M considéré et contenant le fil sont plans de symétrie, plans perpendiculaires au fil sont plans d'antisymétrie => est orthoradial soit

Invariance par rotation autour de z'z, Invariance par translation parallèle à z'z =>

2. 
   Tore seul (3.5 points)
   

Après avoir défini la topographie du champ magnétique créé par le tore seul,

Le plan passant par le point M considéré et contenant l'axe z'z est plan de symétrie

plans perpendiculaires à l'axe z'z en M sont plans d'antisymétrie => Le champ produit par le tore est orthoradial soit

Invariance par rotation autour de z'z, =>.

Nous noterons R le diamètre d'une spire et D le diamètre moyen du tore (cf figure ci-dessous).

En un point M de côte z₀, le champ magnétique est constant le long d'un cercle que nous choisirons comme contour d'Ampère.

1. 
   déterminer sans calcul le champ magnétique au point O :
   
2. 
   
   

En O, le champ devrait être perpendiculaire à tous les plans contenant z'z => il doit être nul

3. 
   calculer le champ magnétique à l’intérieur du tore à partir du théorème d’Ampère
   

Pour un point M de côte z₀ situé à l'intérieur du tore :

avec..

NB : On constate que le champ ne dépend pas explicitement de z₀.

4. 
   calculer le champ magnétique à l’extérieur, de part et d’autre du tore.
   

De la même manière pour un point situé à l'extérieur du tore plusieurs cas de figure sont possibles :

Premier cas .

La surface qui s'appuie sur le contour n'est traversée par aucun courant, donc le champ est nul.
Deuxième cas :

La somme algébrique des courants enlacés par le contour d'Ampère est -NI + NI = 0, donc le champ est nul.

Troisième cas :

Aucun courant n'est enlacé par le contour d'Ampère, donc le champ est nul.

En résumé quel que soit le point M choisi situé à l'extérieur du tore, on a :

3. 
   Tore + fil (2.5 points)
   

1. 
   Avec quel courant I’ doit-on alimenter le fil rectiligne pour annuler le champ magnétique à l’intérieur du tore ?
   

Pour annuler le champ total à l'intérieur du tore il faut que :

Il suffit donc que I' = NI.

2. 
   Dans ces conditions, les relations de passage sont-elles vérifiées sur toute la surface du tore ?
   

On dessinera sur un schéma :

- les vecteurs unitaires en un point quelconque M de la surface du tore

• 
  le vecteur densité de courant surfacique au même point (on assimilera dans cette question l’ensemble des N spires jointives à une nappe continue de courant).
  

Si l'on trace un cercle de rayon r sur la surface du tore. La relation entre le flux de la densité de courant surfacique à travers cette "surface" et le courant total transporté est :

. Dans notre cas, le vecteur

4. 
   Travaux des forces magnétiques du fil sur le tore ( 5 points)
   

1. 
   Rotation : on déplace le tore en rotation autour de son axe de révolution z’z d’un angle 
   

Déterminer sans calcul explicite le travail des forces magnétiques extérieures qui s’exercent sur le tore par 3 méthodes :

- à partir de la définition des forces de Laplace ( ou d’Ampère).On utilisera un schéma pour cette question.

- à partir du théorème de Maxwell. Justifier.

- à partir du théorème du flux coupé. On précisera sur un schéma la surface balayée dans ce déplacement.

2. 
   Translation :on déplace maintenant le tore en translation le long de l’axe de révolution z’z, d’une valeur quelconque z₀
   

Déterminer sans calcul explicite le travail des forces magnétiques extérieures qui s’exercent sur le tore par 3 méthodes :

- à partir de la définition des forces de Laplace.

- à partir du théorème de Maxwell. Justifier.

- à partir du théorème du flux coupé. On précisera sur un schéma les éléments de surface balayée d²S considérés dans ce déplacement.

5. 
   Milieux magnétiques (application directe du cours :1.5 point)
   

On enlève le fil et on remplit l’intérieur du tore précédent par un milieu magnétique parfait, de perméabilité . Déterminer l’excitation magnétique H, le champ magnétique B et l’aimantation M induite dans le milieu magnétique.