Matematik tariHİ

Bütün eğitim görmüşler, dünyaya sayıların çerçevesinden bakarlar. Anne ve babalar çocuklarının matematikten yüksek not almasını isterler; devlet okullarda matematiğe daha çok saat ayırır; üniversitelerdeki en büyük bölümlerden biri matematik bölümüdür.

Matematik bilmek bir üstünlük olarak kabul edilir. Ayrıca, evrenin görünüşünün arkasında ne yattığını anlamak için matematik eğitimi almak gerektiğini düşünen Platon’un, Akademi’sinin kapısına, “Geometri bilmeyen girmesin” diye yazdırdığı rivayet edilir.

Birçok filozof, matematiğin mutlak doğru olduğuna inanmaktadır. Öyle ki, Hempel meşhur “Matematiksel Doğruluğun Doğası Üzerine” adlı makalesinde, matematiğin önermelerinin “tanımı itibariyle doğru” olduğunu belirtmiş, matematik önermelerinin, “Bütün bekarlar evli değildir” ifadesindeki gibi kesinlik değerine sahip olduğunu belirterek, matematiğin mutlak geçerliliğini iddia etmiştir.

Bu bağlamda, gözlem ve deneye dayanmadan, sadece akıl ile mutlak bilgi sunduğu iddia edilen matematik, felsefi bir soruşturma için biçilmiş bir kaftandır artık: Matematik nedir? Matematiksel bilginin temeli nedir? Matematiksel doğru, mutlak doğru mudur? Niçin, Matematiksel hakikatın doğası nedir? Matematiksel önermeler, bizden bağımsız olarak mı doğrudur? Matematiksel ispatlar zamanla değişmezler mi? Matematikte doğa bilimlerindeki gibi devrimler var mı? Matematiksel doğrular niçin zorunludur? Matematik eğer kainatın dili ise, niçin bu böyledir? Matematik nasıl oluyor da ‘gerçek’ dünyada işe yarıyor? Bu sorular aslında ‘matematik felsefesi nedir?’ sorusunu sormaktadır.

Matematik felsefesinin ne olduğu, matematik ve felsefe arasındaki ilişki, filozofların bilgi sistemlerinde matematiğin ayrıcalıklı konumunun kökenleri, matematiğin ne olduğu ve matematikçilerin çoğunun inandığı bir matematik felsefesi olarak Platonculuk bu bölümde incelenecektir.

Günümüzün önemli matematik filozoflarından biri olan Maddy, “Matematik filozofunun görevinin, matematiği reform etme değil, onu tanımlama ve açıklama olduğunu kabul ediyorum” demektedir.

Matematik felsefesi de matematik teoremlerinin sayısını doğrudan artırmaz. Körner için matematik felsefesi matematik demek değildir; matematik üzerine yansımalardır.

Körner bu anlayışın matematik felsefesi açısından yanlış bir yaklaşım olduğunu vurgular. Ona göre, felsefenin rehberliğinde olmayan matematik tarihi körleşmiş, matematik tarihine sırtını dönen matematik felsefesi ise koflaşmıştır.

Bütün büyük filozofla matematik hakkında konuşmuştur.Akademik uzmanlaşmanın yaygınlaşmasından önce; Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz, Blaise Pascal, Bernard Balzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Henri Poincare, Gottlob Frege, Alonzo Church, Kurt Gödel, Alfred Renyi ve Alfred Tarski gibi hem matematikçi hem de filozof olarak çalışmalarını sürdürmüşlerdir. Öyle ki, Platon, Descartes, Leibniz, Kant, Frege, Russell, Wirtgenstein, Quine, Putnam gibi filozofların düşünce sistemlerinde matematik çok önemli bir yer işgal etmiştir. Aslında bu ilgi, Brown’ın da belirttiği gibi, sadece analitik felsefe denen akımla sınırlı değildir. Husserl ve Lonergin’in çalışmaları ile Kıta Avrupa’sı ve Thomistik felsefede bu ilgi zannedildiğinden de büyüktür. Öyle ki, ciddi bir felsefi merakı olan herkesin, matematiğin doğasına yönelik bir ilgisi olması da beklenir.

