Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari.
f( funksiya ochiq M(M to’plamda berilgan bo’lib, ( bo’lsin.
1-ta’rif. Agar ( nuqtaning shunday atrofi:

mavjud bo’lsaki, uchun f(
bo’lsa, f( funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega deyiladi. qiymat esa f( funksiyaning maksimum (minimum) qiymati deyiladi. Uni


kabi belgilanadi.
Funksiyaning maksimum va minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deyiladi.
1-misol. Ushbu
f(x,y)=
funksiyaning (0;0) nuqtada maksimumga erishishini ko’rsating. Bu funksiya M= da aniqlangan (0;0) nuqtaning

(0 atrofini olaylik. Ravshanki, bo’ladi.
uchun
f(x,y)=
bo’ladi. Demak, berilgan funksiya (0;0) nuqtada maksimumga ega va uning maksimum qiymati 1 ga teng.
1-teorema. Agar f( funksiya nuqtada ekstremumga erishsa va shu nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega bo’lsa, u holda =0, i=1,2,…,m bo’ladi.
2-misol. Ushbu
f(x,y)=x
funksiya (0;0) nuqtada ekstremumga erishadimi?
Ravshanki, f(0, 0)=0.
(0, 0) nuqtaning
: + } (0<
atrofini olaylik.
Bu atrofda f(x, y)-f(0, 0) ayirma o'z ishorasini saqlamaydi. Masalan koordinatalari bir xil ishorali bo’lgan nuqtalar uchun bu ayirma musbat, turli xil ishorali nuqtalar uchun manfiydir. Demak, berilgan funksiya (0, 0) nuqtada ekstremumga ega emas.
Izoh. 2- misolda keltirilgan funksiya
= y, = x
xususiy hosilalarga ega bo’lib, =0, bo’ladi. Demak, 1-teorema shartlari ekstremum uchun zaruriy bo’lib yetarli emasligini ko’ramiz.
1-eslatma. Yuqorida keltirilgan 1-teorema ko’p o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalaydi.
3-misol. Ushbu
f(x, y) =
funksiya (0, 0) nuqtada ekstremumga ega bo’ladimi?
Ravshanki ,
f(0, 0)=0.
(0, 0) nuqtaning
={(x, y) : < > 0) atrofini olaylik. Unda uchun
f(x, y) = ≥ 0 = f(0, 0)
bo’ladi. Demak, berilgan funksiya (0, 0) nuqtada minimumga erishadi va
min{f(x, y)} = 0
bo’ladi.
Qaralayotgan f(x, y) = funksiya (0, 0) xususiy hosilalarga ega emas (qarang 3-misol).
2-eslatma. Ko’p o’zgaruvchili f( funksiya ochiq M to’plamning:
1) Barcha xususiy xosilalari nolga aylanadigan, ya’ni
=0, =0, …, =0
tenglamalarni qanoatlantiradigan nuqtalarda
2) xususiy xosilalar mavjud bo’lmagan nuqtalarda ekstremumga erishishi mumkin.
Odatda f( …, ) funksiyaning barcha xususiy xosilalarini nolga aylantiradigan nuqtalar shu funksiyaning statsionar nuqtalari deyiladi.
2-teorema. f( …, ) funksiya ( , , …, ) nuqtaning biror atrofida ( >0) berilgan va ushbu shartlarni bajarsin:

1. 
   f( …, ) funksiya da barcha o’zgaruvchilari bo’yicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy xosilalarga ega;
   
2. 
   ( , , …, ) nuqta f( …, ) funksiyaning statsionar nuqtasi;
   
3. 
   Koeffitsientlari
   

= (i, k=1, 2, …, m)

Q( …, ) =
kvadratik forma musbat (manfiy) aniqlangan.
U holda f( …, ) funksiya ( , , …, ) nuqtada minimumga (maksimumga) erishadi.
Agar kvadratik forma ishora saqlamasa, f funksiya ( , , …, ) nuqtada ekstremumga erishmaydi.
Ikki o’zgaruvchili funksiyalar uchun bu teorema quyidagicha bo’ladi:
f(x, y) funksiya ( , ) nuqtaning atrofi

={(x, y) : <
( da berilgan va bu atrofda barcha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy xosilalarga ega bo’lsin. ( , ) nuqta f(x, y) funksiyaning statsionar nuqtasi
=0, =0
=0, = =0, =0
bo’lsin.
. Agar
- >0 va >0
bo’lsa, f(x, y) funksiya ( , ) nuqtada minimumga erishadi.
. Agar
- >0 va < 0
bo’lsa, f(x, y) funksiya ( , ) nuqtada maksimumga erishadi.
. Agar
- < 0
bo’lsa f(x, y) funksiya ( , ) nuqtada ekstremumga erishadi.
. Agar
- = 0
bo’lsa f(x, y) funksiya ( , ) nuqtada eksterimumga erishishi ham erishmasligi ham mumkin. Bu shubhali hol qo’shimcha tekshirish talab qiladi.
4 -misol. Ushbu
f(x, y)= + -3axy (a
funksiyani ekstremumga tekshiring.
Avvalo berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
=3 -3ay , =3 -3ax.

