M uhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti

X₀ = 10
Y₀ = -6


X₀ = -10
Y₀ = 6


X₀ = 6582 595298 10
Y₀ = -4037 589688 10


X₀ = -6582 595298 10
Y₀ = 4037 589688 10


X₀ = 9 258415 606510 13
Y₀ = -5 678867 025506 13


X₀ = -9 258415 606510 13
Y₀ = 5 678867 025506 13


X₀ = 464 279223 068342 15
Y₀ = -284 776584 090312 15


X₀ = -464 279223 068342 15
Y₀ = 284 776584 090312 15

Bir hil tenglama echimlari orasida takrorlanishlarni toping

Endi asl tenglamaning ba'zi echimlari topildi, biz boshqa echimlarni topamiz, aslida cheksiz echimlar oilasi, bu erda:
X_n+1 = P X_n + Q Y_n
Y_n+1 = R X_n + S Y_n
qayerda P, Q, R va S aniqlanishi kerak.
Ruxsat bering M (x, y) = bolta² + Bxy + Cy² = M va N (u, v) = u² + Buv + ACv² = N.
M (p, q) = Ap² + Bpq + Cq²
M (p, q)/a = p² + (B / a)pq + (C / a) q²
M (p, q)/a = p² + Dpq + Eq²
M (p/q, 1)/a = (p / q)² + D (p/q) + E (12)
M(p/q, 1)/a = (p/q - J) (p/q - J') = 0 ning ildizlari (13) bor:
J = -B + B2 - 4AC2A va J' = - B - B2 - 4AC2A
Buni tenglashtirish orqali osongina ko'rsatish mumkin (12) va (13) bu:
J² = - DJ-E (14)
J'² = - DJ ' - E (15)
J + J ' = - D (16)
JJ ' = E (17)
N(p/q, 1) = (p/q - K) (p/q - K') = 0 ning ildizlari bor:
K = -B + B2 - 4AC2A va K' = - B - B2 - 4AC2A
shunday K = AJ, K '= AJ' (18)
M (p, q)/a = (p - Jq) (p - J'q) = M (19)
N (r, s) = (r - Ks) (r - K) = N (20)
Dan (18) biz olamiz:
(p - JQ) (r - Ks) = (p - Jq) (r - AJs) = (pr - AJps-jqr + AJ²qs)
Dan (14) biz olamiz:
[pr-AJps-Jqr + a (- DJ - E)qs] = (pr - aeqs) - (Aps + qr + AEqs)J = (pr-Cqs) - (Aps + qr + BQS)J (21)
(18) biz olamiz:
(p-J'q) (r - K's) = (p - J'q) (r - AJ'S) = (pr - AJ'PS - J'qr + AJ'²qs)
Dan (15) biz olamiz:
[pr-AJ'PS-J'qr + a (- DJ' - E)qs] = (pr - aeqs) - (Aps + qr + AEqs)J' = (pr-Cqs) - (Aps + qr + BQS)J' (22)
Ruxsat bering X = pr-Cqs va Y = Aps + qr + Bqs (23).
Ko'paytirish (21) tomonidan (22) biz olamiz:
(M (p, q) / A) N(r, s) = (X - YJ) (X - YJ') = X² - (J + J')XY + JJ'Y²
Tenglamalarni ko'paytirish (16) va (17) biz olamiz: (M (p, q) / A) N (r, s) = X² + DY + EY²
A ga ko'paytirish biz olamiz (dan (19) va (20)):
Ruxsat berish M = - F va N = 1 buni ko'rishimiz mumkin X va Y ham asl tenglamaning echimlari.
Ruxsat bering r va s yechim bo'lishi N (r, s) = r ² + Brs + ACs ² = 1,
X _n = p, Y _n = q, X _n+1 = X va Y _n+1 = Y (chunki oxirgi ikki juft raqam asl tenglamaning echimi).
(23) dan biz olamiz:
X _n+1 = Rx _n - CsY _n+1
Y _n+1 = AsX _n + rY _n+1 + BsY _n+1
Bu degani:
X_n+1 = P X_n + Q Y_n
Y_n+1 = R X_n + S Y_n
P = r (24)
Q = - Cs (25)
R = Sifatida (26)
S = r + Bs (27)
qayerda
r² + Brs + ACs² = 1 (28)
Kreditlar: Ushbu usul iga Iain Devidson tomonidan elektron pochta orqali yuborilgan. i ba'zi o'zgartirishlar qildim.