Aşırı uzmanlaşmanın matematik ve felsefe arasındaki tarih boyunca süregelen bu etkileşimi sarstığı söylenebilir. Zira, bugün, aynı matematik bölümünün çatısı altında çalışan bir analizci, cebirciyi anlamakta zorluk çekmektedir. Benzeri bir durum felsefe bölümleri için de geçerlidir; sözgelimi, etik üzerine çalışan biri, bilim veya matematik felsefesi üzerine çalışan birini anlamakta zorlanmaktadır.

Matematik felsefesi, felsefenin diğer dalları veya matematiğin diğer alanları dikkate alındığında çok fazla gelişmemiştir. Burada, matematiğin, matematikçi gözünde mükemmel bir sistem olması ve gerçek dünyada ciddi bir sorunla karşılaşmadan kullanılması, ayrıca, genel olarak bir matematikçinin matematik yaparken aldığı zevkin etkili olduğu söylenebilir. Sözgelimi, Fransız matematikçisi Henri Lebesgue’ya göre, matematikçi olan birinin felsefe ile zihnini meşgul etmesine gerek yoktur.

Şimdi, bir filozof matematiğin neden çekici olduğu sorusu akla gelebilir. Shapiro, bu konuda üç önemli noktaya dikkat çeker. Birincisi, her iki disiplin de dünyayı anlamlandırma çabasının bir ürünü olarak Antik Yunan’da doğmuş veya gelişme açısından önemli mesafeler kaydetmişlerdir. İkinci sebep, birçok karmaşık felsefi sorunun matematiğe yönelindiği zaman netliğe kavuşmasıdır. Örneğin bir dil filozofu için ‘Bu terim neyi göstermektedir, bir nesneyi mi? gibi sorular için matematik dili iyi bir malzeme sağlamaktadır. Tymoczko da benzeri bir noktaya vurgu yaparak, matematik felsefesinin geleneksel olarak, felsefe kuramları için bir test imkânı sunduğunu belirtir. Üçüncü sebep epistemoloji ile ilgilidir. Matematik, bilimde hayati bir öneme sahiptir. Dünyayı anlama çabasında matematiğin temel bir görev üstlendiği açıktır. Fiziksel dünyanın anlaşılması için matematik merkezi bir konumdadır. Bir filozof için ‘Kainatın dili niçin matematikle yazılmıştır?’ türü sorular önemli olmalıdır.

Bu açıklamalardan sonra akla gelebilecek bir soru şudur: Peki, matematik nedir? Atom bombasının mimarlarından olan meşhur fizikçi Oppenheimer, bir defasında, günümüzde filozofların matematik bilmediklerini, hatta bir adım daha ileri giderek, matematikçilerin de matematik bilmediklerini söylemiştir. Oppenhemir’ın ifadesinde, matematikçilerin teknik olarak bilgilerinin eksik olduğunu mu yoksa matematikçilerin gerçekte uğraştıkları işin özüne vakıf olmadıklarını mı kastettiği açık değildir. Burada teknik yöne vurgu yapması ihtimali düşüktür: çünkü 20. yüzyıl matematiği, matematiğin atılım çağı olmuş ve kimilerince ‘altın çağ’ olarak nitelendirilmiştir. Bu yüzden Opppnheimer’in kastettiği şeyin matematiğin doğası ve mahiyetine ilişkin olduğu söylenebilir. Aslında, matematiğin ne olduğu sorusu matematik felsefesinde çetin bir sorundur.

 ‘Matematik nedir?’ sorusunun bir cevabı olarak da okunabilecek olan ve neredeyse bütün matema-tikçiler tarafından inanılan matematiksel Platonculuğun kendisi, matematik felsefesinde merkezi bir konumdadır.

