Mənfi olmayan tam ədədlər ( motə) hesabının çoxluqlar

Ədəbiyyat

1. S.A.Feyziyev, R.Y.Şükürov. Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları.

Bakı 2010

2. Kazımov.Z.F.Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları. I hissə. Bakı 2016

Mövzu 2. Mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğunda bərabərlik ,

böyüklük və kiçiklik münasibətləri və onların qurulması

Mənfi olmayan tam ədədlərin nəzəri çoxluq nəzəriyyəsi əsasında qurulması mənfi olmayan tam ədədləri müqayisə etməyə imkan verir.

Tutaq ki, iki və sonlu çoxluqları verilmişdir. çoxluğu vasitəsilə təyin olunan mənfi olmayan tam ədəd , çoxluğu vasitəsilə təyin olunan mənfi olmayan tam ədəd isə olsun. və olduqda və ədədləri arasında aşağıdakı mümkün olan münasibətləri təyin edək.

1) olsun. Bu o deməkdir ki, çoxluğu çoxluğu ilə eyni sinifə daxildir. Deməli, olduqda olar. Buradan alarıq.

2) olsun. Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu çoxluğu ilə eyni sinifə daxil deyildir. Ona görə də bu çoxluqlar müxtəlif mənfi olmayan tam ədədləri ifadə edirlər.

Tərif : Eynigüclü sonlu çoxluqlar sinfinin ümumi miqdar xarakteristikası olan mənfi olmayan tam ədədlərə bərabər ədədlər deyilir. və ədədlərinin bərabərliyi kimi yazılır.

Qeyd edək ki, “ = ” - bərabərlik işarəsi milliyyətcə ingilis olan riyaziyyat müəllimi Robert Rekkord (1510- 1558) tərəfindən təklif edilmişdir.

Tərif : Müxtəlif güclü sonlu çoxluqlar sinfinin ümumi miqdar xarakteristikası olan mənfi olmayan tam ədədlərə isə bərabər olmayan ədədlər deyilir.

Mənfi olmayan tam ədədi tam ədədinə bərabər deyilsə, bu şəklində yazılır və “ ədədi ədədindən fərqlidir” kimi oxunur.

3) olduqda ya çoxluğu çoxluğunun məxsusi altçoxluğu ilə, ya da çoxluğu çoxluğunun məxsusi altçoxluğu ilə eynigüclü olmalıdır.

Tutaq ki, çoxluğu çoxluğunun məxsusi altçoxluğu ilə eynigüclüdür. Yəni və olduqda olar. Buradan da alarıq.

Tutaq ki, çoxluğu çoxluğunun məxsusi altçoxluğu ilə eynigüclüdür. Yəni və olduqda olar. Buradan da alarıq.
Deməli, mənfi olmayan tam ədədlər arasında bərabərlik münasibəti ödənil

mədikdə, onlardan biri o birindən ya kiçik , ya da böyük olur. “ Böyüklük” və

“ kiçiklik” münasibətlərinin riyazi işarələri isə ingilis riyaziyyatçısı T. Xarriot

( 1560 -1612) tərəfindən təklif edilmişdir.

Beləliklə, və olduqda və mənfi olmayan tam ədədləri arasında mümkün münasibətlər haqqında aşağıdakı nəticələr alınır :

1) və olduqda və mənfi olmayan tam ədədləri bərabərdir deyirlər , yəni

2) , və olduqda mənfi olmayan tam ədədi mənfi olmayan tam ədədindən kiçikdir deyirlər , yəni

3) , və olduqda mənfi olmayan tam ədədi mənfi olmayan tam ədədindən böyükdür deyirlər , yəni

Mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğunda bərabərlik münasibəti aşağıdakı xassələrə malikdir.

1.Refleksivlik xassəsi. Hər bir mənfi olmayan tam ədəd özü- özünə bərabərdir, yəni .

İsbatı. Mənfi olmayan tam ədədi hər hansı sonlu çoxluqlar sinfini xarakterzə edir. Bu sinifin nümayəndəsi olaraq çoxluğunu götürək. Çoxluqlar arasındakı ekvivalentlik münasibətinin refleksivlik xassəsinə əsasən olduğundan, tərifə görə sonlu çoxluğuna uyğun olan mənfi olmayan tam ədədi özünə bərabər olar, yəni olar.

2. Simmetriklik xassəsi. İxtiyari mənfi olmayan tam ədədi mənfi olmayan tam ədədinə bərabər olarsa, onda ədədi də ədədinə bərabər olar.

Bu xassəni riyazi simvolların köməyi ilə aşağıdakı kimi ifadə etmək olar :

İsbatı : Mənfi olmayan və tam ədədlərinin xarakterizə etdiyi sonlu çoxluqlar siniflərinin nümayəndəsi kimi uyğun olaraq və çoxluqlarını götürək. Şərtə görə olduğundan, tərifə görə olar. Çoxluqlar arasında ekvivalentlik münasibətinin simmetriklik xassəsinə görə isə olar. olduğundan, tərifə görə olduğunu alarıq.

3. Tranzitivlik xassəsi. İxtiyari mənfi olmayan və tam ədədlərindən ədədi - yə, ədədi - yə bərabər olarsa, onda ədədi - yə bərabər olar.

Bu xassəni riyazi simvolların köməyilə aşağıdakı kimi yazmaq olar :

İsbatı : Mənfi olmayan və tam ədədlərinin xarakterizə etdikləri sonlu çoxluqlar siniflərinin nümayəndəsi kimi, uyğun olaraq və çoxluqlarını götürək. Şərtə görə və olduğundan, tərifə görə (1) və ( 2) olar. Bu iki münasibətdən çoxluqlar arasında ekvivalentlik münasibətinin tranzitivlik xassəsinə görə alarıq. Bu isə tərifə görə deməkdir.

Qeyri – bərabərlik münasibəti simmetriklik xassəsinə malikdir. Çünki üçün olduqda olur.

Qeyri – bərabərlik münasibəti üçün isə tranzitivlik xassəsi ödənilmir. Belə ki, və olduqda həm , həm də ola bilər. Bunu ədədi misallarla aydınlaşdıraq :

1. 
   Tutaq ki, , və - dür. Aydındır ki, burada və - dən alınır.
   
2. 
   Tutaq ki, , və - dür. Bu halda isə və - dən alınır.
   

Ona görə də qeyri – bərabərlik münasibəti tranzitivlik xassəsinə malik

deyil.

Mənfi olmaya tam ədədlər çoxluğunda “ kiçikdir” münasibəti aşağıdakı

xassələrə malikdir:

Xassə 1. Antirefleksivlik xassəsi. İxtiyari mənfi olmayan tam ədədi üçün

ola bilməz.