1-мавзу. Arifmetikaga oid qiziqarli masalalar tizimi. Matnli masalalarni yechishning arifmetik usuli

Yechilishi. Javob: yo‘q. Boshlanishda barcha ustunlardagi tangalar umumiy soni 21 ga, ya’ni toq songa teng. Har bir qadamda 2 ta tanga qo‘shilgani bois bu yig‘indi juft-toqligi o‘zgarmaydi. Oxirida 6 ta ustunda tangalar soni bir hil bo‘lganda, tangalar umumiy soni juft bo‘lishi kerak. Demak, bir nechta qadamda tangalar umumiy soni juft bo‘la olmaydi.
Izoh. Agar masala shartida ustunlar soni 7 teng bo‘lganda, ustunlarni bir hil qilish mumkin ekan. 1- qadamda 1-nchi va 5-nchi ustunga bittadan tangani qo‘shamiz. 1-qadamda esa 3-nchi va 5-nchi ustunga bittadan tangani qo‘shamiz. Bunda, 1-nchi va 2-nchi ustunda ikkitadan tanga, 3-nchi va 4-nchi ustunlarda to‘rtadan, 5-nchi va 6-nchi ustunda ettidan tanga bo‘ladi. 8 ta qadamda 3-chi va 4-nchi ustunga 3 tadan tanga, 1-nchi va 2-nchi ustunga esa 5 tadan tanga qo‘shsak barcha ustunlar bir hil bo‘ladi.
8-masala. 1,2,…,714 sonlar o‘sish tartibida yozilgan. Orasida bitta son turgan ihtiyoriy ikkita sonni o‘rnilari bilan almashtirish mumkin (masalan, 3 va 5 ni). Shunday o‘rin almashtirishlar yordamida barcha sonlarni qarama-qarshi tartibda joylashtirsa mumkinmi?
Yechilishi. Javob: mumkin emas. Ihtiyoriy joiz o‘rin almashtirishdan so‘ng juft sonlar doimo juft o‘rinlarda, toq sonlar esa doimo toq o‘rinlarda turadi. 714 son esa xech qachon birinchi o‘rinda turmaydi.
9-masala. Doskada 1,2,...,101 sonlar yozilgan. Har qadamda ihtiyoriy ikkita son o‘chirilib, ularning o‘rniga ayirmasi yoziladi. Oxirida faqat nollar qolishi mumkinmi?
Yechilishi. Yozilgan sonlarning yig‘indisi toq, chunki toq qo‘shiluvchilar soni 51 ga teng. Har bir qadamda va qo‘shiluvchilar o‘rniga qo‘shiluvchi paydo bo‘ladi, ya’ni yig‘indi juft bo‘lgan songa o‘zgaradi. Demak, yig‘indi doimo toq bo‘lib qolib, 0 ga teng bo‘la olmaydi.
10-masala. Doira 6 ta sektorga bo‘lingan. Dastlab har bir sektorda bittadan shashka turibdi. Har bir qadamda ikkita shashkani qarama-qarshi yo‘nalishda bitta sektorga siljitidh mumkin. Bir nechta qadamdan keyin barcha shashkalarni bitta sektorga joylashtirish mumkinmi?
Yechilishi. Sektorlarni 1,2,...,6 raqamlar bilan raqamlab, har bir shashkaga u turgan sektorning nomerini mos qo‘yamiz. Shashka qo‘shni sektorga surilsa uning nomeri va juft-toqligi o‘zgaradi. Ammo har qadamda shashkalar nomerlari yig‘indisining juft-toqligi o‘zgarmas bo‘lib qoladi. Dastlab bu yig‘indi 21 toq soniga teng. Oxirida barcha shashkalar bitta sektorda tursa, ularning nomerlari yig‘indisi juft bo‘ladi. Bu esa mumkin emas.
Izoh. Agar masala shartida sektorlar soni 12 teng bo‘lganda, javob o‘zgarmas ekan.
Haqiqatdan ham quyidagi hollardan boshqa hollarda har qadamda shashkalar nomerlari yig‘indisi o‘zgarmas bo‘lib qoladi.
1-hol. 12-sektordagi shashka 1 sektorga surildi. Bunda uning nomeri 11 ga, boshqa shashkaning nomeri 1 ga kamaydi.
2-hol. 1-sektordagi shashka 12 sektorga surildi. Bunda uning nomeri 11 ga, boshqa shashkaning nomeri 1 ga ko‘paydi.
Har qanday holda shashkalar nomerlari yig‘indisi 4 ga bo‘linganda qoldig‘i o‘zgarmaydi.
Dastlab bu yig‘indi 4 ga bo‘linmaydigan 78 songa teng. Ohirida barcha shashkalar bitta sektorda tursa, ularning nomerlari yig‘indisi 4 ga bo‘linadi. Bu esa mumkin emas.