‘Verilen herhangi iki nokta için, her iki noktanın üzerinde olduğu düz bir çizgi vardır.’

Genel olarak kabul edilen anlayışa göre, matematikçilerin çoğun-luğu Platoncudur. Bazı matematikçilerin, matematiksel teoremler ve doğrular hakkındaki görüşlerini aktarmak, Platonculuğu anlamak açısından faydalı olabilir. Mesela, matematikçi-filozof Frege’ye göre; Pisagor teoremi zaman-üstü bir doğruluğa sahiptir; matematikçiler Pisagor teoremini keşfetmeden önce bile o, bir gezegen gibi eskiden beri vardı.

Hardy klâsik makalesi, ‘Matematiksel İspat’ta matematiksel teo-remlerin doğruluk ve yanlışlığının mutlak olduğunu, bunun bizim onlar hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğu ve matematiksel doğruluğun nesnel gerçekliğin bir parçası olduğunu belirtmiştir.

Aslında, Platonculuk günümüz matematikçileri arasında da yaygındır. Meşhur matematiksel fizikçi Penrose günümüzün önemli Platoncularındandır. Penrose şöyle der: “Mandelbrot kümesi insan zihninin bir buluşu değildir. O bir keşiftir. Aynen Everest Tepesi gibi, Mandelbrot kümesi oradadır!”.

Platonculuğun ne olduğu sorunu üzerine yoğunlaşan Brown, Platonculuğun çekirdeğinin şu maddelerden oluştuğunu belirtir:

1- Matematiksel nesneler gerçektirler ve bizden bağımsız olarak vardırlar.

2- Matematiksel nesneler, zaman ve mekanın dışındadırlar.

3- Matematiksel varlıklar, bir bakıma soyuttur bir bakıma soyut değildir. (Matematiksel varlıklar, fiziksel bir varlığa sahip olmama manasında soyutturlar, fakat sözgelimi 2 sayısının tikel olması, evrensel olmaması manasında soyut değillerdir.)

4- Matematiksel nesneleri sezebilir ve matematiksel hakikati kavrayabiliriz.

5- Matematik ampirik değil a priori’dir (tecrübeden bağımsız olarak ulaşılabilen bilgi).

6- Matematik, a priori olmasına rağmen, kesin doğru olması gerekmez.

7- Platonculuk, diğer görüşlerden daha fazla, matematiksel hakikati arama tekniklerine açıktır.

Bunca hareketlilik, matematik felsefesi tarihinin lineer bir şekilde gelişmediğini göstermekte ve bütüncül/nesnel bir özetin verilmesini imkânsızlaştırmaktadır. Nihayetinde, yapılacak her değerlendirme veya antolojik çalışma, en başta sayfa sınırlamasından dolayı bazı noktaları atlamak/kayırmak zorunda kalacaktır. Ayrıca, bu metinde, matematik felsefesinde Avrupa veya Batı felsefe tarihi paradigması dışında kalan yaklaşımlar (Çin, Hind veya islâm medeniyetlerinin katkıları gibi) üzerinde durulmadı.

“Tarihi gezimize antik Yunan ile başlamak doğaldır. Çünkü günümüzde bildiğimiz haliyle matematik ve felsefenin, Punan’da doğduğu genel olarak kabul edilir.” demektedir.

Pisagorlulara göre sayılar kainatın özünde vardır; yani aslında her şey sayıdır. Onlara göre, doğadaki her şey sayılar veya sayıların başlamadığı bilinen bir vakıa olsa da, Pisagorluların birçok mistik öğretiye sahip olduğu bilinmektedir. Sözgelimi, onlara göre ‘bir’ sayısı bütün sayıların üreticisidir. İki, ilk çift sayıdır ve görüş düşünceyi temsil eder. Çift sayılar kadınları, tek sayılar ise erkekleri gösterir. Üç, gerçek anlamda ilk tek sayıdır ve düzeni temsil eder. Dört, ilk tam kare sayıdır ve adaleti gösterir. Beş, iki ve üç sayısının birleşimi olarak evliliği gösterir. Bu tür sayı mistizmlerinin daha sonraki çağlarda, gerek Hıristiyan, gerek Musevi ve gerekse de kimi Müslüman topluluklarda etkili olduğu bilinmektedir.

