Ecuaţia logistică a jucat un rol important în dezvoltarea matematicii haosului, oferind totodată, datorită utilizării sale frecvente în aplicaţii economice, un punct util de pornire în prezentarea unor idei fundamentale ale modelării non-lineare economice.
Să considerăm variabila Yt , unde 0 Yt 1 şi t = 1, 2, 3, … Sistemul dimamic discret:
Yt+1 = f (Yt )
= Yt (1 - Yt ) (1)
este cunoscut în literatură sub denumirea de ecuaţie logistică. Un exemplu este oferit de următorul model dinamic simplu al cheltuielilor pentru reclamă ale unei firme. Presupunem că între cheltuielile pentru reclamă şi nivelul profitului există următoarea legătură: pe măsură ce cheltuielile de reclamă, Yt , cresc, profitul firmei, Xt , mai întâi se majorează, apoi, după ce atinge un maxim, începe să scadă. Considerăm, de asemenea, că cheltuielile pentru reclamă din perioada următoare sunt proporţionale cu profitul din perioada curentă, adică:
Xt = Yt (1 - Yt ), > 0 (2)
Yt+1 = Yt , > 0 (3)
Combinând aceste două ecuaţii se obţine ecuaţia logistică (1), unde = .
Comportamentul sistemului, functie de diverse valori ale parametrului sunt redate in figurile urmatoare (7, 8 si 9).
Informaţia despre comportamentul modelului logistic pentru diversele valori ale lui pot fi vizualizate sub forma unei diagrame, precum aceea din figura 2, unde este măsurat pe axa absciselor, iar Y pe aceea a ordonatelor. Pentru acele valori ale lui care generează comportament haotic, o linie verticală solidă se conturează pe grafic.
Informaţia despre comportamentul modelului logistic pentru diversele valori ale lui pot fi vizualizate sub forma unei diagrame, precum aceea din figura 2, unde este măsurat pe axa absciselor, iar Y pe aceea a ordonatelor. Pentru acele valori ale lui care generează comportament haotic, o linie verticală solidă se conturează pe grafic.
Figura 10 ilustrează proprietăţile lui Y pentru m cuprins între 2,0 şi 4,0. Aceasta este cunoscută în literatură ca o diagramă a bifurcaţiilor, unde fiecare punct, corespunzând unei dublări a perioadei, redă multiplicarea ramurilor diagramei (adică bifurcaţiile). Pentru valori ale lui m între 3,57 şi 4,0, diagrama bifurcaţiilor prezintă benzi negre corespunzând haosului, separate de ferestre. De asemenea, în cadrul acestor ferestre apar cicluri de ordin impar (cicluri impare). Aceasta semnifică în general, aşa-numita ordine în interiorul haosului. O altă caracteristică a logisticii, când utilizăm reprezentarea sub forma diagramei bifurcaţiilor, este aceea că dacă fiecare fereastră este privită mai de aproape (mărim rezoluţia), diagrama se prezintă exact ca o copie a diagramei integrale (aceasta este cunoscută sub denumirea de autosimilaritate).
Ecuaţia logistică reprezintă un exemplu de proces unidimensional cu timp discret. Alte exemple sunt următoarele:
Yt+1 = Yt exp ( (1- Yt)), > 0 (4)
Yt+1 = Yt + Yt (Yt2 – 1 ) (5)
Yt+1 = sin (Yt) (6)
Acestea sunt denumite logistică exponenţială, triunghiulară, cubică şi respectiv trigonometrică. Proprietăţile logisticilor de mai sus capătă semnificaţii suplimentare atunci când se face extinderea la întreg spaţiul unidimensional.
S-a arătat că pentru 0 < < 1, originea este punctul fix stabil, pentru 1 < < 3, există un punct fix stabil egal cu 1-1/. Acestea au fost găsite pe cale analitică, iar calculele numerice au permis descoperirea faptului că pe măsură ce parametrul m este crescut dincolo de valoarea 3 procesul intră într-o fază ciclică, în care are loc o dublare a perioadei, până ce se atinge faza de haos determinist. Mai departe, pe măsură ce m continuă să crească apar noi şi noi “ferestre” adiţionale ale dublării perioadei, care de asemenea conduc la zone de haos. Identificarea tuturor valorilor lui m pentru care se înregistrează dublarea perioadei se dovedeşte dificilă dacă nu se dispune de un calculator foarte performant.
