Mavzu: Algebralar gomomorfizmi. Mundarija kirish

k_n+1+l_m+1= k_n+l_m(mod pⁿ)
k_n+1l_m+1= k_nl_m(mod pⁿ) kelib chiqadi.
Demak, R^∞ kо‘rinishdagi gruppalar izomorfizmlar halqasi (1) kо‘rinishdagi manfiy bо‘lmagan butun sonlar ketma-ketligi halqasiga izomorfdir. Ular 0≤k_n≤ pⁿ, k_n+1= k_n (mod pⁿ) shartlarini qanoatlantiradi. Ularda qо‘shish va kо‘paytirish ketma-ket komponentlarda bajariladi. Har bir n-о‘rinli pⁿ modulli taqqoslama orqali.

Gruppa. Yarim gruppa. Gruppa izomorfizmi.

Ta’rif: G tо‘plam * amalga nisbatan gruppani tashkil qiladi, agar u quyidagi shartlarni bajarsa:

1. 
   
   ¥ g₁, g₂ € G uchun g₁* g₂€ G
   
2. 
   
   * amal assotsiativ
   
3. 
   
   G da neytral element mavjud.
   
4. 
   
   G ning barcha elementi teskarilanuvchi.
   
5. 
   
   Agar * amal G ixtiyoriy kommutativ bо‘lsa, ya’ni ¥ g₁, g₂ € G uchun g₁* g₂= g₂* g₁ shart bajarilsa (G,*) gruppa kommutativ deyiladi. Kommutativ gruppa Abel gruppa deyiladi.
   

Misol. S_n-n-darajali barcha n! о‘rniga qо‘yishlar tо‘plami bо‘lsin. Bu tо‘plam kо‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladimi.
Yechim. Gruppani 4ta shartini bajarilishini tekshiramiz.

1. 
   
   ¥ α, β€ S_n va bо‘lsin. U holda ← S_n. Demak, 1)-shart bajariladi.
   
2. 
   
   ixtiyoriy bо‘lsin. U holda . Demak qanday sonni olmaylik va о‘rniga qо‘yishlar uni bitta l soniga о‘tkazadi. Demak, 2-shart bajariladi.
   
3. 
   
   S_n-tо‘plamning neytral elementi aynan о‘rniga о‘yish bо‘ladi. YA’ni, l=e. Demak, ae=ea=a. 3-shart bajariladi.
   
4. 
   
   Agar u holda . Demak, 4-shart bajariladi va (S_ni)gruppoid gruppa bо‘ladi.
   

Misol-2. n-tartibli xosmas kvadrat matritsalar tо‘plami F^nxn kо‘paytirish amaliga nisbatan gruppani tashkil qiladimi? (elementlar Rdan olingan).
Yechish. 1) Ma’lumki, ¥ A, V € F^nxn uchun AV€ F^nxn
2) Matritsalar kо‘paytmasi assotsiativ, ya’ni ¥ A, V, S€ F^nxn A(VS)=(AV)S.
3) Barcha elementlari birlardan iborat matritsa F^nxn tо‘plamni neytral elementi bо‘ladi. YA’ni
¥ A€ F^nxn uchun AYE=YEA=A. bunda elementlari soni n ta
4) Xosmas matritsa teskarilanuvchi bо‘ladi va F^nxn uchun A^-1€ F^nxn mavjud. Demak, n-tartibli xosmas kvadrat matritsalar tо‘plami gruppani tashkil qiladi.
Misol 3.
Ta’rif. G tо‘plamning qism tо‘plami N gruppaosti deyiladi, agar G da aniqlangan amalda nisbatan gruppani tashkil qilsa, unga G ning gruppaosti deyiladi.
Misol-4. G-R-haqiqiy sonlar tо‘plami: z R va z-butun sonlar tо‘plami G da va x amallari aniqlangan va (z,+); (z,-) gruppoidlar gruppani tashkil qiladi.