Öklit’in kurduğu sistem 2000 yıldan fazla mutlak doğru gibi görünmesine rağmen, ancak modern zamanlarda bu sistemde gedikler olduğu anlaşılmıştır. Sözgelimi, bir çemberin içindeki bir nokta ile çemberin dışındaki bir noktayı birleştiren bir doğruya sahip olduğumuzu kabul edelim. Öklit, bu doğrunun çember ile kesiştiğini kabul etmiştir. Günümüzde bu zannın, Öklit’in kullandığı postulat, aksiyom ve tanımlardan elde edilemeyeceği anlaşılmıştır. Sonucu elde etmek için, süreklilik adı verilen matema-tiksel bir prensibin eklenmesi gerekir. İşin ilginç tarafı, Elementler uzmanlarının çok yakın zamanlarda farkına vardığı bu mantıksal boşluk, bu sonucun Batı’da keşfedilmesinden yedi asır öncesinde matematikçi ve matematik filozofu İbni Heysem tarafın-dan 11. asırda şöyle ele alınmıştır: “Öklit, iki çemberin bir noktada kesişeceğini söylemiş, fakat birbirlerini kestiklerini ispatlamamıştır, bu özelliği göstermeksizin kabul etmiştir.”

Platon ve Aristo için, matematik demek neredeyse geometri demekti. Platon matematikten, “ilk olarak öğrenilmesi gereken, bilginin her çeşidinde faydalı” diye bahsetmektedir. Platon için geometri formlar dünyasını oluşturmaktadır. Formlar dünyasında her şey mükemmeldir; tecrübi dünyada ise her şey ancak mükemmele yakındır. Aristo, Platon’a karşı bir pozisyon alarak, tecrübi bilginin önemini vurgulamıştır. Aristo’nun matematik felsefesinde, matematiğin fiziksel dünyaya uygulanması gayet sıradandır. Yani matematikçi fiziksel nesnelerin gerçek özelliklerine yakın özelliklerle çalışır. İki ayrı gerçeklikten

Rene Descartes (1596-1650) için matematik temel bir konumdadır. Descartes, matematiğin doğruluğuna hayrandır. Yazılarında kullanmayı ihmal etmiş olsa da Elementler’in sistemini o da takdir eder. Ayrıca, Tanrı’nın matematiksel bir ispatını verir.

Leibniz (1646-1716), basit hesaplamalar sayesinde doğru akıl yürütmelerin yapılabileceği bir dil hayal etmiştir: “Herhangi bir kişi, benim cümlelerimin birinden şüphe duyarsa, benim diyeceğim söz: buyrun soruyu sayıları kullanarak hesaplayalım’ olacaktır. Böylece kalem ve mürekkep kullanarak çabucak cevaba ulaşırız”. Leibniz’in bu hayalinin, gerek Hilbert’in düşüncelerinin gelişmesinde, gerekse de matematik ve bilgisayarlardaki sembolik dilin gelişmesinde önemli payı vardır.

Kant’a (1724-1804) kadar genel olarak, matematik felsefesi ve din birbirini destekler şekilde karşımıza çıkar. Berkeley ve Leibniz’in yapıtlarında din, matematik felsefesindeki sorunların çözüm kaynağı olarak görülmüştür. “Matematik niçin gerçek dünyada bir karşılık, bulur?”, “Matematiksel nesneler, zihnimizden, zaman ve mekandan nasıl bağımsız olabilirler?” türünden zor soruların cevabı açıktır, matematiğin doğası hakkındaki sorunlar için kusursuz bir cevaptır.