S-a arătat că pentru 0 < < 1, originea este punctul fix stabil, pentru 1 < < 3, există un punct fix stabil egal cu 1-1/. Acestea au fost găsite pe cale analitică, iar calculele numerice au permis descoperirea faptului că pe măsură ce parametrul m este crescut dincolo de valoarea 3 procesul intră într-o fază ciclică, în care are loc o dublare a perioadei, până ce se atinge faza de haos determinist. Mai departe, pe măsură ce m continuă să crească apar noi şi noi “ferestre” adiţionale ale dublării perioadei, care de asemenea conduc la zone de haos. Identificarea tuturor valorilor lui m pentru care se înregistrează dublarea perioadei se dovedeşte dificilă dacă nu se dispune de un calculator foarte performant.
O astfel de încercare l-a condus pe Feigenbaum (1978) la descoperirea unei proprietăţi cu mult mai generale decât s-ar fi întrevăzut iniţial prin simpla simulare numerică. Rezultatul a fost descoperirea unei constante universale, care astăzi îi poartă numele.
Pentru a demonstra constanta universală a lui Feigenbaum, definim n ca un punct al dublării perioadei. Considerăm următorul rată
= ( n - n-1 ) / ( n+1 - n ) (7)
care exprimă raportul dintre schimbarea anterioară a parametrului necesară obţinerii dublării perioadei şi schimbarea curentă necesară dublării perioadei ciclice.
O implicaţie directă a relaţiei de mai sus este că, dacă se cunosc n-1 şi n , atunci este posibilă calcularea lui n+1. De exemplu, după cum am arătat anterior, primele două puncte în care se observă o dublare a perioadei ciclurilor sunt n-1 = 3 şi respectiv n = 3,449. Prin substituire, se obţine:
O implicaţie directă a relaţiei de mai sus este că, dacă se cunosc n-1 şi n , atunci este posibilă calcularea lui n+1. De exemplu, după cum am arătat anterior, primele două puncte în care se observă o dublare a perioadei ciclurilor sunt n-1 = 3 şi respectiv n = 3,449. Prin substituire, se obţine:
n+1 = n + ( n - n-1 ) / 3,56 (8)
Aşa cum s-a arătat, valorile lui m în zona de haos, 3,57 < < 4, produc cicluri de ordin impar. Identificarea unui ciclu de perioadă trei a devenit relevantă pentru înţelegerea proprietăţilor modelelor economice începând cu demonstraţia lui Sarkovskii, care a arătat că dacă se dovedeşte că un model prezintă un ciclu de perioadă trei, atunci el poate genera cicluri de toate ordinele posibile (a se vedea Guckenheimer şi Holmes, 1983). Acest rezultat a fost demostrat de noi pentru cazul modelului logistic, unde s-a arătat că acesta prezintă un ciclu de perioadă trei ca de altfel şi cicluri impare de ordin superior şi chiar cicluri regulate.
Li şi Yorke (1975), utilizând rezultatul lui Sarkovskii, au demostrat că dacă o hartă are un ciclu de perioadă trei, atunci ea prezintă comportament periodic şi aperiodic. Cartografierile (simulările) care satisfac această proprietate generează haos în sensul Li-Yorke. O exprimare sintetică poate fi următoarea: perioada trei implică haos.
Să considerăm o serie cronologică dată de Yt . Dacă una din următoarele condiţii este satisfăcută
Yt+3 < Yt < Yt+1 < Yt+2 (9)
Yt+3 > Yt > Yt+1 > Yt+2 (10)
atunci două traiectorii distincte în timp ale lui Yt , deşi pot fi întâmplător foarte apropiate una de alta, în viitor se vor îndepărta semnificativ. Traiectoria lui Yt poate demonstra cicluri de periodă k, cu k > 1. Astfel, dacă combinăm cu prima propoziţie, o traiectorie care prezintă un ciclu de perioadă k trebuie să se îndepărteze de la acest ciclu după o anumită perioadă de timp.
Sisteme globale multidimensionale cu timp discret
Sisteme globale multidimensionale cu timp discret
Una dintre cele mai cunoscute hărţi multivariabile discrete este aceea a lui Henon (1976), care se bazează pe următorul set de ecuaţii non-lineare discrete:
Xt+1 = 1 - Xt2 + Yt (11)
Yt+1 = Xt (12)
unde şi sunt parametri pozitivi. În figura 11 sunt prezentate grafic proprietăţile modelului lui Henon, pentru valorile = 1,4 şi = 0,3.