Umumiy kvadrat tenglamaning yechimlarini toping

Bolta² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
Tenglamani ko'paytirish 4A:
4A²x² + 4ABxy + 4ACy² + 4adx + 4AEy + 4af = 0
(2Ax + tomonidan + D)² - (Tomonidan + D)² + 4ACy² + 4AEy + 4AF = 0
(2Ax + tomonidan + D)² + (4AC-B²)y² + (4AE - 2BD)y + (4AF-D²) = 0
Ruxsat bering x₁ = 2ax + tomonidan + D
va g = OBEB (4AC-B², 2AE-BD ) .
Ko'paytirish 4AC-B2 / g:
4AC-B²gx₁² + (4AC-B²)²gy² + 2(4AC-B²) (2AE - BD)gy + (4AC-B²) (4AF-D²)g = 0
4AC-B²gx₁² + g y₁² + (4AC-B²) (4AF-D²)- (2AE-BD ) ²g = 0
4AC-B²gx₁² + g y₁² + 4A(4ACF-AE² - B²F + BDE - CD²)g = 0
qayerda:
y₁ = 4AC-B²g y + 2AE-BDg

Umumiy kvadrat tenglamaning echimlari orasida takrorlanishlarni toping

Biz echimlar shaklga ega bo'ladi deb taxmin qilamiz:
X_n+1 = P X_n + Q Y_n + K
Y_n+1 = R X_n + S Y_n + L
Asl tenglamani almashtirish x tomonidan Px + Qy + K va y tomonidan Rx + Sy + L:
A (Px + Qy + K)² + B (Px + Qy+ K) (Rx + Sy + L) + C (Rx + Sy + L)² + D (Px + Qy + K) + E (Rx + Sy + L) + F = 0
(AP² + BPR + CR²) x² + (2APQ+B(PS + QR) + 2CRS)xy + (AQ² + BQS + CS²)y² + (2AKP + B(KR+LP) + 2CLR + DP + ar) x + (2akq + B (KS+LQ) + 2CLS + DQ + ES) y + (AK² + BKL + CL² + DK + EL + F) = 0 (29)
Endi biz qavs ichidagi qiymatlarni o'rganamiz.

• 
  Dan (24) va (26) biz olamiz:
  

AP² + BPR + CR² = Ar² + BrAs + ka²s² = A(r² + Brs + ACs²)

• 
  

Tenglamadan (28) biz olamiz:

• 
  

AP² + BPR + CR² = A (30)

• 
  
• 
  
• 
  Dan (24) uchun (27) biz olamiz:
  

2APQ + B (PS+QR) + 2crs = 2ar (- Cs) + B [r(r+Bs)+(-Cs)sifatida] + 2cas(r+Bs) = -2acrs + B (r²+ Bs-ACs²) + 2acrs + 2ABCs² = B (r²+ Bs+ACs²)

• 
  

Tenglamadan (28) biz olamiz:

• 
  

2APQ + B (PS+QR) + 2CRS = B (31)

• 
  
• 
  
• 
  Dan (25) va (27) biz olamiz:
  

AQ² + BQS + CS² = AC²s² + B (- Cs) (R+Bs) + C (r+Bs)² = AC²s² - BCrs-B²Cs² + Cr² + 2bcrs + B²Cs² = AC² + BCrs + Cr² = C (r² + Brs + ACs²)

• 
  

Tenglamadan (28) biz olamiz:

• 
  

AQ² + BQS + CS² = C (32)