Spinoza, matematik felsefesi üzerine doğrudan yazmamış olsa da, yazdıkları matematik felsefesini dolaylı yoldan etkilemiştir. Hersh’e göre, Spinoza’nın matematik feteefejindeki dolaylı rolü, bilimi sekülerleştirmesinde yatmaktadır. Böylece o, modern Platonculuğun ikileminin doğmasına yardıma olmuştur. Bu bağlamda, Kant Pisagor’dan gönümüze teolojiyi açıkça felsefesinin bir parçası yapan son filozoftur. Descartes ve Leibniz’in aksine Kant, matematiğin kesinliğinin, Tanrı’nın varlığının kesinliği için bir delil olduğu düşüncesini kullanmamıştır. Kant, Tanrı’nın varlığı meselesini, matematik kuramından ayrı tutmuştur.

Yeri gelmişken zamanın matematikçilerinin düşüncesini yansıtması açısından ilginç bir hadiseden bahsedelim.

Örnek Olay:

Rivayet edildiğine göre, bütün çağların en üretken matematikçilerinden sayılan Euler (1707-1783) ile devrin önemli bir filozofu olan Diderot karşılaştığında ateist olan Diderot, Euler’den Tanrının varlığının matematiksel bir ispatını ister. Bu meydan okumaya karşı, Euler, tahtaya (a+bn)/ n=x eşitliğini yazar ve “Dolayısıyla Tanrı vardır” der. Matematik bilmediğini ve bu eşitliğin konu ile alakasını kuramadığını belli etmemek için ayrıca herhangi bir soru sormaktan çekinen Diderot, bu sonucu kabullenmek zorunda kalır ve Euler’e karşı bir şey diyemez. Bunun yanında, ruhun materyal bir öz olmadığı ve Tanrı’nın varlığı ile alakalı Euler’in ciddi ispatlarının zamanın teoloji kitaplarında yer etmiş olduğu rivayet edilir. 18. yüzyılın bir başka önemli filozofu Berkeley’in (1685-1753) The Analyst(1734) adlı kitabı, kendi zamanında matematikçi olarak matematikçilere karsı yapılmış tek felsefi eleştiridir. Bu kitabıyla Berkeley, Newton ve Leibniz’in diferansiyel kalkulüsüne saldırmıştır. Berkeley’in aritmetik hakkında ilginç hir görüşü vardır. Ona göre, sayıların varlığından bahsediulemez; yani sayılar yoktur.

Kant’a göre, Öklit geometrisi sentetik bir a priori bilgiye yani doğruluğu zorunlu bir şeye örnektir. Ona göre, bu zorunluluk, az önce değindiğimiz algılarımız veya insanın düşünce tarzında hatta beynimizin yapılış tarzında yatmaktaydı. Russell, “Bir deliden başka hiç kimse, diyorlardı, Öklit geometrisinin geçerliliğinden kuşkulanmaz ve ancak bir aptal onun nesnel referansını yadsır.” diyerek Öklit geometrisinin oluşturduğu paradigmanın ne kadar sağlam olduğunu vurgulamıştır.

Kanadalı geometrici Coxeter bir yazısında 1820/lerde Öklit geometrisi dışında bir geometri hayal etmenin ne kadar zor olduğuna değinerek, Öklit-dışı geometrilerin keşfinin doğruluk ve gerçeklik hakkındaki fikirleri derinden sarstığını belirtir.

“Geometrik aksiyomlar, ne a priori sentetik sezgilerden ne de deneysel olgulardan ibaret değildir…..

Bir geometri başka bir geometriden daha doğru olamaz ancak daha kullanışlı olabilir.” Filozoflar yukarıda anlatılan Poincare’nin uzlaşımcılık (konvansiyonelizm) fikrini hâlâ tartışmaktadırlar. 20. yüzyıl bilim felsefesinde derin ve uzun soluklu tartışmalara yol açmış bu görüşe göre, genel olarak bilim belli örtük / ortak kabullere, şartlandırılmalara veya uzlaşımlara dayanmaktadır.

