Mavzu: Garmonik tebranishlar va ularning xarakteristkalari. Prujinali va matematik mayatniklar

Garmonik tebranishlar va ularni qo'shish

Mavzu: Garmonik tebranishlar va ularning xarakteristkalari.Prujinali va matematik mayatniklar.

Reja:

Garmonik tebranishlar

Garmonik tebranishlar tenglamasi

Prujinali mayatnik

Matematik mayatnik

Tabiatshunoslik va texnikada

(1)

yoki

(2)

qonunga asosan o’zgaruvchi miqdorlar keng qo’llaniladi. (1) yoki (2) ko’rinishdagi funksiyalarni biz xususiy holda murakkab funksiya tuzishning bir sodda misoli sifatida qaragan edik. Endi bu masalaga umumiyroq yaqinlashamiz.

O xytekislikda radiusi A ga teng markazi koordinatalar boshida yotgan aylana olamiz. M0boshlang’ich holatda turgan M n uqta bu aylana bo’ylab burchak tezlik bilan aylanma harakat qilayotgan bo’lsin. OM0radius - vektor oxo’qning musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil qilsin. t vaqtdan keyin M nuqta Mtholatni oladi. Bunda radius - vektor o’qining musbat yunalishi bilan burchak tashkil qiladi. Agar Mnuqta aylana bo’ylab harakat qilaversa, uning Myordinata o’qdagi proyektsiyasi R va Q nuqtalar orasida tebranma harakat qiladi. Aylana bo’ylab harakatlanayotgan Mnuqta bilan uning Myproyektsiyasi orasidagi bog’lanishni o’rnatamiz. Sinus funksiya ning ta’rifiga ko’ra.

bunda .

(1) yoki (2) qonun bo’yicha sodir bo’ladigan tebranishlarni garmonik tebranishlar deb ataladi. Garmonik tebranishlar A, va parametrlar bilan to’liq aniqlanadi. Bu parametrlar maxsus nomlar bilan ataladi: A ni tebranish amplitudasi, ni tebranishning tsiklik (yoki doiraviy) chastotasi, ni tebranishning boshlang’ich fazasi, ni esa tebranishning fazasi deb ataladi. Bitta to’liq tebranish sodir bo’ladigan vaqt oralig’iga tebranish davri deyiladi. (2) qonun bo’yicha sodir bo’layotgan tebranishlarning tebranish davrini topamiz. (2) funksiya uchun ayniyatni qaraymiz. Bu ayniyat trigonometrik funksiya larning yig’indisini ko’paytmaga almashtirganimizdan keyin

kurinishni oladi uzgaruvchi miqdor bulgani uchun

bo’ladi;

demak,

bo’ladi; bundan ,

Tning bu topilgan qiymatlari to’plamidan uning eng kichik musbat qiymatini olamiz. Tbunday qiymatga n = 1bo’lganda erishadi. Tning bu qiymatini T0orqali belgilaylik. .

Shunday qilib, funksiya ning T0tebranish davri Ava ga bog’liq bo’lmas ekan.

T0ni quyidagicha mulohaza bilan ham topish mumkin. T0tebranish davri M nuqtaning bir marta to’liq aylanib chiqadigan vaqtiga teng. Aylana uzunligi 2A ga, nuqtaning chiziqli tezligi V esa ga teng, shuning uchun

T0vaqt ichida M nuqta to’liq aylanish qiladi, ya’ni nuqta radianga teng yoy chizadi. Shuning uchun

rad. bo’ladi. Bu yerdan

rad/sek. Bu yerdagi sekunddagi tebranishlar soni bo’lib, bo’ladi.

S hunday qilib tebranishlarning chastotasi va davri o’zaro teskari miqdorlar bo’lar ekan. (1) yoki (2) funksiya ning grafiklarini almashtirish qoidalaridan foydalanib y = cost (y = sint)funksiya ning grafigidan olish mumkin. y =funksiya grafigini y = sintfunksiya grafigidan quyidagi almashtirishlar bilan hosil qilinadi:

1) y = sintfunksiya grafigini Oybo’yicha Amarta cho’zish (qisish) bilan

y = Asintfunksiya grafigi olinadi;

2) Olingan y = Asintfunksiya grafigi nuqtalarining ordinatasini o’zgartirmasdan ularning abstsissalarini Oxo’q bo’ylab marta kamaytirib (oshirib)

y = Asintfunksiya grafigini hosil qilamiz.

3) y = Asintfunksiya grafigini Oxo’q bo’ylab chapga (o’ngga) siljitish bilan funksiya grafigini olamiz.

Har qanday garmonik tebranish ifodasini

(3)

ko’rinishda ifodalash mumkinligini ko’rsataylik. G‘o’shish teoremasiga ko’ra:

Bunda , desak, (3) tenglikni olamiz. Endi ikkita bir xil chastotali (davrli) garmonik tebranishlarning yig’indisi yana shunday chastotali (davrli) garmonik tebranish bo’lishligini ko’rsataylik. Bizga va ikkita bir xil chastotali garmonik tebranishlar berilgan bo’lsin. Bu tebranishlarning yig’indisini topamiz:

desak oldin chiqarilgan

formulaga muvofiq

bunda , esa

sistemadan aniqlanadi.

Agar desak, u holda

Shunday qilib, bir xil chastotali (davrli) ikkita garmonik tebranishlarni qo’shganimizda o’sqanday chastotali lekin boshqa amplitudali va boshlang’ich fazoli garmonik tebranish hosil bo’ladi. Ikkita har xil chastotali (davrli) garmonik tebranishlarni qo’shganimizda esa murakkab tebranishlar hosil bo’ladi. Bunday murakkab tebranishlarning grafigi sinusoidal egri chiziq bo’lmasligi mumkin.