Drept exemplu al modelelor economice discrete non-lineare multivariabile este modelul ciclului afacerilor al lui Kaldor (a se vedea Lorenz, 1989, p.130):
Yt+1 - Yt = [It (Yt , Kt) - St (Yt)] (13)
Kt+1 - Kt = It (Yt , Kt) - Kt (14)
It (Yt , Kt) = c2-1/[(dYt + )2] + eYt + a (f / Kt)g (15)
St = s Yt (20)
unde Yt este output-ul, Kt – stocul de capital, It – investiţiile brute, St – economiile, – rata de depreciere a capitalului, iar , c, d, , e, a, f, g şi s sunt parametri (pentru aplicaţii, pentru calibrarea modelului, se iau în considerare diverse seturi de valori pentru parametri, un astfel de set fiind: =0,05, =20,0, c=20,0, d=0,01, =0,00001, e=0,05, a=5,0, f=280,0, g= 4,5 şi s=0,21). Ecuaţia (13) arată că schimbările în output apar când există un ecart între economii şi investiţii, pe când ecuaţia (14) relevă faptul că sporuri nete ale stocului de capital apar atunci când investiţiile brute depăşesc ca volum investiţiile de înlocuire, Kt. Non-linerităţile sunt introduse în model prin funcţia sigmoidă a investiţiilor dată de relaţia (19), iar ecuaţia (20) reprezintă funcţia lineară simplă a economiisirii. A se vedea figura 12.
Sisteme globale cu timp continuu
Sisteme globale cu timp continuu
În paragrafele precedente, analiza a avut în vedere demonstrarea faptului că introducerea unor non-linearităţi în modelele economice discrete unidimensionale sau multidimensionale pot genera comportamente haotice ale sistemelor. În particular, mişcarea haotică a fost identificată atunci când procesul sau procesele înregistrează salturi neregulate pe atractor. Dar modelele economice sunt adesea construite şi prin considerarea de sisteme cu timp continuu. De aceea, pentru a avea o imagine completă asupra modelării sistemelor economice, considerăm utilă investigarea condiţiilor care pot genera haos şi în cazul clasei modelelor continue.
În virtutea proprietăţilor modelelor cu timp continuu, haosul nu poate fi definit în termenii de salturi discrete pe suprafaţa unui atractor, ca în cazul modelelor discrete. Mai degrabă, în acest caz, traiectoria pe atractor este necesar a fi lină. Această cerinţă a condus la definirea, de către Ruelle şi Takens (1971), a aşa-numiţilor atractori stranii.
Conceptul de atractor straniu a fost exprimat iniţial în termenii sistemelor cu timp continuu, dar în ultima vreme există tendinţa de aplicare a sa şi în cazul sistemelor discrete. Pentru ca un atractor să fie “straniu”, este necesară satisfacerea următoarelor proprietăţi (a se vedea Ruelle, 1979):
1 – toate traiectoriile să rămână într-o regiune strict limitată a spaţiului;
2 – dependenţa (sensibilitatea) faţă de condiţiile iniţiale;
3 – atractorul nu poate fi spart (divizat) în două sau mai multe obiecte separate prin nici o procedură.
Atractorul Lorenz are la bază următorul sistem continuu tridimensional de ecuaţii (Lorenz, 1963):
Atractorul Lorenz are la bază următorul sistem continuu tridimensional de ecuaţii (Lorenz, 1963):
dX/dt = - (X - Y) (21)
dY/dt = X - Y - XZ (22)
dZ/dt = -Z + XY , , > 0 (23)
Proprietăţile atractorului Lorenz se pot reliefa prin utilizarea următoarelor valori ale parametrilor: = 10,0, = 60,0 şi = 8/3. Cu toate că există trei parametri de control, parametrul cheie este b (a se vedea Gilmore, 1981). Trăsătura cheie a atractorului este forma de “fluture”, fiecărei aripi a acestuia fiindu-i asociat câte un punct fix instabil.
Un alt atractor, de asemenea straniu, a fost descoperit de Rossler (1976). Atractorul lui Rossler se bazează pe următorul sistem tridimensional continuu de ecuaţii:
dX/dt = - (Y + Z) (24)
dY/dt = X + Y (25)
dZ/dt = - - Z + XZ , , > 0 (26)
Trăsătura surpinzătoare a acestui model este că comportamentul haotic este generat dintr-un model cu o structură non-lineară chiar mai simplă decât în cazul sistemului de ecuaţii al modelului lui Lorenz.
Parametrul cheie pentru determinarea caracteristicilor traiectoriei variabilelor este . Acest parametru joacă acelaşi rol ca parametrul m în modelul logistic, el determinând punctele critice la care apare o dublare a perioadei ca şi pe cele unde apare haosul. Efectul dublării perioadei se poate obţine prin simularea modelului pentru valori diferite ale lui , cu = = 0,2.
Structura atractorului straniu Rossler este redată în figura 13. Cele trei imagini bidimensionale arată că atractorul apare ca o pâlnie cu diametrul crescând pe măsură ce creşte.
Doua studii distincte:
Doua studii distincte:
- How new modeling and simulation techniques could improve the decisions of policy makers and public perception?
- Economia la răscruce? Dar ştiinţa economică?