Kant’a yeniden dönersek, Kant’ın temel sorunlarından biri de bütün matematik felsefesini, ’sezgi’ üzerine inşa etmesinde yatar.

Quine, bu ayrımın yetersiz ve yapay bir ayrım olduğu vurgulayarak bu tür bir ayrımı sarsmıştır.

Neredeyse bütün filozoflar tarafından ayrıcalıklı görülen matematik, Hume’a (1711-1776) gelince sıradanlaşmış görünmektedir. Locke ve Berkeley’in takipçisi, kendi kendini yetiştirmiş bir fizikçi ve matematikçi olan David Hume, 20. yüzyıldan önce, matematiğin diğer bilimler gibi yalnızca ihtimali bilgi verdiğini belirten az sayıda filozoftan biridir. Hume’unbu ‘marjinal’ görüşünü aktarıp, Kant’ın önemli bir rakibi olan Mill’e geçeceğiz.

Mili (1806-1873), matematiksel kesinlik ile aklın ulaşabileceği , en yüksek dereceli kesinlik arasında kurulan ilişkiyi sorgulamış, matematiğin neredeyse tüm filozoflar tarafından tecrübe ve gözlemden bağımsız ele alınmasına karşı çıkmıştır. Mill’in görüşleri kendi çağında çok fazla revaç bulmamış olsa bile günümüzde Quine ve Kitcher gibi önemli filozoflar Mill’in görüşlerini ciddiye almaktadırlar.

Mill’e göre, bu görüş ampirizmin özünü oluşturur: 2+2 = 4 eşitliğinin anlamı, ‘iki taşı yanyana koy, öte tarafa da iki taş koy sonra bunları yanyana getir eder 4 taş’ gibi gayet basit ve sıradandır. Yani Mill’e göre, matematiksel bilgiyi elde etme yöntemi temelde fizik gibi diğer tür bilgi edinme yöntemleri ile aynıdır; dolayısıyla mate-matiğin herhangi ciddi bir üstünlüğü yoktur. Burada, Mill’e yönelik bir eleştiriyi aktarmak faydalı olacaktır. Mili, matematik açısından ilkel sayılabilecek konularla ilgilenmiş, yüksek seviyeli matematik-le uğraşmamıştır; ki bu, Aristo için anlaşılabilecek bir şey olsa da Mili için böyle söylenemez. Meselâ, Mili kendi görüşlerinden yola çıkarak matematiksel tümevarımı nasıl açıklayacaktır? (Shapiro, 2000: 100) Bu arada, sadece temel düzeyde matematikle uğraşmış olan Mill’in savunduğu ampirizmin, şimdiki ampirizmin zorlukları ile karşılaşmadığı da söylenebilir.

Stuart Mill’in babası James Mili, Hobbes ve Condillac gibi sayıların varlığını inkar eden nominalistlere göre, 2+1,3′ün tanımıdır. Bu fikirleri ile bu düşünürler. Russell’ı ve Russell’ın takipçilerini önce-leyerek, 2+1 = 3 denkleminin totoloji olduğunu iddia etmişlerdir. S. Mili bu görüşlere karşı çıkmıştır. Mill’e göre, 2+1 totoloji değil bilgilendirici bir denklemdir ve bize bir üçlünün, tek ve çift olmak üzere iki gruba ayrılabileceğini gösterir.

