Kopaytma qoydasi Reja: Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi

Kopaytma qoydasi

Reja:

1. 
   Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi.
   
2. 
   Vektorning vektor va aralash ko‘paytmasi.
   

Tayanch iboralar: skalyar ko‘paytma, vektor va aralash ko‘paytma.

1. 
   Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi.
   

Berilgan ikki vektorning uzunligi va ular orasidagi burchak kosinusining ko‘paytmasiga shu ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi deyiladi.
Demak, a va b vektorlarning skalyar ko‘paytmasi
a - b = |a| - \b\ - cosy (4.1)
ko‘rinishida bo‘ladi. Bu yerda
burchak a va b vektorlar orasidagi burchakdir.
a = 0 yoki b = 0 holda ta’rifga ko‘ra a - b = 0. a 1 b yoki a = 0, yoki b = 0 holdagina a - b skalyar ko‘paytma nolga teng.
Skalyar ko‘paytirish amalining xossalari: a - b = b - a
Á(a -b) = (Á- a)b (kommutativlik) (4.2)
(a + b)-C=a-C + b- c
a - a = a² > 0 (distributivlik) (4.3)
ammo faqat a = 0 holdagina a - a = 0 bo‘ladi.
Fazodagi Dekart koordinatalar sistemasida
a(x;y;z), b(x';y';z')
berilgan bo‘lsa, skalyar ko‘paytmaning xossalaridan foydalanamiz:
a-b = (xi + yj + zk)(x'i + y'j + z'k) = xx'1² + xy'î] + xz'ik +
+x'yij + yy'j² + yz'jk + x'zik + y'zjk + zz'k² =




= хх' • 1 + ху' • 0 + xz' • 0 + х'у • 0 + уу' • 1 + yz' • 0 + x'z • 0 +
+y'z • 0 + zz' • 1 = хх' + уу' + zz'
Skalyar ko‘paytmaning xossalaridan, ortlar uchun ushbu


tengliklar o‘rinli ekanligini ko‘ramiz:
β = Î • î = |t| • |t| • cos^ = 1 • 1 • cos0⁰ = 1, j² = 1, k² = 1.
Î ■ J = И ■ |j| ■ cos^ = 1 • 1 • cos90⁰ = 0, i • k = 0, j • k = 0. Demak,
a • b = хх' + уу' + zz', (4.4)
|a| = ^x² + у² + z²
vеktorlаrning skalyar ko‘paytmasi ularning mos koordinatalari


ko‘paytmalarining yig‘indisiga tеng bo‘ladi.
|a| = 0, |b| = 0 shartlarida a, b vektorlar orasidagi burchak
kosinusi quyidagi formula bo‘yicha topiladi.
(4.1) va (4.4) formulalardan,
a • b
cos^ = ——-T-
|a| •|b|
xx'+yy'+zz' x „ г-4
cost? = / _{2 2 2}- / ,_{2 f2 f}= (4.5)
7^²+y²+Z²-Vx'²+y'²+z'²
kelib chiqadi. я(х;у^), Ь(х';у'^') vektorlar ortogonal
(perpendikulyar) bo‘lishligining zarur va yetarli sharti ushbu tenglikdan


iborat (fazoda):
хх' + уу' + zz' = 0. (4.6)