• 
  

Bu degani 2AKP + B (KR+LP) + 2CLR + DP + AR = D va 2AKQ + B (KS+LQ) + 2CLS + DQ + ES = E
Ushbu ikkita tenglama tengdir:
(2AP + BR)K+(BP + 2CR) L = -D (P-1) - AR
va (2AQ + BS)K+(BQ + 2CS) L = -DQ - E (S-1)
K uchun tenglama tizimini yechish va L:
K = D[BQ - 2C(PS-QR-S)] + E[B(PS-RQ-P) - 2CR]4AC (PS - QR) + B² (QR-PS)
L = D[B(PS-RQ-S) - 2AQ] + E[BR - 2A(PS-RQ-P)]4AC (PS - QR) + B ² (QR-PS)
Beri PS-QR = r (r+Bs) - (- Cs)sifatida = r²+ Brs + ACs²= 1, bu tenglamalarni soddalashtirish mumkin:
K = D[BQ-2C(1-S)] + E[B(1-P) - 2CR]4AC - B ²
L = D[B(1-S) - 2AQ] + E[BR - 2A(1-P)]4AC-B ²
Endi biz (29) ning o'ng qavs ichidagi ifoda f ga teng ekanligini ko'rsatishimiz kerak, bu shuni anglatadiki, biz topilgan K va L qiymatlari z = AK ^{2 + BKL + CL 2 + DK + EL = 0 (33) tenglamani tekshirishini isbotlashimiz} kerak.
Kengayish juda murakkab va bu erda takrorlanmaydi, lekin xayriyatki, bu 4ac-B ^{2 ning ko'paytmasi}, shuning uchun u maxrajdagi kvadratni bekor qiladi, chunki u (4ac-B ²)².
Bu shuni anglatadiki Z (4AC-B ²) butun son va u tengdir:
E'LON ² Q ² - 2ADEPQ + AE ² P ² - AE ² + BD ² QS - BDEPS - BDEQR + BDE + BO'LISHI ² PR + CD ² S ² - CD ² - 2CDERS + IDORALAR ² R ²
Shartlarni qayta tartiblash:
E'LON ² Q ² + BD ² QS + CD ² S ²-CD ²-2ADEPQ-BDEPS - BDEQR-2CDERS + BDE + AE ² P ² + BO'LISHI ² PR + CE ² R ²-AE ²
D²(AQ² + BQS + CS²)- CD² - DE(2APQ + BPS + BQR + 2CRS) + BDE + E²(AP² + BPR + CR²)- AE²
Dan (30), (31) va (32):
Z (4AC-B²) = CD² - CD² - BDE + BDE + AE² - AE² = 0
Bu degani Z = 0, shunday (33) keyin ushlab turadi (29) ham ushlab turadi.
Ruxsat Bering K = K_DD + K_EE4AC-B² va L = L_DD + L_EE4AC-B² (34)
Ifodalarni soddalashtirishni davom ettirish uchun quyidagilarga e'tibor qaratishimiz kerak:
K_D = BQ-2C(1-S)
K_D = B (- Cs) - 2C (1-R-Bs)
K_D = - BCs-2C + 2Cr + 2BCs
K_D = C (-2 + 2r + Bs) (35)
K_D = C (P + S - 2)
L_E = BR - 2A(1-P)
L_E = ABs-2a + 2ar
L_E = A (-2 + 2r + Bs)
L_E = A (P + S - 2)
K_E = B (1 - P) - 2CR
K_E = B (1 - r) - 2acs
K_E = B-Br-2acs (36)
L_D = B (1-S) - 2AQ
L_D = B (1 - R - Bs) + 2acs
L_D = B-Br-B²s + 2ACs
L_D - K_E = (4AC-B²) lar (37)
Shunday:
K = CD (P+S-2) + E(B-Br-2acs)4AC-B²
L = D(B-Br-2ACs) + AE (P+S-2)4AC-B² + Ds
Odatda numeratorlar ko'p bo'lmaydi 4AC-B², shuning uchun ushbu formuladan foydalanib, biz barcha qiymatlari uchun takrorlanishni topa olmaymiz D va E.
D ning ba'zi qiymatlari uchun va E quyida ko'rsatilganidek, echimlar bo'ladi. Tenglamalardan foydalanish (24) - (27):
K_DL_E - K_EL_D = 4ACr² + 4ABCrs + 4A²C²s² - B²r² - B³rs-AB²Cs² - 4ABCs-B³s + 4AC-B² - 8ACr + 2B²r =
= (4AC-B²) (r² + Brs + ACs²)- (4AC-B²) Bs + (4AC-B²)- (4AC-B²) 2r =
= (4AC-B²) (2 - 2r - Bs)
Quyida ko'rsatilgan teng belgilar muvofiqlik rejimini anglatadi 4AC-B².
K_DL_E - K_EL_D = 0 = > K_D/ K_E = L_D/ L_E (38)
Beri K va L ular bo'lishi kerak bo'lgan butun sonlar bo'lishi kerak (dan (34)):
K_DD + K_EE = 0 => E = (-K_D/ K_E) D (39)
L_DD + L_EE = 0 => E = (-L_D/ L_E) D
Ushbu tenglamalar tenglama tufayli izchil (38).
Ba'zi hollarda (qarang misol 6) yechimlar yordamida takrorlanishni topishimiz mumkin -r va - s beri (- r)² + B (- R) (- S) + AC (- s)² = r² + Brs + ACs² = 1.
Agar echimlar topilmasa (xuddi shunday 7-misol), biz keyingi echimlardan foydalanishimiz kerak (r₁, s₁) ning r² + Brs + ACs² = 1 chunki har doim quyida ko'rsatilgandek echimlar bo'ladi.
Avval biz topishimiz kerak va s1 dan r va s. buning uchun biz formulalardan foydalanamiz (24) - (28).
r₁ = r r + (- ACs)s = r² - ACs²
s₁ = s r + (R + Bs ) s = 2rs + Bs²
Endi qiymatlari r va s bilan almashtirilishi kerak 
Dan (24): P₁ = r₁ = r² - ACs²
Dan (25): Q₁ = - Cs₁ = - C(2rs + Bs²)
Dan (26): R₁ = Sifatida₁ = A (2rs + Bs²)
(27): S₁ = r₁ + Bs₁ = r² + 2brs + (B² - AC) lar²
Dan (35):