Toparlarsak, matematik felsefesinin ilk devirlerinden beri temelde iki görüş ile karşı karşıya bulunmaktayız. Rasyonalizm olarak adlandırılabilecek olan görüşe göre, matematiğin sarsılmaz bir temeli vardır ve bu akıl ile bilinebilir. Kökenlerini, Platon’da bulan bu görüşün en önemli temsilcileri Descartes, Spinoza ve Leibniz’dır. Bu görüşe karşı çıkan ikinci görüşü ampirizm olarak adlandırırsak, bu görüşü savunanlara göre, matematiksel bilginin kaynağı, saf akıl değil, tecrübedir. Kökenlerini Aristo’da bulan bu görüşün en önemli temsilcileri Locke, Berkeley, Hume ve S. Mill’dir. Bu iki görüş modern matematik felsefesini temelden biçimlendirecektir. Tartışmasız baskın olan birinci görüşü, ileride değineceğimiz temelci yaklaşımda, ikinci görüşü ise Viyana çevresi ve Quine gibi filozoflarda bulmaktayız.

Asırlar önce, Pisagorlular arasında kök iki sayısının keşfinin doğurduğu tedirginlik geometriye olan ilginin artmasına sebep olmuştu. 19. yüzyılda ise, geometrideki kesinliğin azalması, bütün matematikteki kesinliğin azalması tehlikesini doğurdu.

Uzayı kaplayan eğrilen ve hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli eğriler tam birer sürpriz ve şok olmuştur. Bunlar, matematiğin o zamana kadar üzerine kurulu olduğu, geometrik sezginin yanılabilirliğini ortaya koymaktaydı.

Zamanın önemli matematikçileri bu sorun ile boğuşmuşlardı. Weierstrass’ın öncülüğünde matematikçiler, o zamana kadar matematiğin temeli olarak görülen geometriyi aritmetik ile değiştirmişlerdir. Bu süreçte, matematik felsefesini derinden etkileyecek matematiksel çalışmalar Cantor’dan gelmiştir.

Cantor, kümelerin farklı sonsuz büyüklüklere sahip olduğunu ispatlayarak, sonsuzluğu derecelendirmeyi başarmıştır.

Dedekind ve Weierstrass liderliğinde matematikçiler, matematiğin temeli olarak geometri yerine aritmetiği ikame ettiler. ne var ki, Cantor’un sonsuzluk analizleri aritmetiğin dayandığı küme kuramında paradokslara yol açtı. Matematikçiler bu krizi ortadan kaldırmak için matematiğin temellerini sağlama alma konusunda ciddi çalışmalara başladılar.

19. yüzyılın sonunda matematiğin büyük ölçüde, kümelere dayandığı yada indirgenebileceği düşüncesi göz önüne alınınca paradoksların sebep olduğu krizi anlamak daha kolay olur.

Mantıkçılık, katıksız (pür) matematiğin, mantığın bir kolu olduğunu iddia eden düşünce okuludur.

Frege, sayıların insan zihnindeki fikirler olduğunu iddia eden psikolojizme, sayıların evrimleştiğini iddia eden tarihçiliğe ve sayıların fiziksel dünyadaki nesneler olduğunu iddia eden ampirizme karşı sert eleştiriler getirdi.

Formalizm, popüler terimlerle ifade edersek, matematiğin ‘kağıt üzerindeki işaretlerle oynanan bir oyun’ olduğunu iddia eder. For-malizmin başlıca taraftarları Hilbert, ilk dönem von Neumann ve Curry’dir.

Formalizm temelde iki türe ayrılabilir. Terim biçimciliği olarak nitelenen biçimciliğe göre, matematiğin bir konusu vardır ve ma-tematiksel önermeler ya doğru ya da yanlıştır. Bu görüş, zor soruları kolaylıkla cevaplandırmaktadır. “Matematik ne hakkındadır? Sayılar, kümeler vs. Bu sayılar, kümeler vs. nedir? Bunlar dilsel özelliklerdir. Matematik nasıl bilinir? Matematiksel bilgi nedir?