Sistemadan berilgan funksiyaning statsionar nuqtalari (0, 0) hamda (a, a) ekanini topamiz.
Ravshanki,
= 6x, = 6y, = -3a.
(a, a) nuqtada
= = 6a = = -3a , = 6a
bo’lib,
- = 36 27
bo’ladi.
Demak a>0 da >0 bo’lib, qaralayotgan funksiya (a, a) nuqtada minumumga a<0 da <0 bo’lib, funksiya (a, a) nuqtada maksimumga erishadi.
(0, 0) nuqtada
- = 36 9 <0
bo’lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga erishmaydi.
5-misol. Ushbu
f(x, y)= +
funksiyani ekstremumga tekshiring.
Ravshanki
=2(x-y), =2(y-x)+3 va
x=-2, y=-2.
Demak, (-2, -2) berilgan funksiyaning statsionar nuqtasi.
Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarining statsionar nuqtadagi qiymatlari
= = 2, = = -2, = = 2
bo’lib,
- =0
bo’ladi. Demak shubhali hol. Bu holda ekrtemumning bor-yo’qligini aniqlash uchun quyidagicha tekshirish o’tkazilishi kerak. Statsionar (-2, -2) nuqtadan o’tuvchi y=x to’g’ri chiziq nuqtalarini qaraymiz. Bu to’g’ri chiziqda berilgan funksiya
f(x, y) = + =
ko’rinishga ega bo’lib, y < -2 da <0, y > -2 da esa >0 bo’ladi. Berilgan funksiya (-2, -2) nuqta atrofida ham musbat, ham manfiy qiymatlarga ega bo’lganligi sababli u shu nuqtada ekstremumga erishmaydi.
6-misol. Ushbu
f(x, y)= - +
funksiyaning D={(x, y) : + } to’plamda eng katta eng kichik qiymatlarini toping.
Berilgan funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz.
= 2x, = -2y.
Demak, (0, 0) nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi ekan. Bu nuqtada berilgan funksiyaning qiymati
f(0, 0) = 2
bo’ladi.
Endi f(x, y) = - + funksiyani D ning chegarasi { + = } aylanada qaraymiz. Bunda
+ = va
f(x, y) = (x, ) = - - )+ 2 =2 bo’ladi. Bu
= 2 funksiyaning [-a, a] dagi eng katta hamda eng kichik qiymatlarini topamiz:
= 4x, 4x = 0 x = 0. = 2 0 + =
= 2 + funksiyaning [-a, a] segmentning chetki nuqtalaridagi qiymati
2 + bo’ladi.
Demak, f(x, y) funksiya eng kichik qiymati , eng katta qiymati esa bo’ladi. Boshqacha aytganda berilgan f(x, y) funksiyaning D to’plam chegarasidagi eng kichik qiymati eng katta qiymati esa bo’ladi. Bu qiymatlarni f(x, y) funksiyaning statsionar nuqtadagi qiymati (f(0, 0) = ) bilan solishtirib, berilgan funksiyaning D to’plamdagi eng katta qiymati , eng kichik qiymati esa bo’lishini topamiz.
Misol va masalalar
Quyidagi funksiyani ekstremumga tekshiring:
106. f(x, y) = + xy + – 6x – 9y.
107. f(x, y) = 2xy – 2y – 4y.
108. f(x, y) = + .
109. f(x, y) = + – 3xy.
110. f(x, y) = xy(1 – x – y).
111. f(x, y) = + x + 3axy.
112. f(x, y) = + +2 – 8x + 8y.
113. f(x, y) = xy + + (x > 0, y > 0).
114. f(x, y) = 1 - .
115. f(x, y) = ( + y) .
116. f(x, y) = (5 – 2x +y).
117. f(x, y) = ( - ).
118. f(x, y) = xy .
119. f(x, y) = x + y + 4 .
120. f(x, y) = x .
121. f(x, y) = 1 - - .
122. f(x, y) = (a
Quyidagi funksiyaning ko’rsatilgan D to’plamda eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
123. f(x, y) = x – 2y – 3.
D = {(x, y) : 0
124. f(x, y) = 1 + x + 2y.
D = {(x, y) :
125. f(x, y) = – x + 18y – 4 .
D = {(x, y) : 0
126. f(x, y) =
D = {(x, y) : }|.
127. f(x, y) =
D = {(x, y) :0 }.
128. f(x, y) = .
D = {(x, y) : + = 1, 0
129. f(x, y) = (x - .
D = {(x, y) : }.
130. f(x, y) = .
D = {(x, y) :
4-§. Oshkormas funksiyalar
. x va y o’zgaruvchilarning F(x, y) funksiyasi uchun ushbu
F(x, y) = 0
tenglamaga ega bo’laylik. Endi x o’zgaruvchining qiymatlaridan iborat shunday X to’plamni qaraylikki, bu to’plamdan olingan har bir qiymatda F(x, y) = 0 tenglama (y ga nisbatan tenglama) yagona yechimga ega