Kurs ishi mavzu: Stirling foʻrmulasi

Vallis formulasi

Vallis formulasi, bir sivarning bir boridan boshqa boriga o'tishida oqimning tezligi va sivarning densitysi (qarshi oqimning kvadrati) orasidagi bog'lovchi funksiya bilan ifodalangan bir formuladir.
Vallis formulasi quyidagi shaklda ifodalangan bo'ladi:

v = (2g/ρ) * (ΔP/ℓ)^(1/2)

Bu yerda:

v - sivarning tezligi

g - gravitatsiya siyosati (9.8 m/s^2)
ρ - sivarning densitysi
ΔP - bitta borining o'rtasidagi qo'shimcha bosim
ℓ - bitta borining uzunligi.
Vallis formulasi yuqori bosimli yoki yuqori tezligli sivarlarni tekislashtirishda, ko'p darajali suvlar, shuningdek, ta'mirlash va yopish ishlari kabi bir necha sohalar uchun foydali bo'ladi.
Vallis formulasi, bir tasodifiy funksiya (x, y) da chegarasidan chiqqan va uzunligi A va B bo'lgan bir balandlikka ega bo'lgan tor uchun hosil qilinadi. Formulaning o'zi quyidagicha:

V = 2∫(x=A to B) πy √(1 + (dy/dx)^2) dx

Bu formulada, y = y(x) funksiyasi torning chegarasidagi balandlikni ifodalaydi, va (dx/dy) - y(x) ning kengligi. Formulaning natijasi, tor uzunligi V ni beradi.

Vallis formulasi tarixiy hidrolika, hidrodinamika va boshqa yo'l-yo'riqlar sohasida qo'llaniladi. Ushbu formulani hisoblashda x kengligi bo'yicha integrallash va calculusning maksimum va minimum qiymatlarni topish bo'yicha kichikroq formulalar foydalanilad

2. 
   Stirling formulasini hosil qilish, uchun yordamchi qator
   

Stirling formulasi, n soni ko'p bo'lgan natural sonlar uchun faktoriyelni aniqlashda ishlatiladi. Formulani 1730 yilda James Stirling topdi. Shu formulani yordamida, katta sonlar uchun faktoriyelni hisoblash tezlashtiriladi.

Stirling formulasining hosil qilishidan oldin, Stirling to'g'risidagi umumiy formulani bilish kerak:

n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n

Bu formulada, n! n faktorialini ifodalaydi. "≈" belgisi, n kattalashtikda, formulaning bo'lgan qismini yaxlitlovchi formulani ko'rsatadi.

Stirling formulasining hosil qilishiga quyidagi bosqichlar kiritiladi:

f(n) = ln(n!) hosil qilinadi.

f(n) ga Hosilaning integrali bo'yicha yaqinlashtiriladi:

f(n) ≈ ∫(1 to n) ln(x) dx

Hosilaning integrali, hisoblash uchun integralning estestven axirini ishlatish mumkin:
f(n) ≈ [n ln(n) - n] + (1/2) * ln(2πn)

Natijada, f(n) ni eksponentaga oshirib, n! hosil qilinadi:

n! ≈ e^(n ln(n) - n) * √(2πn)

Bu formulada, e eksponenta qiymati, π esa pi qiymatini ifodalaydi. Bu formula katta sonlar uchun katta hisob-kitob yoki nazariy fizikada qo'llanadi

Soddalashdirilgan Stirling formulasi quyidagicha ko'rsatiladi:
n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n
Bu formulaga ko'rsatma tuzish uchun, n>0 va yurakdan yuzaga qo'yilgan o'ng tomonga nuqta bilan yakunlanadi.

Boshqa bir formulaga ko'rsatma qilish mumkin, bu esa katta sonlar uchun yakunlashdirilgan formuladir:

n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n * exp(1/12n)
Bu formulaga ham, n>0 va yurakdan yuzaga qo'yilgan o'ng tomonga nuqta bilan yakunlanadi.

Stirling formulalari, faktöriyel hesabini yalniz yaxshi bir tahmin bilan topshirishga yordam beradi va bu formulalar avvalgi yoki keyingi tam edergan qiymatlar bilan n boyicha bir oraliqda n! qiymatini topshirishga imkon beradi.

Stirling formulasi, matematikning ko'p sohalarida va kimyo, fizika, biologiya, menejment, maishiyot va boshqa sohalarda foydalaniladi.

3.