Studii distincte:
Studii distincte:
1) A model to investigate the Interest rate – investment – GDP growth relationship
3) A Model to Simulate the Long-Term Dynamics of Public Debt
4) A model to estimate behavioral regimes in tax evasion
5) Gas emission in EU: a theoretical and empirical investigation of spatial distribution
6) Studiu privind dinamica relaţiei piaţa muncii - investiţii - creştere economică
7) Studiu privind modificarea structurii economiei pe stadii de dezvoltare
8) Rata naturala a somajului si PIB-ul potential
Interest rate – investment – GDP growth relationship: fundamental role; increasing number of studies
3D representation (so-called geodesic map or contour plot) for the correlation interest rate (i) – investment ratio in GDP (a) – annual GDP growth rate (r), in case of EU-27
a, b, c, d, e, and f – parameters (econometrically estimated)
Obtained equations:
Obtained equations:
r (i) = b + a*c / (d + i) (4)
α (p)= c / [d + (e*p + f)] (5)
i (α) = (c / α) – d (6)
Moreover, we can express the empirical inflation – GDP growth rate relation as follows:
r (p) = b + a*c / (d + e*p + f) (7)
Simulation of relation (1) -> critical value of 13.2% for investment rate (αcr1).
Simulation of relation (1) -> critical value of 13.2% for investment rate (αcr1).
for α <13.2% the GDP growth rate will be negative.
the extreme case of no investment (α =0), GDP will decrease by 8.6% per year (estimated value of coefficient b is around -8.6%).
Simulation of equation (2) -> a strong inverse correlation (hyperbolic correlation) between investment and interest rate
Coefficient of Multiple Determination R2=0.845443; Adjusted coefficient of multiple determination Ra2=0.806804; Durbin-Watson statistic=2.032844; Variable c – t-ratio=4.56026, Prob(t)=0.01034; Variable d – t-ratio=3.87819, Prob(t)=0.01787).
potential level for GDP growth rate of about 7.6% – a theoretical level computed as value of GDP growth rate at the point αcr2=c/d=25.1%, corresponding to an hypothetical interest rate tending to be equal to zero.
Simultaneous simulation of the two equations -> a more realistic maximum for GDP growth rate (7%) – also a theoretical level computed as value of GDP growth rate at the point α2=24.1%, corresponding to the situation in which GDP growth rate tends to equal interest rate.
3D graphic representations for variables and their attached Contour Plots corresponding to real annual registered data in period 2000-2005.
3D graphic representations for variables and their attached Contour Plots corresponding to real annual registered data in period 2000-2005.
Based on historical data, among other conclusions, we can see that a GDP growth rate of about 7% could be obtained for an investment rate of around 22% and an interest rate of about 10% (it is represented by peak 7 on the map noted (a, i, r).
From the contour map (p, i, r) we can see the line 5 (5% GDP growth rate) that follows very close the diagonal line of plan p-i, which can be interpreted as a natural rate of GDP growth rate. S
Similar conclusion, but for investment rate, could be derived from contour map (p, i, a), where as trajectory for its natural rate could be considered the top line following very close the diagonal line of plan p-i. Contour map (p, a, r) demonstrates the negative impact of inflation on GDP growth.
Albu, L.-L. (1997): Strain and Inflation-Unemployment Relationship in Transitional Economies: A Theoretical and Empirical Investigation, CEES Working Papers, December, University of Leicester, Centre for European Economic Studies, Leicester.
Albu, L.-L. (1997): Strain and Inflation-Unemployment Relationship in Transitional Economies: A Theoretical and Empirical Investigation, CEES Working Papers, December, University of Leicester, Centre for European Economic Studies, Leicester.
Albu, L.-L. and Pelinescu, E. (2000): “Sustainability of Public Debt and Budget Deficit”, Economic Transition in Romania – Past, Present and Future (Eds.: Ruhl Christof, Daianu Daniel), The World Bank, Romanian Center for Economic Policies, Bucharest, Washington D.C., pp. 65-90.
Barro, R. (1988): “The Ricardian Approach to Budget Deficits”, NBER, Working Paper, no. 2685.
Blanchard, O. J. and Fischer, S. (1993): Lectures on Macroeconomics, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.
Carnot, N., Koen, V., and Tissot, B. (2005): Economic Forecasting, Palgrave MacMillan.
Pindyck, R. S. and Rubinfeld, D. L. (1998): Econometric Models and Economic Forecasting, Irvin McGraw-Hill, Boston, Massachusetts, New York, San Francisco.
Stournaras, Y. (1990): “Public Sector Debt and Deficits in Greece: The Experience of the 1980s and Future Prospects”, Revista di Politica Economica, VII-VIII, Roma, July-August, pp. 405-440.