Bu, karakterlerin birbiri ile nasıl ilişkili olduklarının ve bunların

matematiksel pratik içinde nasıl manipüle edildiklerinin bilgisidir.” Oyun biçimciliği olarak adlandırılan biçimcilik de zor metafizik ve epistemolojik soruları kolayca cevaplandırır. “Matematik ne hakkındadır? Hiçbir şey. Sayılar, kümeler vs. nedir? Bunlar var değiller veyahut olmamalıdırlar. Matematik nasıl bilinir? Matematiksel bilgi nedir? Bu, oyunun kurallarının veya bu kurallara göre belirlenen hareketlerin bilgisidir.”

Biçimciler içinde Hilbert’in programı göz kamaştırıcıdır. Hilbert, “Gerçekte matematiksel bir problemi alt etmenin en çekici ana

sebeplerinden biri daima içimizdeki şu çığlığı hissetmememizdendir: Problem işte ortada, hadi cevabını bul, onu sadece düşünerek bulabilirsin, çünkü matematikte bilinemeyecek diye bir şey yoktur.” demiştir.

İnşacılar, matematiği çelişkilerden ve anlamsızlıklardan kurtarmak için matematiği yeniden inşa etme gayesi ile yola çıkmışlardır. Dolayısıyla, onlara göre doğal sayılardan sonlu sayıda basamak ile inşa edilemeyen matematiksel önermeler, matematikten hariç tutulmalıdır. Klasik matematik güvenilir değildir ve inşacı metotlarla yeniden inşa edilmeye ihtiyacı vardır.

En meşhur inşacılar, sezgici felsefenin öncülüğünü yapmış L.E.J. Brouwer ve öğrencisi A. Heyting’dir. Günümüzde Michael Duramett gibi filozoflar, inşacılığın değişik biçimlerini savunmaktadırlar.

Temelciliğe getirdiği bakış açısı ile dikkatleri üzerine çeken önemli bir filozof ise hilary Putnam’dır. Putnam 1967 yılında yazdığı bir makalede şöyle demektedir:

“Filozoflar ile mantıkçılar son elli yıl boyunca matematiğe bir ‘temel’ bulma yolunda öylesine yoğun bir çaba içine girmişlerdir ki, yalnızca birkaç cılız ses matematiğin bir temele gereksinmesi olmadığını söyleme cesareti gösterebilmiştir. Ben bu cılız seslere katılmak istiyorum. Kanımca matematik açıklık gerektiren bir konu değildir; temellendirilmesine ilişkin bir bunalımı da yoktur. dahası, matematiğin temeli olmadığı gibi, bir temele ihtiyacı olduğuna da inanmıyorum.” (Putnam’dan aktaran Yıldırım)

Son yıllarda, dikkati çeken bir konu da bilgisayar ispatları ve grafikleridir. 1976 yılında Dört Renk Sanısı’nın bilgisayar tarafından ispatının verilmesi matematikçiler ve filozoflar arasında ispatın ne olduğu, bilgisayar ispatının kabul edilip edilemeyeceği gibi ciddi tartışmalara yol açmıştır. Aslında birçok matematikçi, bilgisayar ispatına sert tepki göstermiştir. On yıllarca, matematik filozoflarının bir kısmı, geçerli bir ispatın herhangi mekanik bir yolla kontrol edilebileceğinden bahsettiler. Şimdi, bilgisayar tarafından uzun yıllardır çözülemeyen bir sorunun ispatı verilince, bazıları “Bu, bir ispat değildir!” demektedirler.

Yirminci yüzyılın en önemli filozoflarından kabul edilen Quine’ın (1908-2000) matematik felsefesi hakkındaki görüşleri oldukça önemlidir. Quine, “Ampirizmin iki Dogması” adlı meşhur makalesinde eskiden beri uygulanagelen, olgulardan bağımsız bilinebilen veya olgularla bilinebilen ayrımı olarak tarif edilen ve ilk olarak Kant’ta açıkça karşılaştığımız analitik-sentetik ‘dogma’sına savaş açar. Quine’a göre, dil ve dünya faktörleri birbirine düğümlenmiş gibi iç içe geçmiştir ve bu ikisi arasında keskin bir ayrım yoktur.