Kurs ishi mavzu: Stirling foʻrmulasi

Stirling formulasi

Hozirgi kunda faktoriallar matematikada har qadamda uchraydi. n musbat va butun son uchun "n faktorial" ifodasi (n! tarzida yoziladi) -n sonning o‘zi va ungacha bo‘lgan barcha butun sonlarning o‘zaro ko‘paytmasini anglatadi. Masalan 4!=1×2×3×4=24.
Faktorialning n! ko‘rinishida ifodalanishi qoidasini 1808-yilda farang matematigi Kristian Kramp joriy qilgan. Faktoriallar kombinatorikada juda katta ahamiyat kasb etadi. Masalan ko‘p sonli obyektlarning o‘zaro bir-biriga nisbatan joylashish variantlarini hisoblash zarur bo‘lgan o‘rinlarda faktoriallar juda asqotadi. Shuningdek faktoriallardan sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi hamda, matematik analiz sohalarida keng foydalaniladi
Faktorialning n! ko‘rinishida ifodalanishi qoidasini 1808-yilda farang matematigi Kristian Kramp joriy qilgan. Faktoriallar kombinatorikada juda katta ahamiyat kasb etadi. Masalan ko‘p sonli obyektlarning o‘zaro bir-biriga nisbatan joylashish variantlarini hisoblash zarur bo‘lgan o‘rinlarda faktoriallar juda asqotadi. Shuningdek faktoriallardan sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi hamda, matematik analiz sohalarida keng foydalaniladi.
Faktoriallarning qiymati favqulodda tez o‘sadi. Masalan, 70! ning qiymati 10100 dan ham katta, 25256! esa, 10100000 dan ham ulkan sonni tashkil qiladi. Shu sababli katta faktoriallarning qiymatlarini soddalashtirish imkonini beradigan qulay matematik usullarning ahamiyati ham favqulodda kattadir. Stirling formulasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lib, n! ning aniq qiymatini topish imkonini beradi.
Formuladagi «≈» belgisi taqriban tenglikni ifodalasa, π va e sonlari esa, hammamizga tanish bo‘lgan matematik doimiylar, ya'ni, π=3.14159 va e=2.71828 ga teng. n ning juda ham katta qiymatlari uchun ushbu ifoda ln(n!)≈nln(n)-n ko‘rinishigacha yana ham soddalashtiriladi. Ushbu ifodani shuningdek yana n!= nn·e‒n tarzida yozish mumkin.
Mazkur formula ilk bora 1730 yilda shotland matematigi Jeyms Stirlingning (1692-1770) tomonidan uning «Differensial uslublar» (Methodus Differtialis) asarida bayon qilgan bo‘lib, olim o‘z hayotining katta qismini sanoat korxonalarida texnologik jarayonlarni takomillashtirish va ishlab chiqarish quvvatlarini oshirish masalalariga bag‘ishlagan. Stirling o‘z zamondoshi bo‘lgan daho olim – Nyuton bilan yaqin ilmiy do‘stona aloqalarga ega bo‘lgan. Lekin u Shotlandiya va Angliya millatlari orasidagi diniy hamda siyosiy to‘qnashuvlar zamonasida yashaganligi sababli, ingliz ilmiy jamiyati bilan unchalik iliq munosabatda bo‘lmagan.
Kit Boll ismli ingliz matematigining fikricha, Stirling formulasi kabi murakkab va shu bilan birga g‘oyat jozibador matematik formulalarning keltirib chiqarila boshlanish – endilikda matematikaning shunchaki topqirlik o‘yinlari uchun ermak va hisob-kitob ishlari uchun vosita sifatida emas, balki professionallar shug‘ullanadigan haqiqiy kasbga aylanib borishiga ishora bo‘lgan emish.
Soddalashdirilgan Stirling formulasi quyidagicha yordamchi qator yordamida hosil qilinadi:
n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n

Bu formulani yaxshi bir vaqtli hisoblash uchun, n soni ko'proq bo'lgan har qanday natural son uchun yuzaga kelishi mumkin. Bu formulaga ko'rsatma tuzish uchun, n>0 va yurakdan yuzaga qo'yilgan o'ng tomonga nuqta bilan yakunlanadi.

Boshqa bir formulaga ko'rsatma qilish mumkin, bu esa katta sonlar uchun yakunlashdirilgan formuladir:
n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n * exp(1/12n)

Bu formulaga ham, n>0 va yurakdan yuzaga qo'yilgan o'ng tomonga nuqta bilan yakunlanadi.

Stirling formulalari, faktöriyel hesabini yalniz yaxshi bir tahmin bilan topshirishga yordam beradi va bu formulalar avvalgi yoki keyingi tam edergan qiymatlar bilan n boyicha bir oraliqda n! qiymatini topshirishga imkon beradi.

4.